Теория вероятностей
Дискретные случайные величины
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет какое-либо возможное значение, заранее неизвестное и зависящее от случайных причин.
Случайные величины обозначают заглавными буквами , , , а их возможные значения — строчными буквами , , .
Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.
Примеры дискретных случайных величин: число очков, выпавших при бросании игральной кости, величина выигрыша в лотерею, число голов, забитых в футбольном матче, число бракованных изделий в некоторой партии, число попаданий в мишень в серии выстрелов и т.д.
Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
Законом распределения вероятностей дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Его можно задать таблично, аналитически и графически.
При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая — их вероятности:
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
… |
|
Сумма вероятностей во второй строке таблицы равна единице:
Пример. В лотерее выпущено билетов. Разыгрывается один выигрыш в руб. и выигрышей по руб. Найти закон распределения случайной величины — стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.
Решение. Возможные значения : , , . Вероятности этих значений: , , . Искомый закон распределения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически в виде многоугольника распределения, для чего в прямоугольной системе координат строят точки и соединяют их отрезками прямых.
Построим многоугольник распределения для рассмотренной случайной величины :
using Plots
x = [0, 10000, 50000]
p = [0.89, 0.1, 0.01]
plot(x, p)
Биномиальное распределение
Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых событие может появиться с вероятностью и не появиться с вероятностью . Рассмотрим в качестве случайной величины число появлений события в этих испытаниях. Аналитическим выражением закона распределения случайной величины является формула Бернулли:
Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли.
В виде таблицы биномиальный закон имеет вид:
|
|
|
|
… |
|
… |
|
|
|
|
|
… |
|
… |
|
Пример. Монету бросают раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины — числа выпадений герба.
Решение. Возможные значения случайной величины : , , . Найдем вероятности этих значений по формуле Бернулли:
Искомый закон распределения имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В Engee вероятности возможных значений можно вычислить в цикле:
n = 2; p = 0.5; q = 0.5;
P = [0.0 0.0 0.0]
for k = 0:n
P[k+1] = binomial(n, k) * p^k * q^(n-k)
end
println(P)
✏️Задание 1
В партии % нестандартных деталей. Наудачу отобраны детали. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины — числа нестандартных деталей среди отобранных. Построить многоугольник полученного распределения.
Решение
По условию: , , . Возможные значения случайной величины : , , , , . Найдем вероятности этих значений по формуле Бернулли:
n = 4; p = 0.1; q = 0.9
P = [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0]
for k = 0:n
P[k+1] = binomial(n, k) * p^k * q^(n-k)
end
println(P)
Таким образом, искомый закон распределения имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построим многоугольник распределения:
using Plots
x = [0, 1, 2, 3, 4]
plot(x, P)
Распределение Пуассона
Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна . Если велико, а мало, то аналитическим выражением закона распределения дискретной случайной величины — числа появлений события в этих испытаниях — является формула Пуассона:
где .
Распределением Пуассона называют распределение вероятностей, определяемое формулой Пуассона.
✏️Задание 2
Изготовитель радиоэлектронного оборудования закупает интегральных микросхем, каждая из которых с вероятностью может оказаться неисправной. Найти вероятность того, что неисправны будут ровно микросхем.
Решение
По условию: , , . Искомую вероятность найдем по формуле Пуассона:
n = 1000; k = 10; p = 0.01;
lambda = n*p
P = lambda^k * exp(-lambda) / factorial(k)
Простейший поток событий
Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.
Примеры потоков: поступление вызовов на пункт скорой медицинской помощи, прибытие самолетов в аэропорт, последовательность отказов элементов и др.
Рассмотрим некоторые свойства, которыми могут обладать потоки событий:
- Стационарность. Вероятность появления событий на любом промежутке времени зависит только от числа и от длительности промежутка и не зависит от начала его отсчета.
- Отсутствие последействия. Вероятность появления событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или нет события в моменты времени, предшествующие началу этого промежутка. Т.е. предыстория потока не сказывается на вероятности появления событий в будущем.
- Ординарность. Появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно.
Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.
Интенсивностью потока называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.
Вероятность появления событий простейшего потока за время определяется формулой Пуассона:
Пример. В магазин в среднем приходят посетителя в минуту. Вероятность того, что за минут придут посетителей, равна:
lambda = 2; t = 5; k = 10;
P = (lambda*t)^k * exp(-lambda*t) / factorial(k)
Геометрическое распределение
Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события равна и, следовательно, вероятность его непоявления . Испытания заканчиваются, как только появится событие . Рассмотрим случайную величину — число испытаний, которые нужно провести до первого появления события . Возможными значениями являются натуральные числа , , , ...
Вероятности этих значений по теореме умножения вероятностей независимых событий равны:
Закон распределения, определяемый этой формулой, называется геометрическим.
Пример. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель . Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.
