Модели экономического роста на Julia и Engee

Математические модели экономического роста.¶

ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ Р. ХАРРОДА - Е. ДОМАРА.¶

1.1 Дискретная модель Р.Харрода-Е.Домара.¶

Исходные постулаты Модель построена на следующих постулатах:

1. Рассматривается односекторная закрытая экономика без государства;
2. Эндогенные факторы инвестиции I и прирост капитала ΔK;
3. Экзогенные факторы s =const –норма сбережения и σ=const средняя про- изводительность капитала (НТП отсутствует);
4. Сбережения считаются равными инвестициям, а инвестиции равны при- росту капитала в следующий период времени (I=ΔK);
5. Модель функционирует в соответствии со следующей экономической логикой:

Здесь Y(t) –объем выпуска в год t; S(t) – сбережения в год t; I(t) – инвестиции в год t; ΔK(t+1) прирост капитала в год t+1; ΔY(t+1)- прирост выпуска в год t+1; Y(t+1)- объем выпуска в год t+1, С(t)- потребление в год t.

Базовые соотношения и свойства

1. S(t)=sY(t)

2. I(t)=S(t)

3. ΔK(t+1)=I(t)

4. ΔY(t+1)= σΔK(t+1)

Из (1-4) имеем :

$$\Delta Y\left( {t + 1} \right) = \sigma \cdot sY\left( t \right) \to \frac{{\Delta Y\left( {t + 1} \right)}}{{Y\left( t \right)}} = \sigma \cdot s\;\;\;\;(5)$$

Здесь $\sigma = \frac{{\Delta Y\left( {t + 1} \right)}}{{\Delta K\left( {t + 1} \right)}}$ - мультипликатор, $a = \frac{1}{\sigma } = \frac{{\Delta K\left( {t + 1} \right)}}{{\Delta Y\left( {t + 1} \right)}}$ - акселератор.Таким образом, темп прироста объема предложения в модели Харрода постоянен и равен произведению нормы сбережения на среднюю производительность капитала (мультипликатор) или частному нормы сбережения и акселератора.

Оценим, каким должны быть темпы прироста потребления и инвестиций в модели, чтобы рост предложения был равновесным и устойчивым.

Модель дополняется соотношением Кейнса:

Y(t) = S(t)+C(t), где C(t)- (потребление) (6)

Покажем, чему должен быть равен темп прироста спроса при выполнении условий 1-4,6.

Из уравнения 6 получаем:

S(t) = Y(t) − C(t) (7)

Используя уравнения 1-4 и 7, получаем:

ΔY(t+1)= σ(Y(t) − C(t) )=σsY(t) (8)

Из 8 получаем:

C(t) = Y(t)(1 − s) (9)

Аналогично получаем:

C(t+1) = Y(t+1)(1 − s) (10)

Вычитаем из (10) ( 9) получаем:

ΔC(t+1) = ΔY(t+1)(1 − s) (11)

Поделим обе части уравнения (11) наC(t) получим:

$$\frac{{\Delta C\left( {t + 1} \right)}}{{C\left( t \right)}} = \frac{{\left( {1 - s} \right) \cdot \Delta Y\left( {t + 1} \right)}}{{C\left( t \right)}} = \frac{{\left( {1 - s} \right) \cdot \Delta Y\left( {t + 1} \right)}}{{Y\left( t \right) \cdot \left( {1 - s} \right)}} = \frac{{\Delta Y\left( {t + 1} \right)}}{{Y\left( t \right)}} = s \cdot \sigma \;\;\;\;\;(12)$$

Из (12) и (9) имеем:

$$\frac{{C\left( {t + 1} \right) - C\left( t \right)}}{{C\left( t \right)}} = \frac{{\left( {Y\left( {t + 1} \right) - I\left( {t + 1} \right)} \right) - \left( {Y\left( t \right) - I\left( t \right)} \right)}}{{Y\left( t \right) - I\left( t \right)}} = \frac{{\Delta Y - \Delta I}}{{Y\left( t \right) - I\left( t \right)}} = s \cdot \sigma \;\;\;\;(13)$$

После преобразований получаем:

$$\Delta I = \sigma \cdot s \cdot I\left( t \right) \to \frac{{\Delta I}}{{I\left( t \right)}} = \sigma \cdot s \;\;\;\;(14)$$

Следовательно :

$$\frac{{\Delta Y\left( {t + 1} \right)}}{{Y\left( t \right)}} = \frac{{\Delta C\left( {t + 1} \right)}}{{C\left( t \right)}} = \frac{{\Delta I}}{{I\left( t \right)}} = \sigma \cdot s \;\;\;\;(15)$$

Таким образом, устойчивый равновесный рост экономики при полном использовании капитала в модели Харрода обеспечивается тогда, когда темпы прироста предложения, потребления и инвестиций совпадают и равны $σs$. При этом экономика растет по экспоненте с показателем степени $σst$. Роль государства состоит в создании условий для обеспечения равновесия между спросом и предложением, равенства инвестиций и сбережений и обеспечения полного использования инвестиций для наращивания капитала.

