Решение нелинейных уравнений
Графическое решение нелинейных уравнений
Нелинейные уравнения. Основные определения
Пусть дано уравнение
где – некоторая непрерывная функция.
Решить уравнение – значит найти его корни.
Корнем уравнения называется такое значение , при котором функция обращается в ноль, т.е.
Примеры нелинейных уравнений
- Время , затрачиваемое телом при падении на землю с некоторой высоты , находится с помощью решения нелинейного уравнения:
- Зависимость численности популяции бактерий от времени определяется функцией
Задача о нахождении времени , при котором численность популяции достигает определенного уровня , приводит к нелинейному уравнению
Общие сведения о приближенных методах решения нелинейных уравнений
Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют записать корни уравнения в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из курса алгебры известны такие методы для решения простейших алгебраических, тригонометрических, логарифмических и показательных уравнений.
Однако большинство встречающихся на практике уравнений не удается решить такими простыми методами. Для их решения используются итерационные методы, т.е. методы последовательных приближений.
Нахождение корней уравнения итерационным методом осуществляется в два этапа:
- Этап локализации, или отделения корней, т.е. нахождения на оси Ох отрезков, на которых содержится только один корень уравнения.
- Этап итерационного уточнения корня с требуемой точностью.
Отрезок локализации корня может быть найден различными способами:
- из физических соображений,
- из решения аналогичной задачи при других исходных данных,
- с помощью графических методов.
Для нахождения отрезка локализации корня может быть использована следующая теорема из математического анализа.
Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков (), то на отрезке найдется хотя бы одна точка , в которой , т.е. – корень уравнения .
Геометрически это означает, что график функции, расположенный по разные стороны от оси Ох, пересекает эту ось по крайней мере в одной точке.
Для того чтобы на отрезке был только один корень, достаточно того, чтобы производная сохраняла знак на этом отрезке.
Графическое решение нелинейных уравнений в Engee
Графический метод решения нелинейных уравнений относится к классу приближенных методов. Он заключается в том, что сначала уравнение вида приводится к виду . Например, уравнение
нужно переписать в виде
или
Затем необходимо построить график функции , являющейся левой частью уравнения, и приближенно определить абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ox.
Последнюю операцию в Engee удобно выполнять с помощью интерактивных графиков. Поместив курсор на какую-либо точку графика, мы можем увидеть на экране координаты этой точки.
Пример. Решим графически в Engee уравнение . Для этого создадим функцию и построим ее график. Приблизительно определим значения абсцисс точек пересечения графика функции с прямой .
using Plots;
x = -3:0.01:3;
y = x.^2 .- 3;
plot(x, y)
plot!([-3, 3], [0, 0])
Из графика видно, что с точностью до корни уравнения равны: ; .
✏️Задание 1
Найдите графически в Engee корни нелинейного уравнения $$\sin(2x)+e^{-x}-1=0$$ \text{на} \text{отрезке} \text{с} \text{точностью} \text{до} .
Решение
using Plots;
x = -2:0.01:2;
y = sin.(2*x) .+ exp.(-x) .- 1;
plot(x, y)
plot!([-2, 2], [0, 0])
С точностью до корни уравнения равны: ; ; .
✏️Задание 2
Найдите графически в Engee корни нелинейного уравнения $$0,5-\sin x=x^2$$ \text{на} \text{отрезке} \text{с} \text{точностью} \text{до} .
Подсказка
Сначала нужно переписать уравнение в виде . В нашем случае уравнение примет вид
Решение
using Plots;
x = -2:0.01:2;
y = 0.5 .- sin.(x) .- x.^2;
plot(x, y)
С точностью до корни уравнения равны: ; .
Тест для получения сертификата
Если вы впервые проходите тестирование на платформе Этюд по ссылке из Engee, то, нажав на ссылку ниже, вы увидите следующее диалоговое окно:
Нажмите на кнопку "Предоставить", чтобы авторизоваться на платформе Этюд с данными вашего профиля Engee ID.
Если вы раньше уже проходили тестирование по ссылке из Engee, то ваша авторизация выполнится автоматически и тестирование начнется сразу же после нажатия на ссылку.