Анимация маятника
maximsidorovАнимация движения маятника с использованием Julia
Этот пример показывает реализацию симуляции движения физического маятника с использованием дифференциальных уравнений и создания анимации на языке программирования Julia.
Введение
Маятник — это простейшая физическая система, широко используемая для изучения периодического движения и осцилляций. В данном примере рассмотрена задача моделирования движения простого маятника с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, которая затем решается в рамках краевой задачи методом коллокаций (MIRK). После нахождения решения, происходит его визуализация в формате GIF-анимации с помощью библиотеки Luxor.jl, основанной на Cairo.
Основной целью является демонстрация возможностей языка Julia при численном решении физических задач и генерации графической визуализации. Анимация позволяет понять динамику движения маятника — как он перемещается по времени, начиная с заданного положения и заканчивая противоположной точкой через определённый интервал времени.
# Установка требуемых пакетов
import Pkg; Pkg.add("Luxor")
import Pkg; Pkg.add("Colors")
import Pkg; Pkg.add("BoundaryValueDiffEq")
Подключение библиотек
using Luxor # для рисования анимации
using Colors # для управления цветами элементов анимации
using BoundaryValueDiffEq # для решения краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений
Определение констант и параметров для модели
Константы физической модели и анимации
const g = 9.81; # ускорение свободного падения (м/с²)
const L = 1.0; # длина нити маятника (метры)
const bobd = 0.10; # диаметр груза (bob) маятника (в метрах)
Параметры анимации
const framerate = 50.0; # частота кадров анимации (кадр/сек)
const t_0 = 0.0; # начальное время моделирования (сек)
const tf = 2.3; # конечное время моделирования (сек)
const dtframe = 1.0/framerate; # длительность 1 кадра в секундах
const tspan = LinRange(t_0, tf, Int(floor(tf*framerate))); # массив моментов времени для анимации
Цвета и названия файлов
const bgcolor = "black"; # цвет фона анимации
const leaderhue = (0.80, 0.70, 0.20); # светло-золотой цвет для рычага
const hslcolors = [HSL(col) for col in (distinguishable_colors(
Int(floor(tf*framerate)+3),[RGB(1,1,1)])[2:end])]; # набор цветов для элементов
const giffilename = "pendulum.gif"; # имя выходного файла GIF
Формулировка задачи и решение дифференциального уравнения
Определение функции для уравнений движения маятника
function simplependulum(du, u, p, t)
θ = u[1] # угол отклонения
dθ = u[2] # скорость изменения угла (угловая скорость)
du[1] = dθ # производная угла = угловая скорость
du[2] = -(g/L) * sin(θ) # уравнение движения: θ'' = -(g/L) * sin(θ)
end
Задание граничных условий
function bc2(residual, u, p, t)
residual[1] = u[end÷2][1] + pi/2 # значение угла в середине интервала равно π/2 (положение слева)
residual[2] = u[end][1] - pi/2 # значение угла в конце равно -π/2 (положение справа)
end
Формирование и решение краевой задачи
bvp2 = BVProblem(simplependulum, bc2, [pi/2, pi/2], (tspan[1], tspan[end]));
sol2 = solve(bvp2, MIRK4(), dt=dtframe); # метод Рунге–Кутты 4-го порядка с коррекцией
Функции отрисовки анимации
Фоновая функция для отрисовки кадра
function backdrop(scene, framenumber)
background(bgcolor) # установка черного фона
end
Основная функция рисования каждого кадра
function anim_frame(scene, framenumber)
# Получаем текущие значения угла и угловой скорости
u1, u2 = sol2.u[framenumber]
# Вычисляем координаты центра боба по формулам тригонометрии
y = L * cos(u1)
x = L * sin(u1)
# Нарисовать рычаг (от точки подвеса до груза)
sethue(leaderhue)
poly([Point(-4.0, 0.0), Point(4.0, 0.0),
Point(160.0x, 160.0y)], :fill)
# Нарисовать груз (bob) маятника
sethue(Colors.HSV(framenumber*4.0, 1, 1)) # меняющийся цвет в зависимости от номера кадра
circle(Point(160.0x, 160.0y), 160*bobd, :fill)
# Напечатать информацию о текущем кадре
Luxor.text(string("frame $framenumber of $(scene.framerange.stop)"),
Point(0.0, -190.0), halign=:center)
end
Создание и воспроизведение анимации
Создаем объект анимации с указанным размером окна
muv = Movie(400, 400, "Pendulum Demo", 1:length(tspan))
Добавляем две сцены: фон и основную
Luxor.animate(muv, [
Luxor.Scene(muv, backdrop), # фоновая сцена
Luxor.Scene(muv, anim_frame, easingfunction=easeinoutcubic) # главная сцена с плавным переходом
], creategif=true, pathname=joinpath(@__DIR__, giffilename)) # создаём .gif и сохраняем его под именем "pendulum.gif"
Заключение
Мы рассмотрели программу на языке Julia, которая решает краевую задачу для модели движения маятника и строит на её основе плавную анимацию в формате GIF. Ключевые элементы: физическая модель (уравнения движения), численное решение (метод MIRK4), и визуализация (с помощью Luxor). Такой подход полезен не только в образовательных целях, но и для моделирования более сложных систем с ограничениями на начальные или конечные условия. Этот пример иллюстрирует мощные инструменты в области научных вычислений и графической визуализации в экосистеме Julia.
Пример разработан с использованием материалов Rosetta Code