Теория вероятностей
Непрерывные случайные величины
Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины
Непрерывной называют случайную величину, возможные значения которой сплошь заполняют некоторый интервал .
Для непрерывных случайных величин невозможно составить перечень всех возможных значений , поэтому для них нельзя задать закон распределения в виде таблицы. Рассмотрим функцию распределения, с помощью которой можно задать любые типы случайных величин.
Функцией распределения называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, меньшее :
Теперь дадим более точное определение непрерывной случайной величины:
Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.
Свойства функции распределения:
- Значения функции распределения принадлежат отрезку :
-
— неубывающая функция.
-
Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале , равна приращению функции распределения на этом интервале:
-
Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, равна нулю.
-
Справедливы следующие предельные соотношения:
Пример. Случайная величина задана функцией распределения
а) Построить график функции распределения.
б) Найти вероятность того, что в результате испытания примет значение, заключенное в интервале (0,1).
Решение. а) Построим график функции распределения на отрезке :
using Plots
function func(x) # функция распределения
if x <= -1
func = 0
elseif -1 < x <= 2
func = x/3 + 1/3
else
func = 1
end
end
x = -10:0.1:10 # вектор x
y = func.(x) # вектор y
plot(x, y) # построение графика
б) Искомая вероятность:
Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию — плотность распределения или плотность вероятности.
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения:
Свойства плотности распределения:
- Плотность распределения — неотрицательная функция:
- Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от до равен единице:
- Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равна определенному интегралу от плотности распределения в пределах от до :
- Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения:
Пример. Задана плотность распределения случайной величины
Найти вероятность того, что в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу .
Решение. По свойству 3 искомая вероятность равна:
В Engee этот интеграл можно найти численно с использованием функции integrate из библиотеки NumericalIntegration:
using NumericalIntegration;
x = collect(0.5:0.001:1); # вектор значений x на отрезке от 0,5 до 1 с шагом 0,001
y = 2 .*x # плотность распределения
P = NumericalIntegration.integrate(x, y) # искомая вероятность
Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Распространим определения числовых характеристик на непрерывные случайные величины.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называют определенный интеграл
Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения:
Дисперсию также можно вычислять по формуле:
Если возможные значения случайной величины принадлежат отрезку , то все интегралы вычисляются в пределах от до .
Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется равенством:
Все рассмотренные ранее свойства математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения сохраняются и для непрерывных случайных величин.
Пример. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины , заданной плотностью распределения
Решение. Математическое ожидание:
Дисперсия:
Найдем эти интегралы численно:
using NumericalIntegration;
x = collect(0:0.001:1); # вектор значений x на отрезке от 0 до 1 с шагом 0,001
y = x; # подынтегральная функция для вычисления M(X)
M = NumericalIntegration.integrate(x, y) # математическое ожидание
y = x.^2 # подынтегральная функция для вычисления D(X)
D = NumericalIntegration.integrate(x, y) - M^2 # дисперсия
✏️Задание 1
Численно найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины , заданной плотностью распределения
Найдите вероятность того, что в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу .
Решение
Вычисления будем производить по следующим формулам:
using NumericalIntegration
x = collect(0:0.001:pi/2)
y = x .* cos.(x)
M = NumericalIntegration.integrate(x, y)
y = x.^2 .* cos.(x)
D = NumericalIntegration.integrate(x, y) - M^2
sigma = sqrt(D)
Равномерное распределение
Плотности распределений непрерывных случайных величин называют также законами распределений.
Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.
Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то
Равномерное распределение определяется двумя параметрами и .
Функция распределения для равномерного закона равна:
Пример. Шкала измерительного прибора проградуирована в некоторых единицах. Случайная величина — ошибка при округлении отсчета до ближайшего целого деления имеет равномерное распределение.
Числовые характеристики равномерного распределения:
Равномерное распределение в Engee
Для задания случайной величины, распределенной по равномерному закону, в библиотеке Distributions.jl имеется функция Uniform(a, b), где a и b — параметры равномерного распределения.
Пример. Зададим случайную величину , распределенную равномерно с параметрами и :
using Plots, Distributions
X = Uniform(0, 100)
Сгенерируем возможных значений случайной величины :
rand(X, 10)
С помощью функции pdf(X, x) найдем плотность распределения случайной величины и построим ее график на отрезке :
x = -100:0.01:200
f = pdf(X, x)
plot(x, f)
С помощью функции cdf(X, x) найдем функцию распределения случайной величины и построим ее график на отрезке :
F = cdf(X, x)
plot(x, F)
Вычислим основные числовые характеристики случайной величины :
println(mean(X))
println(var(X))
println(std(X))
✏️Задание 2
С помощью функций библиотеки Distributions.jl задайте случайную величину , распределенную по равномерному закону с параметрами и . Постройте графики плотности распределения и функции распределения случайной величины на отрезке . Вычислите ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Решение
using Plots, Distributions
X = Uniform(2, 6)
x = 0:0.01:8
f = pdf(X, x)
plot(x, f)
F = cdf(X, x)
plot(x, F)
println(mean(X))
println(var(X))
println(std(X))
Показательное распределение
Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины , которое описывается плотностью:
где — постоянная положительная величина.
Показательное распределение определяется одним параметром .
Пример. Время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока распределено по показательном закону.
Функция распределения показательного закона имеет вид:
Вероятность попадания в интервал непрерывной случайной величины , распределенной по показательному закону, равна:
Числовые характеристики показательного распределения:
Показательное распределение в Engee
Случайную величину, имеющую показательное распределение, можно задать с помощью функции Exponential(1/lambda), где lambda — параметр показательного распределения. Обратите внимание: в качестве параметра функции Exponential используется величина, обратная к параметру .
Пример. Зададим случайную величину , распределенную по показательному закону с параметром :
using Plots, Distributions
X = Exponential(1/5)
Сгенерируем возможных значений случайной величины :
rand(X, 10)
Найдем плотность распределения случайной величины и построим ее график на отрезке :
x = 0:0.01:5
f = pdf(X, x)
plot(x, f)
Найдем функцию распределения случайной величины и построим ее график на отрезке :
F = cdf(X, x)
plot(x, F)
Вычислим основные числовые характеристики случайной величины :
println(mean(X))
println(var(X))
println(std(X))
✏️Задание 3
С помощью функций библиотеки Distributions.jl задайте случайную величину , распределенную по показательному закону с параметром . Постройте графики плотности распределения и функции распределения случайной величины на отрезке . Вычислите ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Решение
using Plots, Distributions
X = Exponential(1/10)
x = 0:0.01:5
f = pdf(X, x)
plot(x, f)
F = cdf(X, x)
plot(x, F)
println(mean(X))
println(var(X))
println(std(X))