1.2 Непрерывная модель «Р.Харрода-Е.Домар໶

Рассмотрим, как выглядит модель в непрерывном времени. Из уравнения (5) имеем:

$$\Delta Y\left( {t + 1} \right) = Y\left( t \right) \cdot \sigma \cdot s \;\;\;\;(16)$$

Переходя к бесконечно малым приращениям, получаем основное дифференциальное уравнение модели Харрода-Домара в непрерывном времени:

$$\frac{{dY}}{{dt}} = \sigma \cdot s \cdot Y\left( t \right) \;\;\;\;(17)$$

Решение этого уравнения имеет следующий вид:

$$Y\left( t \right) = Y\left( 0 \right) \cdot e^{\sigma \cdot s \cdot t} = Y\left( 0 \right) \cdot e^{\frac{s}{a}t} \;\;\;\;(18)$$

Ниже представлен скрипт численного решения дифференциального уравнения (17) в точках пространства mσ X ms, где mσ ={1.2,1.4,1.6}; ms ={0.4 ,0.6,0.8} множество значений соотвественно параметров σ и s.

Эта же задача решена средствами визуального моделирования на платформе Engee

Ниже представлен скрипт, который строит график зависимости среднего объёма производства от значений нормы сбережения и производительности капитала.

Исследуем непрерывную модель с точки зрения влияния характера изменения потребления на экономический рост.

а. Потребление отсутствует, весь доход тратиться на накопление

Эта гипотеза нереалистична, но позволяет дать оценку максимально возможного для данной экономики темпа роста доходов. Здесь имеем s=1, тогда из (18) получаем:

$$Y\left( t \right) = Y\left( 0 \right) \cdot e^{\sigma t} = Y\left( 0 \right) \cdot e^{\frac{1}{a}t} \;\;\;\;(19)$$

Из (19) вытекает, что максимально возможный темп прироста дохода равен мультипликатору.

б.Уровень потребления постоянен во времени

$$C\left( t \right) = C0 = const \;\;\;\;(20)$$

Тогда имеем следующее дифференциальное уравнение:

$$\frac{{dY}}{{dt}} = \sigma \cdot I\left( t \right) = \sigma \cdot Y\left( t \right) - \sigma \cdot C0 \;\;\;\;(21)$$

Из решения уравнения (21) следует, что:

$$Y\left( t \right) = C0 + \left( {Y\left( 0 \right) - C0} \right) \cdot e^{\sigma t} \;\;\;\;(22)$$

Уравнение (22) описывает траекторию роста дохода при условии, что уровень потребления не изменяется во ремени. Тогда норма сбережения равна:

$$s\left( t \right) = \frac{{I\left( t \right)}}{{Y\left( t \right)}} = 1 - \frac{{C0}}{{C0 + \left( {Y\left( 0 \right) - C0} \right) \cdot e^{\sigma t} }} \;\;\;\;(23)$$

При $t \to \infty {\rm Y}\left( {\rm t} \right) \to \infty {\rm s}\left( {\rm t} \right) \to 1 \;\;\;(24)$

Темп прироста дохода $\rho \left( t \right)$, в этом случае равен:

$$\rho \left( t \right) = \frac{{Y\left( t \right)^1 }}{{Y\left( t \right)}} = \frac{{\sigma \cdot \left( {Y\left( 0 \right) - C0} \right)}}{{\frac{{C0}}{{e^{^{\sigma t} } }} + \left( {Y\left( 0 \right) - C0} \right)}}\;\;\;\;\;(25)$$

Из (25) следует, что при $t \to \infty ..\rho \left( t \right) \to \sigma$ То есть в предельном случае доля потребления стремиться к нулю и темп прироста дохода стремиться к значению мультипликатора.

Ниже представлен скприпт, который на основе численного решения уравнения (21), графически демонстрирует справедливость всех выше приведенных теоретических выводов.

Эта же задача решена на платформе Engee с помощью следующей динамической модели:

в. Потребление растет с постоянным темпом γ

То есть, имеем $C\left( t \right) = C0e^{\gamma t}$ и тогда возможны следующие случаи

Случай 1 $γ = σ$ - потребление растет с темпом равным значению мультипликатора.

Тогда имеем следующее дифференциальное уравнение:

$$\frac{{dY}}{{dt}} = \sigma \cdot I\left( t \right) = \sigma \cdot Y\left( t \right) - \sigma \cdot C0 \cdot e^{\sigma t} \;\;\;\;(27)$$

Решение этого уравнения имеет следующий вид:

$$Y\left( t \right) = \left( {Y\left( 0 \right) - \sigma \cdot C0 \cdot t} \right) \cdot e^{\sigma t} \;\;\;\;(28)$$

Доход растет до тех пор, пока уровень инвестиций остается положительной величиной. То есть , чтобы определить интервал времени, в течении которого доход растет, необходимо решить уравнение:

$$I\left( t \right) = \frac{1}{\sigma } \cdot \frac{{dY}}{{dt}} = 0 \to \frac{{dY}}{{dt}} = 0 \;\;\;\;(29)$$

Подставляя в левую часть (29) (27) и используя (28), получаем, что

$\frac{{dY}}{{dt}} = 0$ при $t_1 = \frac{1}{\sigma }\left( {\frac{{Y\left( 0 \right)}}{{C0}} - 1} \right) \;\;\;\;(30)$

Из (28) получаем $Y\left( t \right) = 0$ при $t_2 = \frac{1}{\sigma } \cdot \frac{{Y\left( 0 \right)}}{{C0}} \;\;\;\;( 31)$

Таким образом, при росте потребления с темпом равным значению мультипликатора доход растет в интервале времени от 0 до $t_1$ , достигая максимального значения $Y_{\max } = C0 \cdot e^{\sigma t_1 }$,а затем начинает падать и становиться равным 0 при $t_2$.

