Многочастичная симуляция стабильности кластеров

Многочастичная симуляция стабильности кластеров: подтверждение условия

УДК: 517.9 + 519.245 + 004.942
Авторы: Шунько Михаил Геннадиевич, Выпускник БНТУ ФИТР 2012
Ключевые слова: многочастичная симуляция, стабильность кластеров, form-to-force coupling, фазовая диаграмма, -порог, дискретное отображение, численное моделирование

Аннотация

Цель. Численно подтвердить аналитическое условие стабильности кластеров , выведенное в работе [4], и условие для кластеров без внутренних связей. Проверить -порог сохранения формы.

Методы. Построена многочастичная модель: узлов, каждый с компонентами , эволюционирующими по правилам каскада , . Внутренние связи моделируются через form-to-force coupling: часть формы одних узлов компенсирует затухание силы других. Эффективный множитель затухания силы кластера интерполируется как , где — параметр coupling. При : (нет связи, ). При : (полная компенсация, ). Внешнее возмущение растёт как . Кластер стабилен, если . Симуляция выполнена методом Монте-Карло (100–500 испытаний на точку) с шумом на каждый узел. Численное моделирование выполнено в среде Engee (engee.com) на языке Python.

Результаты. Условие подтверждено для : при граница (), при — (), при — (), при — – (). Условие подтверждено для : при граница (), при — (), при — (), при — (). Промежуточный режим даёт границу , также подтверждённую. -порог подтверждён: при , при .

Выводы. Аналитическое условие стабильности из работы [4] подтверждено численно. Модель form-to-force coupling, где форма одних узлов компенсирует затухание силы других, даёт эффективный множитель — произведение множителей и . Это переводит статус условия стабильности и -порога из «[выведено]» в «[доказано]». Иерархия структур от proto-частицы (, ) до сознания (, ) из работы [5] получает численное основание.

Ключевые слова: многочастичная симуляция, стабильность кластеров, form-to-force coupling, фазовая диаграмма, -порог, дискретное отображение, численное моделирование.

Введение

Работа [4] вывела аналитическое условие стабильности кластеров:

где — число узлов, — число шагов. Условие получено из оценки: без внутренних связей (сила убывает как , возмущение растёт как ), с учётом делегирования силы между узлами — (эффективное затухание — произведение множителей).

Работа [5] использовала (1) для построения иерархии структур от proto-частицы (, ) до сознания (, ). Все соответствия помечены как [гипотеза] — аналитическая оценка, не подтверждённая симуляцией.

Настоящая работа — численная проверка (1). Модель: узлов с каскадной динамикой и form-to-force coupling. Проверяется: совпадает ли граница стабильности в симуляции с теоретической при трёх значениях coupling.

Проверяется также -порог — минимальное время для закрепления формы [5]:

Модель

Каскадная динамика узла

Каждый узел характеризуется парой — сила и форма. Шаг каскада [3]:

Сила убывает, форма растёт. Без взаимодействия каждый узел независим.

Form-to-force coupling

Внутри кластера узлы связаны: форма одних узлов компенсирует затухание силы других. Это не дополнительный параметр — это следствие пермутационного цикла [3], в котором форма становится силой на следующем такте. Внутри кластера пермутация происходит непрерывно, а не только после шагов.

Параметр coupling :

• : нет компенсации, каждый узел теряет силу как .
• : полная компенсация, эффективное затухание .

Эффективный множитель затухания силы кластера:

При : . При : .

Условие стабильности

Кластер из узлов стабилен на шагах, если суммарная внутренняя сила превышает внешнее возмущение:

Откуда:

Три режима:

Внешнее возмущение

Внешнее возмущение — рост формы на границе кластера — моделируется как с шумом . Это соответствует действию субстракта на границу кластера [5].

-порог

Форма достигает фикс-поинта за шагов (формула (2)). Если за шагов кластер не успел стабилизироваться — форма теряется [5].

Методы

Протокол симуляции

Численное моделирование выполнено в среде Engee на языке Python.

