Моделируем заряженные вращающиеся черные дыры

Данный расчет позволяет провести количественный анализ геометрии пространства-времени в окрестности релятивистских объектов с ненулевыми мультипольными моментами, что необходимо для верификации предсказаний ОТО в сильных гравитационных полях. Полученные тензорные инварианты используются для исследования сингулярной структуры пространства-времени и анализа устойчивости геодезических траекторий в экстремальных гравитационных условиях.

Описание работы

Расчет четырехвекторов и тензоров кривизны для заряженных вращающихся черных дыр (метрика Керра-Ньюмена) является критически важной задачей в современной астрофизике и теории гравитации.

Эти вычисления позволяют количественно описать искривление пространства-времени в окрестности массивных вращающихся объектов с электрическим зарядом.

Практическая значимость таких расчетов заключается в возможности моделирования траекторий движения частиц, предсказания форм аккреционных дисков и анализа устойчивости орбит вокруг релятивистских объектов.

Для реализации алгоритмов нам потребуется только библиотека функций линейной алгебры:

using LinearAlgebra

Теоретическая основа алгоритма

В инженерной интерпретации, метрика Керра-Ньюмена представляет собой математическую модель, описывающую "геометрию" пространства-времени в присутствии массивного вращающегося заряженного тела. Тензор кривизны Римана в этом контексте можно рассматривать как аналог тензора деформаций в механике сплошных сред, характеризующий степень и характер искривления пространственно-временного континуума. Четырехвекторы описывают физические величины (импульс, скорость) в искривленном пространстве-времени.

Метрика Керра-Ньюмена в координатах Бойера-Линдквиста:

Компоненты метрического тензора:

function kerr_newman_metric(M, a, Q, r, θ)
    ρ² = r^2 + a^2*cos(θ)^2     # Функция горизонта и сингулярности
    Δ = r^2 - 2M*r + a^2 + Q^2  # Дискриминант для горизонтов событий
    
    g = zeros(4,4)
    g[1,1] = -(Δ - a^2*sin(θ)^2)/ρ²                      # g_tt - временная компонента
    g[1,4] = g[4,1] = -a*sin(θ)^2*(2M*r - Q^2)/ρ²        # g_tϕ - компонента вращения
    g[2,2] = ρ²/Δ                                        # g_rr - радиальная компонента  
    g[3,3] = ρ²                                          # g_θθ - угловая компонента
    g[4,4] = ((r^2+a^2)^2 - Δ*a^2*sin(θ)^2)*sin(θ)^2/ρ²  # g_ϕϕ - азимутальная компонента
    
    return g
end

kerr_newman_metric (generic function with 1 method)

Тензор кривизны показывает, насколько сильно искривлено пространство-время в каждой точке. Скаляр кривизны дает простую численную меру искривленности пространства для визуализации.

Остальные операции мы объединили в одну функцию:

Нормировка четырехвектора скорости:

где начальное условие ( u^t = 1 ), остальные компоненты нулевые.

Упрощенный расчет кривизны (конечно-разностная аппроксимация второй производной):

Это дискретный аналог оператора Лапласа для компоненты ( g_{tt} ).

Наша финальная цель — четырехвектор скорости, он описывает движение наблюдателя в искривленном пространстве-времени.

function compute_everything(M, a, Q, r, θ)
    # Всё в одной функции
    g = kerr_newman_metric(M, a, Q, r, θ)  # Метрический тензор
    
    # Четырехвектор скорости для статического наблюдателя
    u = zeros(4); u[4] = 1.0  # Начальное условие: dt/dτ = 1
    
    # Нормировка: g_μν u^μ u^ν = -1 (для времениподобного вектора)
    norm_squared = dot(u, g, u)  # Это должно быть отрицательным для времениподобного вектора
    if norm_squared >= 0
        # Если вектор пространственноподобный, это проблема - используем безопасную нормировку
        u ./= sqrt(abs(norm_squared))
    else
        u ./= sqrt(-norm_squared)  # Корень из положительного числа
    end
    