Случай 2 $γ > σ$ -потребление растет с постоянным темпом, превышающим значение мультипликатора.

Тогда имеем следующее дифференциальное уравнение:

$$\frac{{dY}}{{dt}} = \sigma \cdot I\left( t \right) = \sigma \cdot Y\left( t \right) - \sigma \cdot C0 \cdot e^{\gamma t} \;\;\;\;(32)$$

Решение этого уравнения имеет вид:

$$Y\left( t \right) = \left( {Y\left( 0 \right) - \frac{{C0}}{{1 - \frac{\gamma }{\sigma }}}} \right) \cdot e^{\gamma t} + \frac{{C0}}{{1 - \frac{\gamma }{\sigma }}} \cdot e^{\gamma t} \;\;\;\;(33)$$

Из (32) и (33) вытекает, что темп прироста дохода в первоначальный момент времени равен:

$$\left( {dY/dt} \right)/Y\left( 0 \right) = \sigma \cdot s_0 \;\;\;\;(34)$$

где $s_0 = \frac{{Y\left( 0 \right) - C0}}{{Y\left( 0 \right)}}$ - норма сбережения в начальный момент времени. Таким образом, исходный темп прироста дохода положителен, но в (33) второе слагаемое отрицательно и поэтому с определенного момента времени доход начнет падать аналогично случаю 1.При этом точки $t_1$ и $t_2$ за счет
где $s_0 = \frac{{Y\left( 0 \right) - C0}}{{Y\left( 0 \right)}}$ - норма сбережения в начальный момент времени. Таким образом, исходный темп прироста дохода положителен, но в (33) второе слагаемое отрицательно и поэтому с определенного момента времени доход начнет падать аналогично случаю 1.При этом точки $t_1$ и $t_2$ за счет $γ$ немного смещяются влево.

Случай 3 $γ < σ$ и $γ < s_0$ - темп прироста потребления меньше значения мультипликатора и меньше первоначального темпа прироста дохода

Рассмотрим (33) второе слагаемое в силу условия $γ < σ$ положительно, потребуем чтобы и первое слагаемое тоже было положительно, То есть имеем:

$$Y\left( 0 \right) = \frac{{C0}}{{1 - \frac{\gamma }{\sigma }}} > 0 \to Y\left( 0 \right) > \frac{{C0}}{{1 - \frac{\gamma }{\sigma }}} \to 1 - \frac{\gamma }{\sigma } > \frac{{C0}}{{Y\left( 0 \right)}} \to \gamma < \frac{{Y\left( 0 \right) - C0}}{{Y\left( 0 \right)}} \cdot \sigma = s_0 \cdot \sigma$$

Следовательно, в этом случае доход постоянно растет во времени. При $t \to \infty$ величина $s\left( t \right) \to 1.0$, 1, то есть в пределе потребление стремиться к нулю.

Случай 4 $γ < σ$ и $γ = s_0*σ$ - темп прироста потребления меньше значения мультипликатора и равен первоначальному темпу прироста дохода. Имеем дифференциальное уравнение:

$$\frac{{dY}}{{dt}} = \sigma \cdot Y\left( t \right) - \sigma \cdot C0e^{\sigma s_0 t} \;\;\;\;(35)$$

Решение этого уравнения имеет следующий вид:

$$Y\left( t \right) = \frac{{C0}}{{1 - s_0 }}e^{\sigma s_0 t} \to Y\left( 0 \right) = \frac{{C0}}{{1 - s_0 }} \to Y\left( t \right) = Y\left( 0 \right) \cdot e^{\sigma s_0 t}$$

тогда имеем:

$$s\left( t \right) = \frac{{I\left( t \right)}}{{Y\left( t \right)}} = \frac{{Y\left( t \right) - C0 \cdot e^{\sigma s_0 t} }}{{Y\left( t \right)}} = \frac{{Y\left( 0 \right) - C0}}{{Y\left( 0 \right)}} = s_0 \;\;\;\;(36)$$

Таким образом, норма сбережения в этом случае будет постоянной, темп прироста дохода будет равен произведению этой нормы на технологический мультипликатор.

Случай 5 s0σ < γ < σ - темп прироста потребления меньше значения мультипликатора,но больше первоначального темпа прироста дохода.В этом случае доход сначало растет на интервале времени, величина которого определяется значением γ (этот интервал тем меньше, чем больше γ превосходит s0σ),а затем резко падает вниз. При этом s и ro к концу этого интервала времени обращаются в ноль, то есть система разрушается.

Проанализируем модель Харрода (27) с помощью динамической модели Engee:

Решим для примера две задачи, используя модель Харрода-Домара:

1. Найти максимально возможный темп прироста дохода для экономики, в которой σ =0.25 и определить,через, сколько времени в этой экономике доход увеличиться вдвое.

2. Имеем экономику, в которой отсутствует потребление, и акселератор a зависит от времени следующим образом:$a\left( t \right) = a\left( 0 \right) \cdot e^{kt}$ , где $a(0)$ − значение акселератора в начальный момент времени,$k > 0$. Определить предел роста дохода и построить его траекторию во времени.