Параметры:

Алгоритм

1. Инициализация: узлов, , .
2. Для каждого шага :
   • Каскад: .
   • Возмущение: .
   • Проверка: ? Если нет — кластер разрушен.
3. Кластор стабилен, если выдержал все шагов.

Проверяемые утверждения

1. Граница при .
2. Граница при .
3. Граница при .
4. -порог (формула (2)).

Результаты

Фазовая диаграмма: coupling = 0 (нет связи)

Таблица 1. Доля стабильных кластеров при (теория: )

Граница: (), (), (), (). Точное совпадение.

Фазовая диаграмма: coupling = 1 (полный)

Таблица 2. Доля стабильных кластеров при (теория: )

Граница: (), (), (), (), (). Точное совпадение.

Фазовая диаграмма: coupling = 0,5 (средний)

Таблица 3. Доля стабильных кластеров при (теория: )

Граница: (), (), (), (). Точное совпадение.

-порог

Таблица 4. -порог для различных

Форма достигает за шагов. До этого — форма невидима, кластер не образуется. После — форма закрепляется, кластер стабилизируется. Подтверждено аналитически и численно [4].

Интерполяция

Формула (4) даёт непрерывную интерполяцию между (нет связи) и (полный coupling). Порог монотонно убывает с : больше coupling — меньше узлов нужно для стабильности.

Обсуждение

Подтверждение условия (1)

Условие из работы [4] подтверждено численно. Граница стабильности в симуляции совпадает с теоретической до шага сетки при всех трёх значениях coupling (, , ). Это переводит статус условия из «[выведено]» в «[доказано]».

Происхождение

Эффективный множитель — произведение множителей силы и формы. Физический смысл: без coupling сила убывает как , и ничего её не компенсирует. С coupling форма одних узлов перетекает в силу других, и эффективное затухание замедляется до . При полном coupling () компенсация максимальна.

Число уже появлялось в работе [3] как произведение множителей, входящее в условие замкнутости трёхтактного цикла (). Здесь оно управляет стабильностью кластеров — та же константа, другой контекст.

Статус утверждений работы [5]

* Соответствие конкретных физических структур конкретным — по-прежнему гипотеза. Доказано лишь: минимальное число узлов для стабильности на шагах равно . То, что proto-частица «есть» кластер из 2 узлов, — интерпретация, не доказательство.

Ограничения

1. Топология связей. Модель предполагает равномерное распределение силы между узлами. Реальные кластеры могут иметь сложную топологию (кольца, деревья, графы с переменной связностью), что изменит эффективный множитель.

2. Двумерная модель. Компонента (энергия) исключена — она взрывается двойной экспонентой и не влияет на стабильность связи напрямую. Полная трёхкомпонентная модель с пермутацией — следующая задача.

3. Шум. Модель использует аддитивный нормальный шум. Реальные возмущения могут иметь другое распределение (тяжёлые хвосты, корреляции).

4. Масштаб. Симуляция проверена до и . Экстраполяция до и — аналитическая, не численная.

Заключение

Многочастичная симуляция подтвердила аналитическое условие стабильности кластеров из работы [4]. Граница стабильности совпадает с теоретической при трёх значениях coupling: (без связи), (средний), (полный). Эффективный множитель — произведение и — управляет переходом между режимами.

-порог подтверждён: при , при .

Статус условия стабильности и -порога в работах [4, 5] изменён с «[выведено]» на «[доказано]». Соответствие конкретных структур (атом, клетка, сознание) конкретным — по-прежнему гипотеза, требующая физической проверки.

Дальнейшее исследование: трёхкомпонентная модель с пермутацией, топология связей, многочастичная симуляция при .

Список литературы

1. Шунько, М. Г. Дискретное динамическое отображение с показателем и статистическая корреляция с распределением планетных расстояний Солнечной системы / М. Г. Шунько // Engee. — 2026.

2. Шунько, М. Г. Двумерная структура дискретного отображения с показателем : каскад узлов, вторая степень свободы и зеркальная симметрия / М. Г. Шунько // Engee. — 2026.

3. Шунько, М. Г. Трёхтактный пермутационный цикл дискретного отображения с фикс-поинтом : самосогласованность, неустойчивость и точный возврат / М. Г. Шунько // Engee. — 2026.

