Теория вероятностей
Основные понятия теории вероятностей
Испытания и события
Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на три вида: достоверные, невозможные и случайные.
- Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий. В дальнейшем осуществление определенной совокупности условий будем называть испытанием.
- Невозможным называют событие, которое в данном испытании заведомо не произойдет.
- Случайным называют событие, которое в данном испытании может либо произойти, либо не произойти.
Будем обозначать события заглавными буквами латинского алфавита , , и т.д.
Пример. Испытание — бросание игральной кости. Выпадение числа очков, меньшего 7, — достоверное событие. Выпадение 10 очков — невозможное событие. Выпадение 6 очков — случайное событие.
Предмет теории вероятностей
Теория вероятностей не может предсказать, произойдет единичное случайное событие или нет. Однако достаточно больше число однородных случайных событий подчиняется определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям.
Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.
Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях науки и техники: в теории надежности, теории массового обслуживания, в теоретической физике, в астрономии, теории автоматического управления, общей теории связи и др. Теория вероятностей также служит для обоснования математической и прикладной статистики.
Виды случайных событий
События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.
Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.
События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.
Пример. Выпадение 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков при одном бросании игральной кости — шесть несовместных событий, образующих полную группу. Эти события являются равновозможными, т.к. предполагается, что игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет форму правильного куба и наличие очков не влияет на выпадение любой грани.
Классическое определение вероятности
Каждый из возможных результатов испытания назовем элементарным исходом. Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию.
Вероятностью события называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу:
где — число элементарных исходов, благоприятствующих событию ; — число всех возможных элементарных исходов испытания.
Пример. Найдем вероятность того, что при одном бросании игральной кости выпадет очков. В этом случае общее число элементарных исходов: , а число благоприятствующих исходов: . Следовательно,
Свойства вероятности:
- Вероятность достоверного события равна единице.
Если событие достоверно, то каждый элементарный исход благоприятствует событию, т.е. . Следовательно,
- Вероятность невозможного события равна нулю.
Если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию, т.е. . Следовательно,
- Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.
Случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания, т.е. или . Следовательно,
Вероятность любого события удовлетворяет неравенству
Вычисление вероятностей с помощью классического определения
Пример. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна .
Решение. Общее число элементарных исходов: . Событию благоприятствуют следующие исходы: . Значит, число благоприятствующих исходов: . Следовательно:
✏️Задание 1
В ящике имеется одинаковых деталей, из них бракованных. Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что извлеченная деталь окажется бракованной.
Решение
Общее число элементарных исходов: . Число благоприятствующих исходов равно числу бракованных деталей: . Следовательно:
P = 3/50
✏️Задание 2
Участники жеребьевки тянут жетоны с номерами от до . Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры .
Решение
Общее число элементарных исходов: . На отрезке от до содержится натуральных чисел, содержащих цифру (, , , , , , , , , , , , , , , , , , ). Значит, число номеров, не содержащих цифру (т.е. число благоприятствующих исходов) равно: . Следовательно:
P = 81/100
Основные формулы комбинаторики
Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов заданного конечного множества.
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок:
где — факториал числа .
По определению .
Пример. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр , , , если каждая цифра входит в число только один раз? Искомое число:
Размещениями называют комбинации, составленные из различных элементов по элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений:
Пример. Сколько можно составить сигналов из флажков различного цвета, взятых по ? Искомое число сигналов:
Сочетаниями называют комбинации, составленные из различных элементов по элементов, которые отличаются составом элементов. Порядок элементов не учитывается. Число сочетаний:
Пример. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего деталей? Искомое число способов:
При решении задач комбинаторики используют следующие правила:
- Правило суммы. Если некоторый объект может быть выбран из совокупности объектов способами, а другой объект может быть выбран способами, то выбрать либо , либо можно способами.
- Правило произведения. Если объект можно выбрать из совокупности объектов способами и после каждого такого выбора объект можно выбрать способами, то пара объектов в указанном порядке может быть выбрана способами.
Комбинаторика в Engee
Для вычисления факториала числа n в Engee используется функция factorial(n).
Таким образом, число перестановок из элементов () вычисляется как factorial(n).
