Исследование параметров LMS-фильтра: влияние шага адаптации и длины фильтра на сходимость алгоритма

Адаптивные фильтры являются ключевым инструментом в современной цифровой обработке сигналов, находя применение в системах шумоподавления, эхокомпенсации, идентификации систем и многих других областях. Алгоритм наименьших средних квадратов (LMS) остается одним из самых популярных методов адаптивной фильтрации благодаря своей вычислительной эффективности и простоте реализации.

В данной статье мы проведем систематическое исследование двух критически важных параметров LMS-алгоритма:

Шаг адаптации (μ) - определяет скорость и стабильность сходимости алгоритма
Длина фильтра (L) - влияет на способность фильтра моделировать систему

Используя язык Engee и пакет EngeeDSP, мы визуализируем влияние этих параметров на процесс обучения фильтра, что позволит лучше понять их практическое значение при настройке адаптивных систем.

Часть 1: Исследование влияния шага адаптации

Шаг адаптации μ является, пожалуй, самым важным параметром LMS-алгоритма. Он определяет:

Скорость сходимости: как быстро фильтр достигает оптимальных коэффициентов
Точность: насколько близко фильтр может приблизиться к оптимальному решению
Устойчивость: гарантирует ли выбранное значение стабильную работу алгоритма

Теоретически, для гарантированной сходимости μ должен удовлетворять условию:
0 < μ < 2/(λ_max), где λ_max - максимальное собственное число автокорреляционной матрицы входного сигнала.

using EngeeDSP, DSP, Random
# Инициализация воспроизводимого случайного сигнала
Random.seed!(123)
x = 0.05 * randn(1024) # Входной сигнал (белый шум)
d = filt(FIRFilter([0.5, -0.3, 0.2, 0.1, -0.05]), x) # Желаемый выход
# Создание LMS-фильтра с параметрами по умолчанию
LMS = EngeeDSP.LMSFilter()
# Диапазон исследуемых шагов адаптации
mu = [0.001, 0.01, 0.1, 1, 10, 12]

# Настройка графика с русскими подписями
plt = plot(title="Сходимость LMS-фильтра (длина=32) при различных шагах адаптации",
           xlabel="Номер отсчёта", 
           ylabel="Среднеквадратичная ошибка (сглаженная)",
           yscale=:log10, 
           ylims=(1e-5, 1e0), 
           grid=true, 
           legend=:best)

# Проведение экспериментов для разных μ
for μ in mu
    release!(LMS)
    LMS.StepSize = μ # Установка текущего шага адаптации
    setup!(LMS, x, d)
    @time y, e, w = step!(LMS, x, d)
    # Сглаживание квадрата ошибки для наглядности
    smoothed_error = DSP.filt(ones(500)/500, e.^2)
    plot!(plt, smoothed_error, label="μ=$μ", linewidth=2)
end
display(plt)

  0.007607 seconds (301.17 k allocations: 4.597 MiB)
  0.008170 seconds (301.17 k allocations: 4.597 MiB)
  0.031941 seconds (301.19 k allocations: 4.597 MiB, 76.03% gc time)
  0.006401 seconds (301.17 k allocations: 4.597 MiB)
  0.006935 seconds (301.17 k allocations: 4.597 MiB)
  0.009097 seconds (301.17 k allocations: 4.597 MiB)

На графике мы наблюдаем несколько характерных режимов:

Очень малые μ (0.001): крайне медленная сходимость
Оптимальный диапазон (0.01-0.1): баланс скорости и точности
Большие μ (1-10): быстрая сходимость, но повышенный уровень шума
Очень большие μ (50): расходимость алгоритма

Практический вывод: выбор μ требует компромисса между скоростью адаптации и точностью. Значения порядка 0.01-0.1 часто оказываются оптимальными для многих приложений.

Часть 2: Исследование влияния длины фильтра

Длина фильтра L определяет:

Сложность модели: сколько коэффициентов доступно для аппроксимации системы
Вычислительную нагрузку: пропорционально увеличивается с L
Способность к обучению: слишком короткий фильтр не сможет точно смоделировать систему

Выбор L должен основываться на:

Предполагаемом порядке моделируемой системы
Доступных вычислительных ресурсах
Требуемой точности моделирования

using Statistics
Random.seed!(123)
n_samples = 15000
x = 0.1 * randn(n_samples)
# Создаем желаемый отклик
d = filt(FIRFilter([0.4, -0.35, 0.3, -0.25, 0.2, -0.15, 0.1, -0.05, 0.03, -0.01]), 
         [zeros(15); x])[1:n_samples]
# Инициализация фильтра
LMS = EngeeDSP.LMSFilter()
μ_values = [0.005, 0.01, 0.02]
filter_lengths = [8, 16, 32, 64, 128]

# Настройка графиков с ограничением по X
plt = plot(title="Сравнение сходимости LMS-фильтра (отсчёты 180+)",
           xlabel="Номер отсчёта (начиная с 180)", 
           ylabel="Среднеквадратичная ошибка (логарифмическая шкала)",
           yscale=:log10,
           grid=true, 
           legend=:topright,
           size=(1000, 600),
           minorgrid=true,
           xlims=(180, n_samples))  # Устанавливаем границы по X

# Эксперимент для каждой длины фильтра
for (i, L) in enumerate(filter_lengths)
    release!(LMS)
    LMS.FilterLength = L
    LMS.StepSize = μ_values[2]
    
    setup!(LMS, x, d)
    y, e, w = step!(LMS, x, d)
    
    window_size = max(50, div(10000, L))
    smoothed_error = DSP.filt(ones(window_size)/window_size, e.^2)
    final_error = mean(e[end-div(n_samples,5):end].^2)
    
    # Создаем диапазон отсчётов для отображения
    display_range = 180:n_samples
    plot!(plt, display_range, smoothed_error[display_range], 
          label="L=$L (финал: $(round(final_error, sigdigits=3)))",
          linewidth=2.5,
          color=i)
end
display(plt)

На графике видно:

Короткие фильтры (L=8): недостаточная точность из-за ограниченного числа параметров
Средние длины (16-32): хороший баланс между точностью и сложностью
Длинные фильтры (64-128): незначительное улучшение точности при значительном росте вычислений

Важное наблюдение: для данной системы (порядок FIR-фильтра = 5) увеличение L сверх определенного предела (≈32) не дает существенного выигрыша, что соответствует теоретическим ожиданиям.

Вывод

Подводя итог рассмотрим несколько моментов, начнём с взаимосвязи параметров, зависимость μ от L: оптимальное значение шага адаптации обычно обратно пропорционально длине фильтра. а вычислительная сложность: пропорциональна O(L) для LMS (в отличие от O(L²) для RLS). Проведенное исследование наглядно демонстрирует важность правильного выбора параметров LMS-алгоритма. Использование Engee и специализированных пакетов позволяет эффективно проводить такие исследования благодаря:

Простому синтаксису для математических операций
Высокой производительности
Мощным средствам визуализации

Полученные результаты имеют практическую ценность для инженеров, работающих с адаптивной фильтрацией, помогая осознанно подходить к настройке алгоритмов в реальных приложениях.

Исследование параметров LMS-фильтра: влияние шага адаптации и длины фильтра на сходимость алгоритма

Часть 1: Исследование влияния шага адаптации

Часть 2: Исследование влияния длины фильтра

Вывод

Тип

Краткое описание

Связанные материалы

Теги

Категории

Языки

Форматы

Уровень

Статус

Опубликовано

Обновлено

Источник