Задача 1

Максммальный темп прироста дохода,согласно модели,будет в экономике, где s=1.0 , следовательно, потребление тоже равно нулю, а темп прироста дохода будет максимальным и равным мультипликатору σ =0.25. Ниже приведен скрипт,который на основе использования модели с максимальным темпом прироста дохода определяет диапозон времени [0.0,2.775], за который доход увелечится вдвое.

Задача 2

Акселератор $a = \frac{1}{\sigma } \to \sigma \left( t \right) = \frac{1}{{a\left( t \right)}} = \frac{1}{{a\left( 0 \right)}} \cdot e^{ - kt}$. Используем модель без потребления с переменным мультипликатором σ(t),s=1.0 , a(0) = 0.4 и k=2.5. Ниже представлен скрипт, позволяющий определять предел роста дохода в такой экономике.

Выводы

Таким образом, согласно модели Харрода-Домара наиболее разумным вариантом экономического развития является такое развитие, при котором потребление и накопление растут с постоянным темпом, причем темп прироста дохода также постоянен и равен σ*s0 (случай 4).

Из модели Харрода следует, что постоянного сбалансированного роста можно достичь двумя путями.

1. В начальный момент выбирается норма сбережения s0 и тогда ищется оптимальный темп роста потребления γ=σ*s0.

2. Выбирается желаемый темп роста потребления γ и тогда ищется норма накопления s0 = γ/σ, обеспечивающая этот темп.

При сбалансированном равновесном росте темпы прироста предложения (дохода), потребления и инвестиций совпадают и равны σ*s.

Попытки прогнозировать экономический рост на основе модели Харрода-Домара оказались неудачными. Исследователи пришли к выводу, что модель не объясняет основных детерминант роста.

ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ Р.СОЛОУ- Т.СВАНА¶

1. Краткие теоретические сведения¶

Модель построена на следующих постулатах :

1. Рассматривается однопродуктовая закрытая экономика без государства;

2. Абстрагируются:

• от индивидуальных предпочтений домашних хозяйств;

• от наличия разных производящих секторов в экономике;

• от существования в экономике взаимозависимостей.

3. В экономике имеется большое число одинаковых репрезентативных домохозяйств, т.е. спрос и предложение труда могут быть представлены на примере единственного домохозяйства. Домохозяйства владеют всем наличным трудом и капиталом и полностью их поставляют на рынок. При этом имеет место полная занятость.

4. В экономике имеется очень большое число одинаковых репрезентативных фирм, т.е. все фирмы характеризуются одной и той же неоклассической ПФ:

$Y(t) = F(K(t),L(t),A(t))$ Где

$Y(t)$ – доход (конечный произведенный продукт) в период $t$

$K(t)$ - капитал в экономике в период $t$

$L(t)$ -труд в экономике в период $t$

$A(t)$ – технология в экономике впериод $t$ (она находится в свободном доступе, т.е является неконкурентным и не исключаемым благом)

5. Свойства неоклассической ПФ

ПФ является дважды дифференцируемой по K и L и удовлетворяет неравенствам:

$$F_K \left( {K,L,A} \right) \equiv \frac{{\partial F\left( {K,L,A} \right)}}{{\partial K}} > 0 \cdot \cdot \cdot F_L \left( {K,L,A} \right) \equiv \frac{{\partial F\left( {K,L,A} \right)}}{{\partial L}} > 0$$

$$F_{KK} \left( {K,L,A} \right) \equiv \frac{{\partial ^2 F\left( {K,L,A} \right)}}{{\partial K^2 }} < 0 \cdot \cdot \cdot F_{LL} \left( {K,L,A} \right) \equiv \frac{{\partial ^2 F\left( {K,L,A} \right)}}{{\partial L^2 }} < 0$$

$$F\left( {0,L,A} \right) = F\left( {K,0,A} \right) = 0 \cdot \cdot \cdot F\left( {\infty ,L,A} \right) = F\left( {K,\infty ,A} \right) = \infty$$

ПФ обладает постоянной отдачей от масштаба, т.е. является линейно однородной:

$$F\left( {\gamma \cdot K,L,A} \right) = \gamma \cdot F\left( {K,L,A} \right)$$

6. Эндогенные факторы:

• $Y(t)$ – доход (конечный продукт) в период $t$;

• $C(t)$ - потребление в период $t$;

• $S(t )$ - сбережение в период $t$;

• $Inv(t)$- инвестиции в период $t$;

• $K(t)$ - капитал в период $t$;

• $ΔK(t+1)$ - прирост капитала в период $t+1$;

• $K(t+1)$ - капитал в период $t+1$;

• $L(t)$ - население в период $t$;

• $L(t+1)$ - население в период $t+1$.

7. Экзогенные факторы:

• s =const -норма сбережения;

• $\delta=const$ норма выбытия капитала;

• $n=const$ темп роста населения;

• $K0$ -капитал в период $t=0$;

• $L0$ – население в период $t=0$;

• $F(K(t),L(t),A(t))$ - неоклассическая ПФ.