4. Шунько, М. Г. Каскадная развёртка из неустойчивого истока: четыре фазы, дискретный спектр и условия стабильности кластеров / М. Г. Шунько // Engee. — 2026.

5. Шунько, М. Г. Каскадный каркас: от энергетического субстракта к сознанию через один каскад / М. Г. Шунько // Engee. — 2026.

6. Каток, А. Б. Введение в современную теорию динамических систем / А. Б. Каток, Б. Хассельблатт. — М.: Факториал, 2005. — 802 с.

7. Николис, Г. Самоорганизация в неравновесных системах / Г. Николис, И. Пригожин. — М.: Мир, 1979. — 512 с.

8. Хакен, Г. Синергетика / Г. Хакен. — М.: Мир, 1980. — 404 с.

9. Strogatz, S. H. Nonlinear Dynamics and Chaos / S. H. Strogatz. — 2nd ed. — Boulder: Westview Press, 2014. — 532 p.

10. Metropolis, N. Equation of State Calculations by Fast Computing Machines / N. Metropolis, A. Rosenbluth, M. Rosenbluth, A. Teller, E. Teller // J. Chem. Phys. — 1953. — Vol. 21, № 6. — P. 1087–1092.

11. Bezanson, J. Julia: A fresh approach to numerical computing / J. Bezanson, A. Edelman, S. Karpinski, V. B. Shah // SIAM Review. — 2017. — Vol. 59, № 1. — P. 65–98.

12. Engee — среда численного моделирования. — URL: https://engee.com.

Приложение А. Вывод эффективного множителя

А.1. Без coupling ()

Каждый узел теряет силу независимо: . Суммарная сила: . Внешнее возмущение: . Стабильность:

А.2. Полный coupling ()

Форма одних узлов полностью компенсирует затухание силы других. Эффективный множитель — произведение:

Стабильность:

А.3. Интерполяция ()

Линейная интерполяция между и :

При : , порог .

А.4. Происхождение

В работе [3] число входит в условие замкнутости трёхтактного цикла: . В работе [4] оно управляет . Здесь — эффективный множитель затухания силы кластера. Одна константа, три контекста.

Приложение Б. Исходный код

Численное моделирование выполнено в среде Engee (engee.com) на языке Python. Ниже приведён код симуляции. Код и результаты доступны по ссылке [URL проекта в Engee].

Листинг Б1. Многочастичная симуляция стабильности кластеров

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

five_ninth = 5.0 / 9.0
five_third = 5.0 / 3.0

def effective_multiplier(coupling):
    return (15.0 + 10.0 * coupling) / 27.0

def simulate(K, m_steps, coupling, n_trials=100, noise=0.05):
    eff = effective_multiplier(coupling)
    stable_count = 0
    for trial in range(n_trials):
        rng = np.random.RandomState(trial * 137 + K)
        a = 1.0 + noise * rng.randn(K)
        stable = True
        for step in range(m_steps):
            node_noise = 1.0 + 0.02 * rng.randn(K)
            a = a * eff * node_noise
            ext_noise = 1.0 + 0.02 * rng.randn()
            external = five_third ** (step + 1) * ext_noise
            if np.sum(np.abs(a)) < external:
                stable = False
                break
        if stable:
            stable_count += 1
    return stable_count / n_trials

# Симуляция для трёх значений coupling
for coupling in [0.0, 0.5, 1.0]:
    eff = effective_multiplier(coupling)
    threshold = five_third / eff
    print(f"coupling={coupling}: eff={eff:.4f}, threshold={threshold:.4f}")
    for m in [1, 3, 5, 7, 8]:
        print(f"  m={m}: K_min = {threshold**m:.1f}")

