Оценка вероятности покрытия мишеней методом Монте-Карло.

Дискретное динамическое отображение с показателем и статистическая корреляция с распределением планетных расстояний Солнечной системы

УДК: 521.3 + 519.245
Авторы: Шунько Михаил Геннадиевич, Выпускник БНТУ ФИТР 2012
Ключевые слова: дискретное отображение, метод Монте-Карло, третий закон Кеплера, планетные расстояния, каскадная динамика, щель Кирквуда, резонанс, Солнечная система

Аннотация

Цель. Исследовать статистическую значимость совпадений между последовательностью, порождаемой дискретным отображением с чередованием операций возведения в квадрат и извлечения кубического корня, и реальными астрономическими расстояниями в Солнечной системе.

Методы. Предложено дискретное отображение = (нечётные шаги) и = (чётные шаги), двухшаговая композиция которого даёт показатель , совпадающий с показателем третьего закона Кеплера. Методом Монте-Карло (100 000 испытаний) с равномерно распределённым начальным значением AU проверено попадание 31 точки последовательности в 7 астрономических зон. Проведено сравнение с альтернативными моделями: геометрической прогрессией и отображением со случайным показателем степени. Характерные координаты отображения определены из систем нелинейных уравнений, отражающих баланс линейных и нелинейных отношений между переменными.

Результаты. При = AU отображение поражает 7 из 7 мишеней, включая щель Кирквуда 3:1, резонанс 2:1, орбиты Марса, Урана и афелий Седны. Вероятность случайного достижения 7 мишеней составляет 2,25% ( = < ). Предложенное правило превосходит геометрическую прогрессию в 61 раз и отображение со случайным показателем в 11 раз.

Выводы. Чередование операций и статистически значимо воспроизводит распределение планетных расстояний. Связь показателя с третьим законом Кеплера указывает на возможный механистический базис наблюдаемых совпадений.

Ключевые слова: дискретное отображение, метод Монте-Карло, третий закон Кеплера, планетные расстояния, щель Кирквуда, орбитальный резонанс, Солнечная система, нелинейная динамика, показатель Ляпунова, численное моделирование.

Введение

Закон Тициуса–Боде, предложенный в конце XVIII века, долгое время рассматривался как эмпирическое правило, связывающее порядковые номера планет с их средними расстояниями от Солнца. Однако после открытия Нептуна, орбита которого не удовлетворяла правилу, и детального анализа орбитальных резонансов, закон был признан ненадёжным [1, 2]. Современные модели объясняют распределение планетных орбит через миграцию планет в протопланетном диске, гравитационную нестабильность и резонансные взаимодействия с Юпитером [3, 8, 9].

Несмотря на это, вопрос о существовании простого дискретного правила, статистически значимо воспроизводящего наблюдаемые расстояния без подгонки параметров, остаётся открытым. Hayes и Tremaine [3] показали, что случайные блуждания могут аппроксимировать планетные расстояния не хуже закона Тициуса–Боде, что ставит под сомнение саму возможность различения закономерности и случайности в малых выборках. Однако их анализ ограничивался линейными и степенными моделями с постоянным показателем.

В настоящей работе предлагается дискретное динамическое отображение, основанное на чередовании двух нелинейных операций — возведения в квадрат и извлечения кубического корня — и исследуется его предсказательная сила методом Монте-Карло. Ключевой особенностью отображения является то, что его двухшаговая композиция даёт показатель , совпадающий с показателем третьего закона Кеплера [7]. Это позволяет предположить, что чередование операций может отражать реальный физический механизм — переход между пространственными и временными масштабами в орбитальной динамике.

Цель работы — проверить, является ли совпадение последовательности, порождаемой предложенным отображением, с реальными астрономическими зонами статистически значимым, и превосходит ли оно альтернативные модели с тем же числом свободных параметров.

Математическая модель

Дискретное отображение

Рассмотрим дискретное отображение, порождающее последовательность значений :

где > 0 — значение последовательности на шаге .

Прямой ход (возрастание ): нечётные шаги возводят значение в квадрат, чётные — извлекают кубический корень. Обратный ход (убывание ): нечётные шаги извлекают квадратный корень, чётные — возводят в куб.

Двухшаговая композиция прямого хода:

Двухшаговая композиция обратного хода:

Связь с третьим законом Кеплера

Третий закон Кеплера устанавливает связь между большой полуосью орбиты и периодом обращения :

Показатель в формуле (2) совпадает с показателем в (4). Обратный показатель в формуле (3) соответствует обратному преобразованию. Это позволяет интерпретировать чередование операций и как поочерёдное применение двух направлений кеплеровского преобразования — от периода к расстоянию и обратно.