1.1 Базовый объемный вариант модели Солоу-Свана в дискретном времени (основные уравнения и логика движения экономики).¶

1. Объем выпуска (национального дохода) в любой период дискретного времени t определяется уравнением:

$$Y\left( t \right) = F\left( {K\left( t \right),L\left( t \right),A\left( t \right)} \right) \;\;\;\;(1)$$

2. Доход должен быть равен сумме сбережений и потребления (уравнение Кейнса):

$$Y\left( t \right) = C\left( t \right) + S\left( t \right) \;\;\;\;(2)$$

$C(t)$ – потребление в период $t$; $S(t)$- сбережения в период $t$

Сбережения формируются домашними хозяйствами в экономике как некоторая постоянная доля $s$ дохода (норма сбережения $s=const$), тогда имеем:

$$S\left( t \right) = s \cdot Y\left( t \right) \;\;\;\;(3)$$

Потребление из (2) и (3) будет тогда равно:

$$C\left( t \right) = Y\left( t \right) - s \cdot Y\left( t \right) = \left( {1 - s} \right) \cdot Y\left( t \right) \;\;\;\;(4)$$

3. Считается, что все сбережения идут на инвестиции в капитал:

$$S\left( t \right) = s \cdot Y\left( t \right) = Inv\left( t \right) = s \cdot F\left( {K\left( t \right),L\left( t \right),A\left( t \right)} \right) \;\;\;\;(5)$$

4. Инвестиции в период $t$ тратятся на восстановление капитала, который износился за этот период (капитал теряет свою стоимость с темпом $\delta \in \left( {0,1} \right)$, т. е. за период t будет потеряно $\delta \cdot K\left( t \right)$ капитала) и на приобретение нового капитала на период $t+1$ .

Следовательно, имеем:

$$Inv\left( t \right) = \Delta K\left( {t + 1} \right) + \delta \cdot K\left( t \right) \;\;\;\;(6)$$

$$K\left( {t + 1} \right) = K\left( t \right) + \Delta K\left( {t + 1} \right) \;\;\;\;(7)$$

Из (6) и (5) получаем:

$$\Delta K\left( {t + 1} \right) = Inv\left( t \right) - \delta \cdot K\left( t \right) = s \cdot F\left( {K\left( t \right),L\left( t \right),A\left( t \right)} \right) - \delta \cdot K\left( t \right) \;\;\;\;(8)$$

Подставляя (8) в (7), получаем основное уравнение движения капитала в модели Солоу-Свана:

$$K\left( {t + 1} \right) = s \cdot F\left( {K\left( t \right),L\left( t \right),A\left( t \right)} \right) + \left( {1 - \delta } \right) \cdot K\left( t \right) \;\;\;\;(9)$$

5. Труд (население) в модели считается растущим cпостоянным темпом $n$:

$$L\left( {t + 1} \right) = L\left( t \right) + n \cdot L\left( t \right) = \left( {1 + n} \right) \cdot L\left( t \right) \;\;\;\;(10)$$

$$L\left( t \right) = \left( {1 + n} \right)^t \cdot L\left( 0 \right) = L\left( 0 \right) \cdot e^{nt} \;\;\;\;(11)$$

6. Логика движения экономики по Солоу в дискретном времени представлена на рис.1

1.2 Базовый удельный вариант модели Солоу-Свана в дискретном времени (основные уравнения и логика движения экономики).¶

Рассмотрим удельный вариант модели, в котором рассматриваются соответствующие экономические величины приведенные к одному работнику.

1. Разделим обе части уравнения (1) на $L(t)$ получим:

$$\frac{{Y\left( t \right)}}{{L\left( t \right)}} = F\left( {\frac{{K\left( t \right)}}{{L\left( t \right)}},1,A\left( t \right)} \right) \to y\left( t \right) = f\left( {k\left( t \right)} \right) \;\;\;\;(12)$$

где

$y\left( t \right) = \frac{{Y\left( t \right)}}{{L\left( t \right)}}$ -доход на душу населения т.е. производительность труда;

$k = \frac{{K\left( t \right)}}{{L\left( t \right)}}$ - капиталовооруженность ;

$A\left( t \right) = 1$ -технологический прогресс отсутствует.

2. Аналогично из (3) (4) и (5) имеем:

$$\hat s = s \cdot y\left( t \right) \;\;\;\;(13)$$

$$c\left( t \right) = \left( {1 - s} \right) \cdot y\left( t \right) \;\;\;\;(14)$$

$$inv\left( t \right) = s \cdot y\left( t \right) = s \cdot f\left( {k\left( t \right)} \right) \;\;\;\;(15)$$

где

${\hat s}$ -сбережение на душу населения;

$c\left( t \right)$ -потребление на душу населения

$inv\left( t \right)$ -инвестиции на душу населения

3. Из уравнений (5) (6) имеем:

$$\frac{{\Delta K_{t + 1} }}{{L_t }} = \frac{{s \cdot F\left( {K_t ,L_t } \right)}}{{L_t }} - \delta \frac{{K_t }}{{L_t }}$$

Так как $\Delta K_{t + 1} = \frac{{dK}}{{dt}}\Delta t = \frac{{dK}}{{dt}} = K' \cdot \cdot \frac{{s \cdot F\left( {K_t ,L_t } \right)}}{{L_t }} = s \cdot F\left( {\frac{{K_t }}{{L_t }}} \right) = s \cdot f\left( k \right)$ получаем:

$$\frac{{K'}}{{L_t }} = s \cdot f\left( k \right) - \delta \cdot k \;\;\;\;(16)$$