Решение. По условию: , , . Искомую вероятность найдем по формуле :
p = 0.6; q = 0.4; k = 3;
P = q^(k-1) * p
Числовые характеристики дискретных случайных величин
Математическое ожидание
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:
Если дискретная случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то
Вероятностный смысл математического ожидания. Математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины: .
Пример. Найти математическое ожидание случайной величины, если ее закон распределения задан таблицей:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. .
В Engee эти вычисления можно выполнить следующим образом:
x = [2, 3, 5] # возможные значения случайной величины X
p = [0.1, 0.6, 0.3] # вероятности этих значений
M = sum(x .* p) # математическое ожидание
✏️Задание 3
В лотерее выпущено билетов. Разыгрывается один выигрыш в руб. и выигрышей по руб. Найти математическое ожидание случайной величины — стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.
Решение
Закон распределения случайной величины имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем математическое ожидание:
x = [0, 200, 1500]
p = [0.8, 0.02, 0.18]
M = sum(x .* p)
Свойства математического ожидания:
- Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
- Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
- Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:
Несколько случайных величин называют независимыми, если закон распределения любой из них не зависит от того, какие возможные значения принимают другие величины.
- Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
Теорема. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании:
По этой формуле можно найти математическое ожидание случайных величин, имеющих биномиальное распределение и распределение Пуассона (в случае распределения Пуассона математическое ожидание совпадает с параметром ).
Дисперсия
Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием.
Дисперсией дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
По определению дисперсии:
Для вычисления дисперсии также можно пользоваться формулой:
Дисперсия характеризует рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.
Пример. Найти дисперсию случайной величины , заданной следующим законом распределения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Найдем дисперсию по первой формуле :
x = [1, 2, 5] # возможные значения случайной величины X
p = [0.3, 0.5, 0.2] # вероятности этих значений
M = sum(x .* p) # математическое ожидание
D = sum((x .- M).^2 .* p) # дисперсия
Найдем дисперсию по второй формуле :
D = sum(x.^2 .* p) - M^2
✏️Задание 4
Найти дисперсию дискретной случайной величины, заданной законом распределения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение
x = [0.1, 2, 10, 20]
p = [0.4, 0.2, 0.15, 0.25]
M = sum(x .* p)
D = sum(x.^2 .* p) - M^2
Свойства дисперсии:
- Дисперсия постоянной величины равна нулю:
- Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
- Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
- Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
Теорема. Для случайных величин, имеющих биномиальное распределение и распределение Пуассона, дисперсия равна:
Среднее квадратическое отклонение
Средним квадратическим отклонением (или стандартным отклонением) случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:
Среднее квадратическое отклонение, так же как и дисперсия, характеризует рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.
Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины, а размерность совпадает с размерностью .
Для суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин справедлива следующая теорема:
Пример. Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины , заданной законом распределения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
x = [2, 3, 10] # возможные значения случайной величины X
p = [0.1, 0.4, 0.5] # вероятности этих значений
M = sum(x .* p) # математическое ожидание
D = sum(x.^2 .* p) - M^2 # дисперсия
sigma = sqrt(D) # среднее квадратическое отклонение
✏️Задание 5
Найти среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, заданной законом распределения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение
x = [-5, 2, 3, 4]
p = [0.4, 0.3, 0.1, 0.2]
M = sum(x .* p)
D = sum(x.^2 .* p) - M^2
sigma = sqrt(D)
Биномиальное распределение в Engee
Библиотека Distributions.jl содержит большое число функций, позволяющих задавать различные законы распределений случайных величин, генерировать значения случайных величин, распределенных по заданному закону, и вычислять их числовые характеристики.
Случайную величину, распределенную по биномиальному закону, можно задать с помощью функции Binomial(n, p), где n и p — параметры биноминального распределения: n — число испытаний, p — вероятность появления события в одном испытании. Обратите внимание на то, что имя этой функции пишется с заглавной буквы, в отличие от рассмотренной ранее функции binomial(n, m), вычисляющей число сочетаний из n по m элементов.
Пример. Зададим случайную величину , распределенную по биномиальному закону с параметрами и .
using Distributions
X = Binomial(10, 0.8)
С помощью функции rand(X, n) можно сгенерировать вектор из n возможных значений случайной величины . Сгенерируем значений:
rand(X, 10)
С помощью функций библиотеки Distributions.jl можно вычислить основные числовые характеристики случайной величины :
mean(X)— математическое ожидание;var(X)— дисперсию;std(X)— среднее квадратическое отклонение.
println(mean(X))
println(var(X))
println(std(X))
✏️Задание 6
С помощью функций библиотеки Distributions.jl задайте случайную величину , распределенную по биномиальному закону с параметрами и . Сгенерируйте возможных значений этой случайной величины и вычислите ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Решение
using Distributions
Y = Binomial(50, 0.5)
rand(Y, 20)
println(mean(Y))
println(var(Y))
println(std(Y))