Теория вероятностей
Теоремы сложения и умножения вероятностей. Следствия из них
Теорема сложения вероятностей несовместных событий
Суммой двух событий и называют событие , состоящее в появлении или события , или события , или обоих этих событий.
Пример. Если из орудия произведены два выстрела и — попадание при первом выстреле, а — попадание при втором выстреле, то — попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.
Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного их этих событий.
Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Пример. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на три области. Вероятность попадания в первую область равна , во вторую — . Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.
Решение. События (стрелок попал в первую область) и (стрелок попал во вторую область) несовместны. Поэтому по теореме сложения вероятностей:
Следствия из теоремы сложения вероятностей:
- Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
- Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице:
Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу ( и ).
- Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
или
Пример. Вероятность попадания в мишень . Тогда вероятность промаха равна:
Условная вероятность
Произведением двух событий и называют событие , состоящее в совместном появлении этих событий.
Пример. Если — попадание в мишень при первом выстреле, — попадание в мишень при втором выстреле, то — попадание при первом и втором выстрелах.
Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Условной вероятностью называют вероятность события , вычисленную при условии, что событие уже наступило. По определению она равна:
Пример. В урне белых и черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (), если при первом испытании был извлечен черный шар ().
Решение. После первого испытания в урне осталось шаров, из них белых. Искомая условная вероятность:
Теорема умножения вероятностей
Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:
Эта формула непосредственно следует из определения условной вероятности.
Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже наступили:
Пример. В урне белых, черных и синих шара. Найти вероятность того, что первый раз будет извлечен белый шар, второй раз — черный и третий раз — синий (после каждого извлечения шары не возвращаются в урну).
Решение. Вероятность появления белого шара в первом испытании: . Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар: . Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором — черный: . Искомая вероятность:
или
P = 5/12 * 4/11 * 3/10
✏️Задание 1
Студент знает из вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.
Решение
Знание студентом первого, второго и третьего предложенных вопросов — зависимые события (, и ). По теореме умножения вероятностей:
Вероятность того, что студент знает первый предложенный вопрос: . Условная вероятность того, что студент знает второй предложенный вопрос, вычисленная в предположении, что он знает первый вопрос: . Условная вероятность того, что студент знает третий предложенный вопрос, вычисленная в предположении, что он знает первый и второй вопросы: . Тогда:
P = 20/25 * 19/24 * 18/23
Независимые события. Теорема умножения вероятностей для независимых событий
Событие называют независимым от события , если появление события не изменяет вероятности события , т.е. условная вероятность события равна его безусловной вероятности:
Если событие не зависит от события , то и событие не зависит от , т.е. свойство независимости событий взаимно.
Для независимых событий теорема умножения вероятностей имеет вид:
Пример. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием равна , а вторым — .
Решение. Вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы. По теореме умножения вероятностей:
Несколько событий называются независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.
Следствие из теоремы умножения. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:
Пример. Имеются ящика, содержащих по деталей. В первом ящике , во втором и в третьем стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.
Решение. Вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь: . Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартная деталь: . Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь: . Т.к. события , и независимы в совокупности, то искомая вероятность равна:
или
P = 8/10 * 7/10 * 9/10
✏️Задание 2
Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет в мишень, равна . Стрелок произвел выстрела. Найти вероятность того, что все три выстрела дали попадание.
Решение
Попадание в мишень при каждом выстреле (, и ) — независимые события. По теореме умножения вероятностей независимых событий:
или
P = 0.9 * 0.9 * 0.9
✏️Задание 3
Вероятность того, что изделие cтандартно, равна . Найти вероятность того, что из двух взятых наудачу изделий только одно стандартное.
Решение
Интересующее нас событие () может наступить при наступлении одного из двух несовместных событий:
- первое изделие стандартное (), а второе при этом нестандартное ();
- первое изделие нестандартное (), а второе при этом стандартное ().
Тогда
Вероятность того, что изделие стандартное: . Вероятность того, что изделие нестандартное: . Подставим эти значения в формулу:
P = 0.9 * 0.1 + 0.1 * 0.9
Вероятность появления хотя бы одного события
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий:
Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий равны , , . Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех орудий.