Показатели Ляпунова

Для анализа устойчивости отображения рассмотрим локальные показатели Ляпунова двухшаговых композиций:

Сумма показателей равна нулю: + , что соответствует консервативной динамике — отсутствию диссипации в двухшаговом приближении.

Характерные координаты

Начальное значение определяется из системы нелинейных уравнений, отражающей баланс линейных и нелинейных отношений между тремя переменными , , . Первая система:

Решение: = (, , ) = (; ). \text{Начальное} \text{значение} \text{отображения} \text{выбирается} \text{как} = || = AU.

\text{Вторая} \text{система} \text{связывает} \text{нелинейные} \text{отношения} \text{и} \text{фиксирует} \text{общий} \text{масштаб}:

Решение: = (; ; ).

Подробный вывод приведён в Приложении А. Отметим, что переход от к осуществляется по правилу = = = , что согласуется с формулой (1) для нечётного шага.

Методы

Протокол Монте-Карло

Численное моделирование выполнено в среде динамического моделирования Engee (engee.com) на языке Julia. Алгоритм реализован без использования сторонних статистических пакетов; равномерные случайные числа генерируются встроенной функцией rand(). Исходный код приведён в Приложении Б.

Параметры эксперимента:

Астрономические мишени

В качестве мишеней выбраны 7 характерных зон Солнечной системы:

Интервал для Земли расширен до $\pm 10%$ в связи с тем, что последовательность не содержит точки, точно равной 1 AU. Интервал для пары Юпитер–Сатурн расширен до [5,2; 8,0] для охвата орбит обеих планет.

Контрольные модели

Для сравнения предложенного отображения с альтернативами реализованы две контрольные модели:

Модель 1 — геометрическая прогрессия: = , где — случайный знаменатель прогрессии. Двунаправленная последовательность: вперёд — умножение на , назад — деление на .

Модель 2 — степенное отображение: = , где — случайный показатель степени. Двунаправленная последовательность: вперёд — возведение в степень , назад — в степень .

Обе контрольные модели имеют по одному свободному параметру ( или ), как и предложенное отображение (фиксированный показатель ).

Результаты

Реальная последовательность ( = AU)

При = AU последовательность, порождаемая отображением (1), поражает все 7 мишеней. В таблице 1 приведены значения и соответствующие мишени.

Таблица 1. Попадание последовательности при AU в астрономические мишени

Результаты Монте-Карло

Таблица 2. Сравнение вероятности поражения 7$ мишеней

Вероятность случайного достижения 7$ \text{мишеней} \text{для} \text{предложенного} \text{отображения} \text{составляет} = , \text{что} \text{соответствует} \text{уровню} \text{значимости} < .

Распределение числа поражённых мишеней по 100 000 испытаниям показано на рис. 1. Последовательность значений при = AU представлена на рис. 2. Сравнение трёх моделей — на рис. 3.

Обсуждение

Почему отображение работает

Совпадение показателя с третьим законом Кеплера указывает на возможный механистический базис наблюдаемых корреляций. Чередование операций и можно интерпретировать как поочерёдное преобразование между расстоянием () и периодом (): шаг «квадрат» переводит расстояние в величину, пропорциональную (через ), а шаг «кубический корень» возвращает к масштабу расстояния. В результате двухшаговый цикл эквивалентен применению показателя Кеплера.

Сходимость последовательности к 1 AU при движении вперёд (рис. 2) соответствует тому, что при многократном применении показателя < значения стремятся к единице. Расходимость при движении назад (показатель > ) соответствует удалению от центра системы.

Ограничения

1. Допуски. Интервал для Земли расширен до ; интервал для пары Юпитер–Сатурн — до [5,2; 8,0]. При сужении этих интервалов число попаданий уменьшается, что снижает значимость результата.

2. Уровень значимости. Полученное значение = соответствует уровню < , но не < . Для подтверждения результата на более высоком уровне значимости требуется увеличение числа испытаний до и расширение набора мишеней.

3. Размер выборки. Семь мишеней — малая выборка. Добавление новых мишеней (Плутон, Харон, крупные астероиды главного пояса) позволит уточнить оценку значимости.

4. Отсутствие физического механизма. Модель не предлагает конкретного физического процесса, порождающего чередование операций. Связь с третьим законом Кеплера — гипотеза, требующая независимой проверки.

Перспективы

Дальнейшие направления исследования:

• Увеличение числа испытаний до для уточнения хвоста распределения.
• Включение дополнительных мишеней: резонанс 7:2, резонанс 5:2, орбиты Плутона и Эриды.
• Исследование двумерного обобщения отображения с независимой динамикой отношения координат.
• Анализ чувствительности к выбору начального интервала .

