Теория вероятностей
Повторение испытаний
Формула Бернулли
Испытания называют независимыми относительно события , если вероятность события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний.
Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых событие может появиться с вероятностью , либо не появиться с вероятностью . Вероятность того, что событие появится ровно раз, вычисляется по формуле Бернулли:
или
Пример. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна . Найти вероятность того, что при четырех выстрелах мишень будет поражена: а) три раза, б) не менее трех раз.
Решение. По условию: , , , .
а) или
P1 = binomial(4, 3) * 0.4^3 * 0.6
б) или
P2 = P1 + binomial(4, 4) * 0.4^4
✏️Задание 1
В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной .
Решение
По условию: , , , .
а) или
P1 = binomial(5, 2) * 0.51^2 * 0.49^3
б) или
P2 = binomial(5, 0) * 0.49^5 + binomial(5, 1) * 0.51 * 0.49^4 + P1
Локальная теорема Лапласа
Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях трудно, т.к. формула требует выполнения действий над огромными числами (т.к. факториал — очень быстро растущая функция). Если число испытаний велико, то пользуются локальной теоремой Лапласа.
Локальная теорема Лапласа. Если вероятность появления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие появится в испытаниях ровно раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше ):
где
Пример. Найти вероятность того, что событие наступит ровно раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна .
Решение. По условию: , , , . Т.к. достаточно велико, воспользуемся локальной теоремой Лапласа. Сначала найдем :
n = 400; k = 80; p = 0.2; q = 0.8;
x = (k-n*p)/sqrt(n*p*q)
Найдем значение функции :
phi = 1/sqrt(2*pi) * exp(-x^2/2)
Найдем искомую вероятность :
P = 1/sqrt(n*p*q) * phi
✏️Задание 2
Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна . Найти вероятность того, что при выстрелах мишень будет поражена ровно раз.
Решение
По условию: , , , . Т.к. достаточно велико, воспользуемся локальной теоремой Лапласа:
n = 100; k = 75; p = 0.8; q = 0.2;
x = (k-n*p)/sqrt(n*p*q)
phi = 1/sqrt(2*pi) * exp(-x^2/2)
P = 1/sqrt(n*p*q) * phi
Интегральная теорема Лапласа
Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие в испытаниях появится не менее и не более раз, приближенно равна:
где — функция Лапласа (этот интеграл не выражается через элементарные функции),
Для вычисления функции Лапласа в Engee воспользуемся функцией erf(x) из библиотеки SpecialFunctions.jl, которая вычисляет значение функции ошибок:
Функции и связаны соотношением:
Построим график функции Лапласа :
using Plots, SpecialFunctions
x = -5:0.01:5
Phi(x) = erf(x/sqrt(2))/2
plot(x, Phi)
Как видно из графика, функция Лапласа нечетная. При увеличении ее значение быстро приближается к асимптотическому значению .
Пример. В каждом из независимых испытаний вероятность события равна . Найти вероятность того, что событие произойдет не менее и не более раз.
Решение. По условию: , , , , . Найдем и :
using SpecialFunctions
n = 400; k1 = 70; k2 = 100; p = 0.2; q = 0.8;
x1 = (k1-n*p)/sqrt(n*p*q)
x2 = (k2-n*p)/sqrt(n*p*q)
println(x1, " ", x2)
Найдем искомую вероятность с помощью интегральной теоремы Лапласа:
Phi(x) = erf(x/sqrt(2))/2
P = Phi(x2) - Phi(x1)
✏️Задание 3
Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна . Найти вероятность того, что при выстрелах мишень будет поражена не менее раз и не более раз.
Решение
По условию: , , , , . Найдем искомую вероятность с помощью интегральной теоремы Лапласа:
using SpecialFunctions
n = 100; k1 = 70; k2 = 80; p = 0.75; q = 0.25;
x1 = (k1-n*p)/sqrt(n*p*q)
x2 = (k2-n*p)/sqrt(n*p*q)
Phi(x) = erf(x/sqrt(2))/2
P = Phi(x2) - Phi(x1)
Формула Пуассона
Пусть снова производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна . Если велико, то пользуются локальной теоремой Лапласа. Однако эта формула непригодна, если вероятность события мала (). В этом случае ( велико, а мало) используют асимптотическую формулу Пуассона.
Формула Пуассона. Если вероятность появления события в каждом испытании мала, то вероятность того, что событие появится в испытаниях ровно раз, приближенно равна:
где
Пример. Завод отправил на базу изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна . Найти вероятность того, что на базу прибудут поврежденных изделия.
Решение. По условию: , , . Найдем :
n = 5000; k = 3; p = 0.0002;
lambda = n*p
Найдем искомую вероятность по формуле Пуассона:
P = lambda^k * exp(-lambda) / factorial(k)
✏️Задание 4
Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна . Найти вероятность того, что среди деталей окажется ровно бракованных.
Решение
По условию: , , . Т.к. велико, а мало, воспользуемся формулой Пуассона:
n = 200; k = 4; p = 0.01;
lambda = n*p
P = lambda^k * exp(-lambda) / factorial(k)