Найдем $k' = \frac{{d\frac{K}{L}}}{{dt}} = \frac{{K' \cdot L_t - L' \cdot K_t }}{{L_t^2 }} = \frac{{K'}}{{L_t }} - \frac{{K_t \cdot L'}}{{L_t \cdot L_t }} = k \cdot \frac{{n \cdot L_0 \cdot e^{nt} }}{{L_0 \cdot e^{nt} }}$,следовательно:

$$\frac{{K'}}{{L_t }} = k' + k \cdot n \;\;\;\;(17)$$

Из (16)и (17) имеем :

$$k' = s \cdot f\left( k \right) - \left( {n + \delta } \right) \cdot k \;\;\;\;(18)$$

Разностный аналог уравнения (18) имеет вид:

$$\Delta k_{t + 1} = s \cdot f\left( {k_t } \right) - \left( {n + \delta } \right) \cdot k_t \;\;\;\;(19)$$

Тогда имеем:

$$k_{t + 1} = k_t + \Delta k_{t + 1} = s \cdot f\left( {k_t } \right) + \left( {1 - \left( {n + \delta } \right)} \right) \cdot k_t \;\;\;\;(20)$$

4. Логика движения экономики по Солоу в удельном варианте и дискретном времени представлена на рис.2

1.3 Анализ модели Солоу-Свана¶

1. Стационарное состояние экономики.

ПФ $f(k_t)$ , определяющая объем выпуска на душу населения $y(t)$ в любой момент времени $t$, является монотонно возрастающей функцией от капиталовооруженности $k_t$ , т. е имеем:

$$\infty > \frac{{df}}{{dk}} \ge 0..\frac{{d^2 f}}{{dk^2 }} < 0 \;\;\;\;(21)$$

Следовательно, $0 \le f\left( {k_t } \right) \le b = const$ при $0 \le k_t \le \infty$. То есть

$$\begin{array}{l} k\left( t \right) \to 0..f\left( {k\left( t \right)} \right) \to 0..s \cdot f\left( {k\left( t \right)} \right) \to 0 \\ k\left( t \right) \to \infty ..f\left( {k\left( t \right)} \right) \to b..s \cdot f\left( {k\left( t \right)} \right) \to s \cdot b \\ \end{array} \;\;\;\;(22)$$

$$k\left( t \right) \to 0..\frac{{df}}{{dk}} \to \infty ..k\left( t \right) \to \infty ..\frac{{df}}{{dk}} \to 0 \;\;\;\;(23)$$

Динамика функции $k\left( t \right)$ зависит от соотношения динамик капитала и населения, если капитал растет быстрее населения, то $k\left( t \right)$ возрастает при обратном соотношении падает. Можно показать, что существует такое состояние, к которому стремится экономика, где $k\left( t \right) = const = k^*$ ,то есть $k' = 0$. В этом состоянии темп роста выпуска, потребления и капитала равны темпу роста населения. Такое состояние экономики называется стационарным, точка $k^*$ стационарной. Найдем стационарную точку из условия:

$$0 = s \cdot f\left( {k^* } \right) - \left( {n - \delta } \right) \cdot k^* \to k^* = \frac{{s \cdot f\left( {k^* } \right)}}{{\left( {n - \delta } \right)}} \;\;\;\;(24)$$

Стационарную точку можно найти и графически рис 3

На рис. 3 представлены: функция $f(k)$ - объем выпуска на душу населения, функция $sf(k)$ - объем сбережений на душу населения и функция $\left( {n + \delta } \right) \cdot k$ , характеризующая объем инвестиций на душу населения необходимых для обеспечения постоянства капиталовооруженности.Точка пересечения $s \cdot f\left( k \right)$ и $\left( {n + \delta } \right) \cdot k$ представляет собой стационарную точку $k^*$.В интервале $(0,k^* ]$ имеем $s \cdot f\left( k \right) > \left( {n + \delta } \right) \cdot k$.т.е.инвестиций в экономике больше, чем это необходимо для обеспечения постоянства капиталовооруженности. Рассмотрим экономику в точке $k' \in (0,k^* ]..and..k' < k^*$ в этой точке величина $s \cdot f\left( {k'} \right) > \left( {n + \delta } \right) \cdot k'$ представляет собой чистые инвестиции на душу населения, которые увеличивают капиталовооруженность, а величина $f\left( {k'} \right) - s \cdot f\left( {k'} \right)$ характеризует объем потребления на душу населения. В стационарной точке $k^*$ , $s \cdot f\left( {k^* } \right) > \left( {n + \delta } \right) \cdot k^*=0$ т.е чистые инвестиции равны нулю, а объем потребления равен $f\left( {k^* } \right) - s \cdot f\left( {k^* } \right) = f\left( {k^* } \right) - \left( {n + \delta } \right) \cdot k^*$