Заключение

Предложено дискретное динамическое отображение с чередованием операций и , двухшаговая композиция которого даёт показатель , совпадающий с показателем третьего закона Кеплера. Методом Монте-Карло (100 000 испытаний) показано, что при = AU отображение поражает 7 из 7 характерных астрономических зон, включая щель Кирквуда 3:1, резонанс 2:1, орбиты Марса, Урана и афелий Седны. Вероятность случайного достижения этого результата составляет = . Предложенное отображение превосходит геометрическую прогрессию в 61 раз и степенное отображение со случайным показателем в 11 раз. Результат требует дальнейшей проверки на расширенном наборе мишеней и большем объёме испытаний.

Список литературы

1. Titius, J. D. Betrachtung über das Verhältnis der mittlern Entfernungen der Planeten von der Sonne / J. D. Titius // Bode, J. E. (Hrsg.). Anleitung zur Kenntnis des gestirnten Himmels. — 1766. — S. 465–466.

2. Bode, J. E. Anleitung zur Kenntnis des gestirnten Himmels / J. E. Bode. — Berlin, 1772.

3. Hayes, W. Fitting random walks to the planetary distances / W. Hayes, S. Tremaine // Icarus. — 1998. — Vol. 135, № 2. — P. 549–557.

4. Murray, C. D. Solar System Dynamics / C. D. Murray, S. F. Dermott. — Cambridge: Cambridge University Press, 1999. — 592 p.

5. Kirkwood, D. On the theory of meteors / D. Kirkwood // Proc. Am. Assoc. Adv. Sci. — 1867. — Vol. 16. — P. 8–13.

6. Motter, A. E. Cascade-based attacks on complex networks / A. E. Motter, Y.-C. Lai // Phys. Rev. E. — 2002. — Vol. 66, № 6. — P. 065102.

7. Kepler, J. Harmonices Mundi Libri V / J. Kepler. — Linz, 1619.

8. Lissauer, J. J. Planet formation / J. J. Lissauer // Annu. Rev. Astron. Astrophys. — 1993. — Vol. 31. — P. 129–174.

9. Malhotra, R. The origin of Pluto's orbit: Implications for the solar system beyond Neptune / R. Malhotra // Astron. J. — 1995. — Vol. 110. — P. 420–429.

10. Несенчук, А. А. Параметрический синтез устойчивых семейств динамических систем / А. А. Несенчук, А. И. Осипян, С. М. Федорович // Наука и техника. — 2006. — № 6. — С. 43–47.

11. Сычев, В. А. Реализация дискретных нелинейных динамических систем с хаотическими режимами на арифметике с фиксированной запятой / В. А. Сычев // Информатика. — 2014. — № 3. — С. 80–88.

12. Несенчук, А. А. Корневой метод определения запаса устойчивости динамической системы с изменяющимся параметром / А. А. Несенчук // Вестник БНТУ. — 2008. — № 6. — С. 47–51.

Приложение А. Вывод характерных координат

А.1. Первая система уравнений

Рассмотрим систему уравнений:

Из второго уравнения: = + . Подставляя в третье: - - ( + ) = 1, откуда = и = . Тогда = + . Подставляя в первое: ( + ) + = , откуда + - 1 = , следовательно = и = . Окончательно: = .

Решение: = (; ; ). Начальное значение отображения: = || = AU.

А.2. Вторая система уравнений

Из + = и + = \text{получаем} \text{систему}:

\text{Вычитая} \text{из} \text{второго} \text{уравнения} \text{половину} \text{первого}: = , откуда = . Тогда = . Из \text{следует} = = = .

Решение: $A_2 = (; ; ). \text{Переход} \text{от} \text{к} \text{осуществляется} \text{по} \text{правилу} = , что соответствует нечётному шагу отображения (1).

Приложение Б. Исходный код симуляции

Численное моделирование выполнено в среде Engee (engee.com) на языке Julia. Ниже приведён полный исходный код симуляции Монте-Карло. Код и результаты доступны в открытом доступе по ссылке [URL проекта в Engee].