Решение. Рассматриваемые события независимые в совокупности. Вероятности противоположных событий (т.е. вероятности промахов) равны: ; ; . Искомая вероятность:
или
P = 1 - 0.2 * 0.3 * 0.1
✏️Задание 4
В студии телевизионные камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна . Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.
Решение
Рассматриваемые события независимы в совокупности. Вероятности противоположных событий (т.е. вероятности того, что каждая из камер выключена) равны: . Искомая вероятность:
или
P = 1 - 0.4^3
Теорема сложения вероятностей совместных событий
Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого.
Теорема. Вероятность появления хота бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления:
Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе из первого и второго орудия равны , . Найти вероятность попадания при одном залпе хотя бы одним из орудий.
Решение. События (попадание первого орудия) и (попадание второго орудия) совместные и независимые. Искомая вероятность:
или
P = 0.7 + 0.8 - 0.7 * 0.8
Формула полной вероятности
Следствием теорем сложения и умножения вероятностей является формула полной вероятности:
Теорема. Вероятность события , которое может наступить при при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события :
Пример. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная, равна , а второго — . Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) — стандартная.
Решение. Пусть событие — извлеченная деталь стандартная. Деталь может быть извлечена либо из первого набора (событие ), либо из второго набора (событие ). Вероятности этих событий: . Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь: . Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь: . Искомая вероятность того, что наудачу извлеченная деталь — стандартная, по формуле полной вероятности равна:
или
P = 0.5 * 0.8 + 0.5 * 0.9
✏️Задание 5
В первом ящике содержится деталей, из них стандартных; во втором — деталей, из них стандартных, в третьем — деталей, из них стандартных. Найти вероятность того, что случайным образом извлеченная деталь из наугад взятого ящика стандартна.
Решение
Пусть событие — деталь стандартная. Деталь может быть извлечена либо из первого ящика (событие ), либо из второго ящика (событие ), либо из третьего ящика (событие ). Вероятности этих событий: . Условная вероятность того, что из первого ящика извлечена стандартная деталь: . Условная вероятность того, что из второго ящика извлечена стандартная деталь: . Условная вероятность того, что из третьего ящика извлечена стандартная деталь: . Искомая вероятность по формуле полной вероятности равна:
или
P = 1/3 * 15/20 + 1/3 * 24/30 + 1/3 * 6/10
Формулы Байеса
Пусть событие может произойти при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами.
Пусть произведено испытание, в результате которого появилось событие . Определим, как изменились вероятности гипотез в связи с тем, что событие уже наступило, т.е. найдем условные вероятности .
Условная вероятность любой гипотезы вычисляется с помощью формул Байеса:
Они позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как появилось событие .
Пример. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная, равна , а второго — . Из наудачу взятого набора наудачу извлечена одна деталь. Она оказалась стандартной. Найти вероятность того, что деталь была извлечена из первого набора.
Решение. Пусть событие — извлеченная деталь стандартная. Можно сделать два предположения: деталь извлечена из первого набора (гипотеза ) либо из второго набора (гипотеза ). Вероятности этих гипотез: . Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь: . Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь: . Искомая вероятность того, что стандартная деталь извлечена из первого набора, по формуле Байеса равна:
или
P = 0.5 * 0.8 / (0.5 * 0.8 + 0.5 * 0.9)
✏️Задание 6
Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна , для второго — . Наудачу выбранный стрелок попал в цель. Какова вероятность того, что стрелял первый?
Решение
Пусть событие — стрелок попал в цель. Можно сделать два предположения: стрелял первый стрелок (гипотеза ), либо стрелял второй стрелок (гипотеза ). Вероятности этих гипотез: . Условная вероятность того, что первый стрелок попадет в цель: . Условная вероятность того, что второй стрелок попадет в цель: . Искомая вероятность по формуле Байеса равна:
или
P = 0.5 * 0.7 / (0.5 * 0.7 + 0.5 * 0.8)