Математический анализ
Вычисление пределов
Основные определения
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки .
Число называется пределом функции в точке (или при ), если для любого найдется такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .
В этом случае записывают
Если предел какой-либо величины равен нулю, то эта величина называется бесконечно малой.
Например, при величины , , , , , являются бесконечно малыми.
Если функция непрерывна в точке , то ее предел в этой точке равен ее значению в этой точке. Например,
Если функция терпит разрыв в точке , то ее предел в этой точке может равняться бесконечности, например:
или вообще не существовать. Например,
не существует.
Во многих случаях возникает неопределенность вида и др. Раскрывая неопределенность, мы можем получить как конечное число, так и бесконечность. Все примеры и задания в этом разделе будут связаны с раскрытием неопределенностей.
Вычисление пределов с помощью последовательности значений функции
Пример. Найдем в Engee предел функции при . При подстановке в функцию числа вместо получим неопределенность вида . Для ее раскрытия составим последовательность значений аргумента, монотонно приближающихся к нулю, например, так: , где (т.е. ), и вычислим значения функции в этих точках:
x = [1/10^i for i in 1:10];
y = sin.(x)./x
Как мы видим, последовательность значений функции стремится к при .
Предел
называется первым замечательным пределом.
Если необходимо найти предел функции при , где , то можно ввести переменную , последовательно принимающую значения, монотонно приближающиеся к нулю, а затем составить последовательность значений функции в точках .
Пример. Найдем предел
Числитель и знаменатель функции стремятся к нулю при , т.е. перед нами неопределенность вида .
eps = [1/10^i for i in 1:10];
x = 2 .+ eps;
y = (sin.(x .- 2)).^2 ./ (x .- 2)
Мы видим, что последовательность значений функции стремится к . Это и есть искомое значение предела.
Если необходимо найти предел функции при , то нужно составить последовательность значений функции при неограниченно возрастающих значениях аргумента , например, при , где (т.е. при ).
Пример. Найдем предел
Числитель и знаменатель функции стремятся к бесконечности при , т.е. перед нами неопределенность вида .
x = [10^i for i in 1:8];
y = (7*x.^2 .+ 3*x .- 7) ./ (5*x.^2 .+ 6*x .+ 1)
Последовательность значений функции стремится к . Это и есть искомое значение предела.
Можно заметить, что предел отношения многочленов одинаковой степени при равен отношению коэффициентов при старшей степени в числителе и знаменателе. Действительно, отношение коэффициентов при равно: .
✏️Задание 1
Найдите в Engee предел
называемый вторым замечательным пределом. Здесь необходимо раскрыть неопределенность вида .
Решение
x = [10^i for i in 1:8];
y = (1 .+ 1 ./ x).^x
Последовательность значений функции стремится к числу , называемому числом .
✏️Задание 2
Найдите в Engee предел
Здесь необходимо раскрыть неопределенность вида .
Решение
eps = [1/10^i for i in 1:8];
x = 25 .+ eps;
y = (sqrt.(x) .- 5) ./ (sqrt.(x .- 16) .- 3)
Как мы видим, последовательность значений функции стремится к . Это и есть искомое значение предела.
✏️Задание 3
Найдите в Engee предел
Здесь необходимо раскрыть неопределенность вида .
Решение
x = [10^i for i in 1:8];
(2*x.^2 .- 5*x .+ 6) ./ (x.^2 .+ x .- 6)
Как мы видим, последовательность значений функции стремится к . Это и есть искомое значение предела.
Вычисление пределов средствами символьной математики Engee
Пределы можно вычислять средствами символьной математики Engee. Для этого воспользуемся функцией limit, содержащейся в библиотеке SymPy. Ее аргументами являются имя функции, предел которой необходимо найти (или символьное выражение), и значение независимой переменной, в котором ищется предел, в формате x => a. Если независимая переменная стремится к бесконечности, то используется обозначение x => Inf.
Пример. Найдем символьными методами предел функции при .
using SymPy;
x = symbols("x");
f(x) = sin(x)/x;
limit(f(x), x => 0)
✏️Задание 4
Найдите в Engee символьными методами предел
Решение
using SymPy;
x = symbols("x");
f(x) = (1+1/x)^x;
limit(f(x), x => Inf)
✏️Задание 5
Найдите в Engee символьными методами предел
Решение
using SymPy;
x = symbols("x");
f(x) = (cos(x)-1)/x;
limit(f(x), x => 0)
Тест для получения сертификата
Если вы впервые проходите тестирование на платформе Этюд по ссылке из Engee, то, нажав на ссылку ниже, вы увидите следующее диалоговое окно:
Нажмите на кнопку "Предоставить", чтобы авторизоваться на платформе Этюд с данными вашего профиля Engee ID.
Если вы раньше уже проходили тестирование по ссылке из Engee, то ваша авторизация выполнится автоматически и тестирование начнется сразу же после нажатия на ссылку.