Максимизация высоты взлёта ракеты
artpgchОптимизация параметров управления ракетой
Введение
Актуальной задачей в области прикладной математики и теории управления является решение нелинейных задач оптимального управления динамическими системами. Данный пример рассматривает частный, но показательный случай такой задачи — максимизацию конечной высоты вертикального полёта ракеты с учётом её динамики.
Целью настоящего исследования является демонстрация методологии формулировки и численного решения подобных задач с использованием современных инструментов вычислительной оптимизации.
Представленная модель учитывает ключевые физические факторы: переменную массу вследствие расхода топлива, гравитацию, зависящую от высоты, и аэродинамическое сопротивление, что делает её подходящей для демонстрации принципов оптимального управления.
Присоединим необходимые библиотеки.
using JuMP, Ipopt, Measures
Необходимо подобрать такие оптимальные параметры, чтобы обеспечить максимально возможную высоту вертикально запускаемой ракеты.
Мы можем управлять тягой ракеты с учётом её массы, расхода топлива, гравитации и аэродинамическое сопротивления.
Рассмотрим базовое описание модели.
В нашей модели присутствуют три переменных состояния:
-
Скорость:
-
Высота:
-
Масса ракеты и оставшегося топлива:
и одна управляющая переменная:
- Тяга: .
Динамика ракеты описывается тремя уравнениями:
-
Скорость подъёма:
-
Ускорение:
-
Скорость потери массы: ,
где сопротивление является функцией высоты и скорости, гравитация — функцией высоты, а — константа.
Эти силы определяются следующим образом:
и
.
Мы используем дискретизированную по времени модель с фиксированным количеством шагов .
Таким образом, наша цель — максимизировать .
Исходные данные
В данной модели использованы нормализованные безразмерные параметры.
Инициализируем исходные данные.
h_0 = 1 # Начальная высота
v_0 = 0 # Начальная скорость
m_0 = 1.0 # Начальная масса
m_T = 0.6 # Конечная масса
g_0 = 1 # Гравитация на поверхности
h_c = 500 # Параметр высоты для сопротивления
c = 0.5 * sqrt(g_0 * h_0) # Удельный импульс (тяга к расходу топлива)
D_c = 0.5 * 620 * m_0 / g_0 # Коэффициент сопротивления
u_t_max = 3.5 * g_0 * m_0 # Максимальная тяга
T_max = 0.2 # Время полёта (в секундах)
T = 1_000 # Количество временных шагов
Δt = T_max / T # Длительность шага по времени
Создадим модель и выберем метод оптимизации. Поскольку это нелинейная задача, нам необходимо использовать нелинейный метод, такой как Ipopt.
model = Model(Ipopt.Optimizer)
set_silent(model)
Далее создадим переменные, которые описывают состояние и управление ракетой. Все они меняются со временем. Для того, чтобы метод быстрее нашёл решение, мы задаём для каждой переменной её приблизительное начальное значение.
@variable(model, x_v[1:T] >= 0, start = v_0) # Скорость
@variable(model, x_h[1:T] >= 0, start = h_0) # Высота
@variable(model, x_m[1:T] >= m_T, start = m_0) # Масса
@variable(model, 0 <= u_t[1:T] <= u_t_max, start = 0); # Тяга
Зададим начальные и конечные условия.
fix(x_v[1], v_0; force = true)
fix(x_h[1], h_0; force = true)
fix(x_m[1], m_0; force = true)
fix(u_t[T], 0.0; force = true)
Цель оптимизации — сделать так, чтобы к концу манёвра ракета достигла наибольшей возможной высоты.
@objective(model, Max, x_h[T])
Сопротивление и гравитация в модели задаются с помощью функций:
D(x_h, x_v) = D_c * x_v^2 * exp(-h_c * (x_h - h_0) / h_0)
g(x_h) = g_0 * (h_0 / x_h)^2
Ограничения оптимизации определяются в виде уравнений, описывающих движение ракеты.
ddt(x::Vector, t::Int) = (x[t] - x[t-1]) / Δt
@constraint(model, [t in 2:T], ddt(x_h, t) == x_v[t-1])
@constraint(model, [t in 2:T], ddt(x_v, t) == (u_t[t-1] - D(x_h[t-1], x_v[t-1])) / x_m[t-1] - g(x_h[t-1]))
@constraint(model, [t in 2:T], ddt(x_m, t) == -u_t[t-1] / c);
Выполним задачу оптимизации и проверим решение:
optimize!(model)
assert_is_solved_and_feasible(model)
solution_summary(model)
Определим функцию для построения графиков высоты, массы, скорости и тяги ракеты с оптимальными параметрами.
function траектория(y; kwargs...)
return Plots.plot(
(1:T) * Δt,
value.(y);
xlabel = "Время в секундах",
legend = false,
linewidth = 2,
kwargs...,
)
end
Построим график высоты полёта ракеты.
Plots.plot(траектория(x_h; ylabel = "Высота"))
Построим график изменения массы ракеты.
Plots.plot(траектория(x_m; ylabel = "Масса"))
Построим график скорости ракеты.
Plots.plot(траектория(x_v; ylabel = "Скорость"))
Построим график оптимальной тяги ракеты.
Plots.plot(траектория(u_t; ylabel = "Тяга"))
Заключение
В рамках данного исследования была успешно решена задача нелинейного оптимального управления для модели вертикального полёта ракеты. Поставленная цель — максимизация конечной высоты — достигнута путём построения дискретной аппроксимации исходной непрерывной задачи и её последующей оптимизации.
Методология, представленная в работе, является универсальной и может быть распространена на более сложные случаи, такие как задачи трёхмерной динамики, многостадийные полёты или системы с дополнительными фазовыми ограничениями. Таким образом, исследование вносит вклад в практику применения методов нелинейного программирования для решения инженерных задач оптимального управления.