Почти простое число
maximsidorovПочти простые числа на Julia
Этот пример демонстрирует реализацию алгоритма поиска "почти простых чисел" (almost prime numbers)
Введение
Алгоритм почти простых чисел используется для нахождения натуральных чисел, которые имеют заданное количество простых множителей с учетом кратности. Эти числа находят применение в теории чисел, криптографии и других областях математики.
Что такое "почти простые числа"?
Почти простое число порядка (k-almost prime) - это натуральное число, которое имеет ровно простых множителей, считая кратности. Например:
- 1-almost primes (простые числа): 2, 3, 5, 7, 11...
- 2-almost primes (полупростые числа): 4, 6, 9, 10, 14...
- 3-almost primes: 8, 12, 18, 20, 27...
Основная часть
Перед использованием внешнего пакета Primes необходимо его установить:
import Pkg; Pkg.add("Primes")
Подключаем необходимый пакет для работы с простыми числами:
using Primes # Пакет для работы с простыми числами и факторизацией
Определяем функцию проверки, является ли число почти простым:
# Функция проверяет, является ли число n почти простым порядка k
# almost prime k-го порядка - число с ровно k простыми множителями (с учетом кратности)
isalmostprime(n::Integer, k::Integer) = sum(values(factor(n))) == k
factor(n) - возвращает словарь простых множителей и их степеней
values(factor(n)) - извлекает степени простых множителей
sum(values(factor(n))) - сумма всех степеней = общее количество простых множителей с учетом кратности
Реализуем основную функцию для генерации первых почти простых чисел порядка :
# Функция возвращает первые N почти-k-простых чисел
function almostprimes(N::Integer, k::Integer)
# Создаем вектор для хранения результатов размером N типа k
P = Vector{typeof(k)}(undef,N)
# Инициализируем счетчик найденных чисел и текущее проверяемое число
i = 0; n = 2
# Цикл продолжается пока не найдем N чисел
while i < N
# Если текущее число является почти простыми порядка k
if isalmostprime(n, k)
# Сохраняем его в массив результатов и увеличиваем счетчик
P[i += 1] = n
end
# Переходим к следующему числу
n += 1
end
# Возвращаем вектор найденных почти простых чисел
return P
end
Генерируем и выводим первые 10 почти простых чисел для каждого порядка от 1 до 5:
# Для каждого значения k от 1 до 5 генерируем и выводим первые 10 почти простых чисел
for k in 1:5
# Генерируем первые 10 почти простых чисел порядка k
primes_k = almostprimes(10, k)
# Преобразуем числа в строки и соединяем их запятыми
result_str = join(primes_k, ", ")
# Выводим результат в форматированном виде
println("$k-почти простые: $result_str...")
end
Как работает функция factor?
Для понимания работы алгоритма важно знать, что функция factor(n) из пакета Primes возвращает словарь, где ключи - это простые множители числа, а значения - их степени. Например:
factor(12)вернетDict(2 => 2, 3 => 1), так какsum(values(Dict(2 => 2, 3 => 1)))= 2 + 1 = 3, что соответствует трем простым множителям: 2, 2, 3
Заключение
Мы рассмотрели реализацию алгоритма поиска почти простых чисел на языке Julia. Программа позволяет генерировать almost prime числа различных порядков, что может быть полезно для исследований в теории чисел и других математических приложений. Использование пакета Primes значительно упростило реализацию факторизации чисел.
Пример разработан с использованием материалов Rosetta Code