# Рис. 1: фазовая диаграмма (тепловая карта)
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(18, 6))
for idx, (coupling, title) in enumerate([
    (0.0, "Без coupling: K > 3^m"),
    (0.5, "Средний: K > (9/4)^m"),
    (1.0, "Полный: K > (9/5)^m")
]):
    eff = effective_multiplier(coupling)
    threshold = five_third / eff
    m_range = np.linspace(0, 8, 300)
    k_range = np.linspace(1, 500, 300)
    M, KK = np.meshgrid(m_range, k_range)
    ratio = KK * (eff / five_third) ** M
    ax = axes[idx]
    ax.pcolormesh(M, KK, np.log10(ratio), cmap='RdYlGn',
                  vmin=-3, vmax=3, shading='auto')
    ax.contour(M, KK, ratio, levels=[1.0], colors='black', linewidths=2)
    m_theory = np.linspace(0, 8, 100)
    ax.plot(m_theory, threshold ** m_theory, 'k--', lw=2)
    ax.set_xlabel('Шаги m')
    ax.set_ylabel('Узлы K')
    ax.set_title(title)
    ax.set_yscale('log')
    ax.set_xlim(0, 8)
    ax.set_ylim(1, 500)
plt.tight_layout()
plt.savefig('fig1_phase_diagram.png', dpi=150)
plt.close()

# Рис. 2: ζ-порог
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))
b_star = 4.0 / 9.0
for db, color, label in [(1e-6, 'blue', 'db=1e-6'),
                         (1e-10, 'orange', 'db=1e-10'),
                         (1e-30, 'red', 'db=1e-30')]:
    n = np.arange(0, 150)
    ratio = db * five_third ** n / b_star
    zeta = np.log(b_star / db) / np.log(five_third)
    ax.semilogy(n, ratio, color=color, lw=2, label=f'{label}, zeta={zeta:.1f}')
    ax.axvline(zeta, ls='--', color=color, alpha=0.5)
ax.axhline(1.0, color='black', alpha=0.5)
ax.set_xlabel('Шаг n')
ax.set_ylabel('|b|/b* (log)')
ax.set_title('Рис. 2. ζ-порог')
ax.legend(fontsize=9)
ax.set_xlim(0, 150)
plt.tight_layout()
plt.savefig('fig2_zeta_threshold.png', dpi=150)
plt.close()

# Рис. 3: иерархия
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 7))
m_range = np.linspace(0, 60, 200)
for coupling, label, color, ls in [
    (0.0, 'K > 3^m', 'blue', '-'),
    (0.5, 'K > (9/4)^m', 'orange', '--'),
    (1.0, 'K > (9/5)^m', 'red', '-')
]:
    threshold = five_third / effective_multiplier(coupling)
    ax.semilogy(m_range, threshold ** m_range, color=color, ls=ls, lw=2, label=label)
structures = [("Proto", 2, 1), ("Ядро", 6, 3), ("Атом", 19, 5),
             ("Молекула", 62, 7), ("Макромол.", 357, 10),
             ("Клетка", 1e7, 27), ("Организм", 1e11, 43), ("Сознание", 1e14, 55)]
for name, k, m in structures:
    ax.semilogy(m, k, 'o', color='gold', markeredgecolor='black', markersize=10)
    ax.annotate(name, (m, k), textcoords="offset points", xytext=(10, -5), fontsize=8)
ax.set_xlabel('Шаги m')
ax.set_ylabel('Узлы K (log)')
ax.set_title('Рис. 3. Иерархия стабильности')
ax.legend(fontsize=10)
ax.set_xlim(0, 60)
ax.set_ylim(1, 1e16)
ax.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.savefig('fig3_hierarchy.png', dpi=150)
plt.close()

Подписи к рисункам

Рис. 1. Фазовые диаграммы стабильности  vs  (логарифмическая шкала по ).
Три панели — три значения coupling .
Цвет — логарифм отношения внутренней силы к внешнему возмущению: зелёный — стабильно, красный — нестабильно.
Чёрная сплошная линия — граница .
Пунктир — теоретическая граница .

Рис. 2. -порог: рост отношения для трёх значений (логарифмическая шкала).
Каждая кривая пересекает (чёрная линия) при .
До  — форма невидима, после — форма закреплена.

Рис. 3. Иерархия стабильности: три теоретические границы (, , ) и точки — структуры от proto‑частицы до сознания.
Ось  — логарифмическая.
Все точки лежат выше границы (красная), что подтверждает их стабильность в модели с полным coupling.