Докажем существование стационарной точки. Рассмотрим точку в окрестности начала координат $k_n = 0 + \varepsilon = \varepsilon$ где $\varepsilon > 0$ положительная бесконечно малая величина, тогда $s \cdot f\left( {k_n } \right) = s \cdot \varepsilon \cdot \frac{{df}}{{dk}}$ и $\varepsilon \cdot \left( {n + \delta } \right)$ из (23) имеем $\frac{{df}}{{dk}} > \left( {n + \delta } \right)$ , следовательно:

$$s \cdot f\left( {k_n } \right) > k_n \cdot \left( {n + \delta } \right)$$

Рассмотрим точку в окрестности конца координат $k_k = \hat k_k + \varepsilon = \infty - \varepsilon + \varepsilon$ тогда из (22) $s \cdot f\left( {k_k } \right) = s \cdot f\left( {\hat k_k } \right) + s \cdot \varepsilon \frac{{df}}{{dk}} = s \cdot b + s \cdot \varepsilon \frac{{df}}{{dk}}$ и $\hat k_k \cdot \left( {n + \delta } \right) + \varepsilon \cdot \left( {n + \delta } \right)$ из (23) имеем $\frac{{df}}{{dk}} < \left( {n + \delta } \right)$ и $s \cdot b < \hat k_k \cdot \left( {n + \delta } \right)$ ,следовательно:

$$s \cdot f\left( {k_k } \right) < k{}_k \cdot \left( {n + \delta } \right)$$

Таким образом, так как функция $f$(k(t))$ в интервале $(0, ∞)$ монотонно возрастающая, гладкая, непрерывная и удовлетворяющая условиям (21, 22) и $k \cdot \left( {n + \delta } \right)$ линейно растущая функция, то в этом интервале обязательно выполняется условие:

$$s \cdot f\left( {k^* } \right) = k^* \cdot \left( {n + \delta } \right) \;\;\;\;(25)$$

Это эквивалентно существованию стационарной точки.

2. Золотое правило накопления капитала

Из (24) видно, что стационарное состояние экономики зависит от нормы сбережения $s$, а следовательно, от нормы сбережения зависит и потребление на душу населения в стационарной точке. Как изменяется стационарное потребление на душу населения при изменении нормы сбережения и какова норма сбережения, которая максимизирует стационарное потребление. Из (14) имеем:

$$c\left( {k^* \left( s \right)} \right) = f\left( {k^* \left( s \right)} \right) - s \cdot f\left( {k^* \left( s \right)} \right) \;\;\;\;(26)$$

Из (25) имеем:

$$c\left( {k^* \left( s \right)} \right) = f\left( {k^* \left( s \right)} \right) - k^* \left( s \right)\left( {n + \delta } \right) \;\;\;\;(27)$$

Тогда условие максимума потребления имеет вид:

$$\frac{{dc\left( {k^* \left( s \right)} \right)}}{{ds}} = \frac{{d\left( {f\left( {k^* \left( s \right)} \right) - k^* \left( s \right)\left( {n + \delta } \right)} \right)}}{{ds}} = \frac{{df\left( {k^* \left( s \right)} \right)}}{{dk}} \cdot \frac{{dk^* \left( s \right)}}{{ds}} - \left( {n + \delta } \right) \cdot \frac{{dk^* \left( s \right)}}{{ds}} = 0 \to$$

$$\frac{{df\left( {k^* \left( s \right)} \right)}}{{dk}} = \left( {n + \delta } \right) \;\;\;\;(28)$$

Стационарная капиталовооруженность получаемая из уравнения (28) называется капиталовооруженностью, соответствующей золотому правилу и обозначается - $k^g$:

$$\frac{{df\left( {k^g \left( s \right)} \right)}}{{dk}} = \left( {n + \delta } \right) \;\;\;\;(29)$$

Уравнение (29) определяющее стационарную капиталовооруженность максимизирующую стационарное потребление называется золотым правилом накопления капитала. Из (25) и (29) имеем норму сбережения, обеспечивающую макси- мальное потребление на душу население :

$$s^g \cdot f\left( {k^g } \right) = k^g \cdot \left( {n + \delta } \right) \to s^g = \frac{{k^g \cdot \left( {n + \delta } \right)}}{{f\left( {k^g } \right)}} \;\;\;\;(30)$$

Величина максимального стационарного потребления определяетсяиз уравнения:

$$c^g = f\left( {k^g } \right) - k^g \cdot \left( {n + \delta } \right) \;\;\;\;(31)$$

Проиллюстрируем золотое правило накопления капитала графически (рис.4).Капиталовооруженность в стационарном состоянии экономики $k^g$ соответствует золотому правилу, так как определяется нормой сбережения $s^g$ , которая задает максимальное стационарное потребление на душу населения $c^g$. Уменьшение нормы сбережения $s^2 < s^g$ и ее увеличение $s^1 > s^g$ уменьшают стационарное потребление на душу населения, т.е. $c^2 < c^g$ и $c^1 < c^g$. При этом угол наклона касательной к функции выпуска $f(k^g)$ в точке $k^g$ равен $n + \delta$ ,что эквивалентно условию (29).

При переходе экономики из стационарного состояния с нормой сбережения с $s^1$ к стационарному состоянию с нормой $s^g$ ($s^1 > s^g$) увеличивается соответственно стационарное потребление на душу населения с уровня $c^1$ до уровня $c^g$. Но процесс этот не одномоментный, а имеет следующий вид (рис. 5). То есть экономика имеющая ному сбережения больше чем $s^g$ сберегает слишком много и распределение ресурсов в этом случае является динамически неэффективным.Если норма сбережения в экономике $s^2$ и меньше чем $s^g$ , то увеличив ее до уровня $s^g$ мы увеличиваем стационарную капиталовооруженность с уровня $k^2$ до уровня $k^g$, но в переходный период потребление на душу населения остается ниже $c^g$ (рис.6). Однозначно определить эффективно распределяются ресурсы или нет нельзя, потому что нельзя оценить, что важнее текущее состояние или будущее.

