Динамическая модель спирально-вихревого фазового поля

Введение

Исследование вихревых и спирально-волновых структур представляет собой одно из важных направлений современной физики нелинейных явлений, оптики и гидродинамики. Особый интерес вызывают двумерные фазовые поля, в которых реализуется наложение двух фундаментальных топологических мод: радиальной спиральной модуляции и азимутального фазового набега, характеризуемого целочисленным азимутальным модовым числом. Подобные структуры описываются в рамках непрерывных моделей, где ключевыми параметрами выступают амплитуда радиальной компоненты, частота временно́й эволюции и величина параметра регуляризации, устраняющего сингулярность в центре координат.

Визуализация осуществляется как в статическом трёхмерном представлении (поверхность), так и в динамическом виде, позволяющем наблюдать эволюцию поля во времени. Это даёт возможность не только качественно оценить формирующиеся пространственные структуры, но и исследовать их зависимость от управляющих параметров модели.

Исходные данные

Определим двумерную вычислительную сетку на плоскости.

x = range(-2, 2, length = 400)
y = range(-2, 2, length = 400)
X = [i for i in x, _ in y]
Y = [j for _ in x, j in y]

Функция фазового поля

Определим вихревого волнового поля с помощью функции:

Где:

— амплитуда радиальной фазовой модуляции;

— параметр регуляризации, предотвращающий сингулярность функции в точке r = 0;

— угловая скорость изменения фазы во времени;

— азимутальное модовое число;

— время.

Для эффекта полярной системы координат, зададим условие: Z[R .> 2] .= NaN.

function Z(t, A, ε, ω, m)
    R = sqrt.(X.^2 .+ Y.^2)
    Z = sin.(A ./ (R .+ ε) .+ t*ω .+ atan.(Y, X)*m)
    Z[R .> 2] .= NaN 
    return Z
end

Z (generic function with 2 methods)

Волновые параметры

Определим исходные параметры фазового поля.

t = 1
A = 10
ε = 0.1
ω = 0.15
m  = 5

Визуализация

3D-визуализация

Отобразим фазовой поле в виде трёхмерной фигуры.

p = surface(x, y, Z(t, A, ε, ω, m), alpha=0.9, c=:viridis)

Анимация

Представим вихревое волновое поля в динамическом виде.

anim = @animate for t in 1:300
    heatmap(x, y, Z(t, A, ε, ω, m), aspect_ratio = :equal,  axis = nothing, color = :viridis,       
    title = "", framestyle = :none, size = (500, 500), background_color = :transparent)
end

gif(anim, "Vortex.gif", fps = 15)

Warning: detected a stack overflow; program state may be corrupted, so further execution might be unreliable.
Warning: detected a stack overflow; program state may be corrupted, so further execution might be unreliable.
[ Info: Saved animation to /user/Vortex/Vortex.gif

Заключение

Результаты визуализации подтверждают, что предложенная математическая модель порождает устойчивые вихревые паттерны с выраженной спиральной симметрией. Анимация временно́й эволюции позволяет проследить вращение и радиальное распространение фазовых фронтов, характерное для систем с винтовой дислокацией волнового фронта.

Представленная модель и методы её визуализации имеют непосредственное практическое значение в ряде научно-технических областей:

Оптика и фотоника — при анализе и синтезе оптических вихрей, пучков с орбитальным угловым моментом, а также при моделировании интерференционных картин в системах с фазовыми сингулярностями.
Гидродинамика и физика плазмы — для описания спиральных волновых структур, возникающих в неравновесных средах, включая вихревые течения и волны плотности.
Обработка сигналов и изображений — при разработке алгоритмов фазовой фильтрации, детектирования особых точек и распознавания текстур, основанных на спиральных гармониках.
Биофизика и нелинейная динамика возбудимых сред — в моделях, воспроизводящих спиральные волны в сердечной ткани, нейронных ансамблях и реакционно-диффузионных системах.

Таким образом, построенная вычислительная схема может служить как учебно-демонстрационным инструментом для изучения топологических свойств фазовых полей, так и базовым элементом более сложных инженерных и исследовательских расчётов в перечисленных областях.

Моделирование спирально-вихревой волны