    # Простой расчет кривизны через вторую производную
    h = 1e-6  # Шаг для численного дифференцирования
    g_rp = kerr_newman_metric(M, a, Q, r+h, θ)  # Метрика в точке r+h
    g_rm = kerr_newman_metric(M, a, Q, r-h, θ)  # Метрика в точке r-h
    R_simple = (g_rp[1,1] - 2g[1,1] + g_rm[1,1]) / h^2  # Конечная разность второй производной g_tt
    
    return g, u, R_simple
end

compute_everything (generic function with 1 method)

Использование алгоритма

Используем этот код:

# Параметры черной дыры и координаты точки наблюдения
M = 1.0    # Масса черной дыры в натуральных единицах
a = 0.5    # Параметр вращения (a = J/M)
Q = 0.3    # Электрический заряд черной дыры
r = 2.0    # Радиальная координата (расстояние от центра)
θ = π/4    # Угловая координата (π/4 = 45°)

# Вычисление всех величин в заданной точке
g, u, R = compute_everything(M, a, Q, r, θ)

# Вывод результатов
println("Метрика Керра-Ньюмена в точке (r=$r, θ=$θ):")
display(g)
println("\nЧетырехвектор скорости статического наблюдателя:")
println("u = $u")  # Компоненты: [u^r, u^θ, u^ϕ, u^t]
println("\nУпрощенная мера кривизны (вторая производная g_tt):")
println("R ≈ $R")

Метрика Керра-Ньюмена в точке (r=2.0, θ=0.7853981633974483):

4×4 Matrix{Float64}:
 -0.0521212   0.0     0.0    -0.23697
  0.0        12.1324  0.0     0.0
  0.0         0.0     4.125   0.0
 -0.23697     0.0     0.0     2.18424

Четырехвектор скорости статического наблюдателя:
u = [0.0, 0.0, 0.0, 0.6766274006347055]

Упрощенная мера кривизны (вторая производная g_tt):
R ≈ 0.38258285428582894

Построим тепловые карты метрики и кривизны:

using Plots.PlotMeasures

# Создаем сетку для визуализации
r_range = range(1.5, 5.0, length=50)  # Радиус от 1.5 до 5 (избегаем сингулярность)
θ_range = range(0.1, π-0.1, length=50)  # Угол от 0.1 до π-0.1 (избегаем полюса)

# Вычисляем компоненты метрики и кривизны на сетке
g_tt_values = [kerr_newman_metric(M, a, Q, r, θ)[1,1] for r in r_range, θ in θ_range]
g_rr_values = [kerr_newman_metric(M, a, Q, r, θ)[2,2] for r in r_range, θ in θ_range]
curvature_values = [compute_everything(M, a, Q, r, θ)[3] for r in r_range, θ in θ_range]

p1 = heatmap(r_range, θ_range, g_tt_values', 
            title="Временная компонента метрики g_tt",
            ylabel="Угол θ",
            color=:viridis, clim=(-2, 0), titlefont=font(12), topmargin=2mm, titlelocation=:left)

p2 = heatmap(r_range, θ_range, g_rr_values', 
            title="Радиальная компонента метрики g_rr", 
            ylabel="Угол θ",
            color=:plasma, clim=(0, 10), titlefont=font(12), topmargin=2mm, titlelocation=:left)

p3 = heatmap(r_range, θ_range, curvature_values',
            title="Упрощенная мера кривизны",
            xlabel="Радиус r", ylabel="Угол θ", 
            color=:hot, clim=(-1, 1), titlefont=font(12), topmargin=2mm, titlelocation=:left)

# Отображаем все графики вместе
plot(p1, p2, p3, layout=(3,1), size=(800, 900))

Эта карта показывает, как искривление пространства-времени убывает по мере удаления от заряженной вращающейся черной дыры.

Заключение

Код, представленный здесь, позволяет проводить численные расчеты геометрических характеристик пространства-времени вокруг заряженных вращающихся черных дыр для различных значений массы, углового момента и электрического заряда. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего анализа гравитационных эффектов в сильных полях и моделирования астрофизических процессов в окрестностях релятивистских объектов.

Вращающаяся черная дыра

Моделируем заряженные вращающиеся черные дыры

Описание работы

Теоретическая основа алгоритма

Использование алгоритма

Заключение

Тип

Краткое описание

Связанные материалы

Теги

Категории

Языки

Форматы

Уровень

Статус

Опубликовано

Обновлено

Источник