3. Экономический рост: долгосрочная динамика и переходный период.

В стационарном состоянии капиталовооруженность постоянна, следовательно, постоянна и производительность труда. Таким образом, долгосрочный рост выпуска не зависит от экзогенных параметров нормы сбережения и нормы амортизации, а зависит только от темпов роста населения. Однако эти экзогенные параметры влияют на производительность труда в переходный период при движении экономики к стационарному состоянию.

Рассмотрим, чем определяется темп роста капиталовооруженности на равновесной траектории. Поделим обе части уравнения (18) на kполучим уравнение динамики темпа роста капиталовооруженности:

$$\frac{{k'}}{k} = \frac{{s \cdot f\left( {k_t } \right)}}{k} - \left( {n + \delta } \right) \;\;\;\;(32)$$

Изобразим динамику экономики в модели Солоу, описываемую уравнением (32) графически (рис. 7).

Как видно $\frac{{s \cdot f\left( {k_t } \right)}}{k}$ является убывающей функцией $k$. Расстояние по вертикали между $\frac{{s \cdot f\left( {k_t } \right)}}{k}$ и $\left( {n + \delta } \right)$ является темпом роста капиталовооруженности $\frac{{k'}}{k}$ в точке пересечения (в стационарной точке $k^*$) $\frac{{k'}}{k}=0$. Слева от стационарной точки $\frac{{k'}}{k}>0$ , а справа $\frac{{k'}}{k}<0$. Динамика темпа роста роизводительности труда аналогична динамике темпа роста капиталовооруженности. Продифференцируем уравнение (12) имеем:

$$\frac{{dy}}{{dt}} = \frac{{df}}{{dk}} \cdot \frac{{dk}}{{dt}} \to y' = f' \cdot k'\;\;\;\;(33)$$

Разделим обе части уравнения (33) на $y$ получаем:

$$\frac{{y'}}{y} = \frac{{f'}}{f} \cdot k' = \frac{{f' \cdot k \cdot k'}}{k} = s_k \cdot \frac{{k'}}{k} \;\;\;\;(34)$$

Анализируя стационарное состояние можно сделать следующее заключение, что стационарное состояние зависит от нормы сбережения, нормы амортизации и темпа роста населения.

а. Изменение нормы сбережения.

При повышении нормы сбережения с $s1$ до $s2$ кривая $sf(k)$ смещается вверх и стационарная точка перемещается из $k_1$ в $k_2$ т.е. стационарная капиталовооруженность возрастает (рис.8). Как видно из рис.8 при росте нормы сбережения темп роста капиталовооруженности скачком возрастает и становится выше темпа роста населения, но по мере роста капиталовооруженности темп ее роста постепенно снижается и точке пересечения $\left( {n + \delta } \right)$ и $s_2 \cdot f\left( k \right) \cdot k_2$ становиться равной нулю. Таким образом, в долгосрочной перспективе повышение нормы сбережения не влияет на темпы роста капиталовооруженности и выпуска, но влияет на темпы роста в процессе движения к новому стационарному состоянию.

б. Изменение темпов роста населения

При повышении темпов роста населения с $n_1$ до nP_2 стационарная капиталовооруженность уменьшается с $k_1$ до $k_2$ , а темпы ее роста скачком уменьшаются до некоторого отрицательного значения. Экономика начинает двигаться так, что капиталовооруженность начинает падать, а темп ее роста увеличиваться. Это происходит до тех пор пока не будет достигнута новая стационарная точка $k_2$ , здесь темп рост капиталовооруженности становится равным нулю. (рис.9). Аналогичную динамику демонстрирует и производительность труда.

Если имеется группа стран с одинаковыми нормами сбережения и амортизации капитала, темпом роста населения и одинаковыми технологиями, то они имеют одну и ту же стационарную капиталовооруженность. При этом каждая из стран может иметь различные текущие значения капиталовооруженности. Согласно модели Солоу, чем дальше отстоит текущие значение капиталовооруженности от стационарного, тем более высокие темпы ее роста будут наблюдаться. Следовательно, отстающие страны будут догонять передовые, т.е должна иметь место абсолютная конвергенция.

Но на практике этого не наблюдается, так как разные страны имеют разные нормы сбережения и амортизации, темпы роста населения и технологии, а значит и разные стационарные точки. При этом, те страны текущие значение капиталовооруженности которых дальше отстает от их стационарных значений, должны развиваться быстрее, т.е. имеет место относительная конвергенция.

Ниже представлен скрипт исследования удельной дискретной модели Солоу без НТП, который позволяет:

1. Рассчитать значение капиталовооруженности в стационарной точке $k^*$ и точке, соответствующей золотому правилу накопления капитала $k^g$ (для этого используются соотношения 25 и 29).

2. Строить графики y(t), k(t), inv(t), c(t).

3. Строить график движения экономики к стационарной точке $k^*$ и графически определяет ее (рис. 3).

4. Строить графики, позволяющие графически определить точку $k^g$,соответствующую золотому правилу накопления капитала (рис. 4)

5. Строить графики, описывающие темпы прироста капиталовооруженности при разных нормах сбережения (рис. 8).

6. Строить графики, описывающие темпы прироста производительности труда при разных нормах сбережения.