Пример. Найдем — число перестановок из элементов:
P = factorial(4)
Функцию factorial можно задать с двумя аргументами: factorial(n, m). В этом случае она будет вычислять значение выражения .
Таким образом, число размещений из элементов по элементов () вычисляется как factorial(n, n-m).
Пример. Найдем — число размещений из 6 элементов по 2 элемента:
A = factorial(6, 6-2)
Число сочетаний из элементов по элементов можно найти с помощью функции binomial(n,m).
Пример. Найдем — число сочетаний из элементов по элемента:
C = binomial(10, 2)
✏️Задание 3
Сколькими способами можно извлечь шаров из урны, содержащей шаров?
Решение
Искомое число способов равно числу сочетаний из элементов по элементов ():
С = binomial(20, 5)
Вычисление вероятностей с помощью формул комбинаторики
Пример. В партии из деталей стандартных. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу деталей стандартных.
Решение. Общее число элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь деталей из , т.е. числу сочетаний из элементов по элементов ():
n = binomial(10, 6)
Определим число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию . Четыре стандартные детали можно взять из стандартных деталей способами, при этом остальные детали должны быть нестандартными. Взять нестандартные детали из нестандартных деталей можно способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно :
m = binomial(7, 4) * binomial(3, 2)
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к общему числу элементарных исходов:
P = m/n
✏️Задание 4
В ящике содержится деталей, среди которых окрашенных. Сборщик наудачу извлекает детали. Найти вероятность того, что все извлеченные детали окажутся окрашенными.
Решение
Общее число элементарных исходов: . Число благоприятствующих исходов: . Следовательно:
n = binomial(15, 3)
m = binomial(10, 3)
P = m/n
✏️Задание 5
В коробке одинаковых занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.
Решение
Общее число элементарных исходов равно числу перестановок из элементов: . Благоприятствующий исход один: . Следовательно:
n = factorial(6)
m = 1
P = m/n
Статистическое определение вероятности
Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний:
где — число появлений события, — общее число испытаний.
Пример. По мишени произвели выстрелов, причем было зарегистрировано попаданий. Относительная частота поражения мишени:
В различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа, равного вероятности появления события.
Недостатки классического определения вероятности:
- На практике часто встречаются испытания, в которых число возможных исходов бесконечно.
- Часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных исходов.
- Часто элементарные исходы испытания не являются равновозможными. Обычно о равновозможности элементарных исходов говорят из соображений симметрии (симметричны игральная кость, монета). Однако задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются весьма редко.
Пример. Испытание — стрельба по мишени, случайное событие — попадание в мишень. Число элементарных исходов (число точек, в которые может попасть пуля) бесконечно. Кроме того, нет оснований считать элементарные исходы равновозможными. Поэтому для нахождения вероятности попадания в мишень нельзя пользоваться классическим определением.
Аналогично классическое определение непригодно для вычисления вероятности отказа какого-либо технического устройства, вероятности брака при производстве изделий, вероятности возникновения различных аварийных ситуаций и т.п.
В таких случаях используют статистическое определение вероятности: в качестве статистической вероятности события принимают его относительную частоту.
Пример. По мишени произвели выстрелов, причем было зарегистрировано попаданий. В качестве статистической вероятности попадания в мишень примем относительную частоту:
Свойства вероятности, вытекающие из классического определения, сохраняются и при статистическом определении.
Недостаток статистического определения вероятности: статистическая вероятность определяется неоднозначно, т.к. в различных сериях испытаний относительная частота принимает различные значения. Однако чем больше число испытаний, тем меньше относительная частота отличается от точного значения вероятности.
✏️Задание 6
В партии из деталей обнаружено бракованных деталей. Чему равна относительная частота появления бракованных деталей?
Решение
Общее число испытаний: . Число появлений события: . Следовательно:
W = 7/100
Тест для получения сертификата
Если вы впервые проходите тестирование на платформе Этюд по ссылке из Engee, то, нажав на ссылку ниже, вы увидите следующее диалоговое окно:
Нажмите на кнопку Предоставить, чтобы авторизоваться на платформе Этюд с данными вашего профиля Engee ID.
Если вы раньше уже проходили тестирование по ссылке из Engee, то ваша авторизация выполнится автоматически и тестирование начнется сразу же после нажатия на ссылку.