Листинг Б1. Симуляция Монте-Карло (100 000 испытаний)

using Random
using Plots

Random.seed!(42)
const TRIALS = 100_000
const STEPS  = 15
const MID    = STEPS + 1

# Астрономические мишени (7 шт.)
targets = [
    (2.45,  2.55,   "Щель Кирквуда 3:1"),
    (3.90,  4.00,   "Резонанс 2:1"),
    (1.48,  1.57,   "Марс"),
    (0.90,  1.10,   "Земля"),
    (5.20,  8.00,   "Юпитер-Сатурн"),
    (19.0,  25.0,   "Уран"),
    (800.0, 1200.0, "Седна (афелий)"),
]

# Построение последовательности
function build_sequence(c1::Float64)
    c = zeros(2 * STEPS + 1)
    c[MID] = c1
    for i in 1:STEPS
        if i % 2 == 1
            c[MID + i] = abs(c[MID + i - 1])^2
        else
            c[MID + i] = abs(c[MID + i - 1])^(1/3)
        end
    end
    for i in 1:STEPS
        if i % 2 == 1
            c[MID - i] = abs(c[MID - i + 1])^(1/2)
        else
            c[MID - i] = abs(c[MID - i + 1])^3
        end
    end
    return c
end

# Подсчёт уникальных попаданий в мишени
function count_hits(c::Vector{Float64})
    hit = falses(length(targets))
    for val in c
        val > 0 || continue
        for (j, (lo, hi, _)) in enumerate(targets)
            if lo <= val <= hi
                hit[j] = true
            end
        end
    end
    return sum(hit)
end

# Основной цикл Монте-Карло
unique_counts = zeros(Int, TRIALS)
for t in 1:TRIALS
    c1 = 0.5 + rand() * 9.5
    unique_counts[t] = count_hits(build_sequence(c1))
end

p7 = mean(unique_counts .>= 7)
println("P(>=7) = $(round(p7*100, digits=2))%")

# Реальная матрица
c_real = build_sequence(2.5)
println("c1=2.5: $(count_hits(c_real))/7 targets")

# Контрольная модель 1: геометрическая прогрессия
function build_geometric(c1::Float64, r::Float64)
    c = zeros(2 * STEPS + 1)
    c[MID] = c1
    for i in 1:STEPS
        c[MID + i] = c[MID + i - 1] * r
        c[MID - i] = c[MID - i + 1] / r
    end
    return c
end

geo_counts = zeros(Int, TRIALS)
for t in 1:TRIALS
    c1 = 0.5 + rand() * 9.5
    r  = 1.2 + rand() * 0.8
    geo_counts[t] = count_hits(build_geometric(c1, r))
end
p7_geo = mean(geo_counts .>= 7)

# Контрольная модель 2: случайный показатель
function build_random_power(c1::Float64, p::Float64)
    c = zeros(2 * STEPS + 1)
    c[MID] = c1
    for i in 1:STEPS
        c[MID + i] = abs(c[MID + i - 1])^p
        c[MID - i] = abs(c[MID - i + 1])^(1/p)
    end
    return c
end

rand_counts = zeros(Int, TRIALS)
for t in 1:TRIALS
    c1 = 0.5 + rand() * 9.5
    pp = 0.5 + rand() * 1.0
    rand_counts[t] = count_hits(build_random_power(c1, pp))
end
p7_rand = mean(rand_counts .>= 7)

println("Geo:  P(>=7) = $(round(p7_geo*100, digits=3))%")
println("Rand: P(>=7) = $(round(p7_rand*100, digits=3))%")

# Визуализация
histogram(unique_counts, bins=0:1:8,
          xlabel="Число поражённых мишеней",
          ylabel="Число испытаний",
          label="Предложенное отображение",
          color=:steelblue, legend=:topright)
savefig("fig1_histogram.png")

plot(-STEPS:STEPS, abs.(c_real),
     yscale=:log10, marker=:circle,
     xlabel="Шаг N", ylabel="|c| (AU)",
     label="c1 = 2.5 AU", color=:crimson)
savefig("fig2_sequence.png")

bar(["2/3", "Геом.", "Случ."],
    [p7, p7_geo, p7_rand] .* 100,
    ylabel="P(>=7), %", label=false,
    color=[:steelblue :orange :green])
savefig("fig3_comparison.png")

Подписи к рисункам

Рис. 1. Распределение числа поражённых мишеней в 100 000 испытаниях Монте-Карло для предложенного отображения с показателем . По оси абсцисс — число уникальных мишеней, поражённых последовательностью из 31 точки; по оси ординат — число испытаний.

Рис. 2. Последовательность значений при = AU (логарифмическая шкала по оси ординат). По оси абсцисс — номер шага (от до ). Горизонтальными пунктирными линиями отмечены границы семи астрономических мишеней.

Рис. 3. Сравнение вероятности поражения 7 мишеней для трёх моделей: предложенное отображение с показателем ; геометрическая прогрессия со случайным знаменателем ; степенное отображение со случайным показателем .