Основы линейной алгебры
Матрицы. Основные виды матриц
Понятие матрицы
Одним из основных понятий линейной алгебры является матрица.
Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая строк и столбцов.
Матрица записывается в виде
или сокращенно , где – номер строки, – номер столбца.
Матрица называется матрицей размера и обозначается .
Числа , составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из левого верхнего угла, образуют главную диагональ.
Рассмотрим, как формируются матрицы в Engee. Элементы матрицы записываются в квадратных скобках построчно. Сначала записываются элементы первой строки, разделенные пробелами. Затем ставится точка с запятой и записываются элементы второй строки и т.д.
Например, матрица задается так:
A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]
Равенство матриц
Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т.е. , если .
Основные виды матриц
Квадратная матрица
Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера называют матрицей -го порядка.
Пример квадратной матрицы третьего порядка: .
Диагональная матрица
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.
Например: .
В Engee диагональная матрица задается функцией diagm, содержащейся в библиотеке LinearAlgebra. Аргументом функции является вектор элементов главной диагонали, взятый в квадратные скобки:
using LinearAlgebra;
A = diagm([1, 2, 3])
✏️Задание 1
Сформируйте в Engee диагональную матрицу четвертого порядка, на главной диагонали которой находятся числа 17, -23, 48 и -164.
Решение
using LinearAlgebra;
A = diagm([17, -23, 48, -164])
В Engee для задания матрицы случайных чисел, равномерно распределенных в интервале , используется функция rand. Аргументами функции служат число строк и число столбцов матрицы. Например:
A = rand(4, 4)
В следующем примере создается матрица случайных целых чисел в диапазоне от 1 до 100:
A = rand(1:100, 5, 5)
✏️Задание 2
Сформируйте в Engee матрицу случайных целых чисел в диапазоне от 0 до 10, имеющую 7 строк и 9 столбцов.
Решение
A = rand(0:10, 7, 9)
Трехдиагональная матрица
Матрица, у которой все ненулевые элементы располагаются на трех диагоналях: главной, первой сверху и первой снизу, называется трехдиагональной.
Например: .
В Engee трехдиагональную матрицу можно задать так. Сначала зададим три вектора, содержащие элементы трех ненулевых диагоналей, начиная с нижней. Затем с помощью функции Tridiagonal, содержащейся в библиотеке LinearAlgebra, сформируем объект A типа Tridiagonal. И, наконец, с помощью функции convert преобразуем тип этого объекта в матрицу.
using LinearAlgebra;
x = [3, 6, 9];
y = [1, 4, 7, 10];
z = [2, 5, 8]
A = Tridiagonal(x, y, z);
A = convert(Array, A)
✏️Задание 3
Указанным выше способом сформируйте в Engee трехдиагональную матрицу .
Решение
using LinearAlgebra;
x = [5, 2, 3];
y = [7, 8, 9, 1];
z = [4, 10, 6]
A = Tridiagonal(x, y, z);
A = convert(Array, A)
Единичная матрица
Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной и обозначается буквой .
Например: – единичная матрица 3-го порядка.
В Engee единичную матрицу можно задать так. Сначала с помощью функции I, содержащейся в библиотеке LinearAlgebra, создается объект E типа UniformScaling. Аргументом функции I является порядок матрицы. Затем с помощью функции convert тип этого объекта преобразуется в матрицу.
using LinearAlgebra;
E = I(5)
E = convert(Array, E)
✏️Задание 4
Указанным выше способом сформируйте в Engee единичную матрицу 10-го порядка.
Решение
using LinearAlgebra;
E = I(10);
E = convert(Array, E)
Треугольная матрица
Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали (т.е. выше или ниже главной диагонали), равны нулю.
Например:
– верхнетреугольная матрица,
– нижнетреугольная матрица.
Нулевая матрица
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается буквой .
Например: .
Нулевая матрица может быть любого размера.
В Engee нулевую матрицу можно задать с помощью функции zeros. Аргументами функции являются число строк и число столбцов матрицы. Например, нулевая матрица размером задается так:
O = zeros(4, 3)
✏️Задание 5
Сформируйте в Engee нулевую матрицу, имеющую 9 строк и 12 столбцов.
Решение
O = zeros(9, 12)
Вектор-строка и вектор-столбец
Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектором-строкой, или вектором-столбцом соответственно).
Вектор-столбец имеет вид: а вектор-строка:
A = [1, 2, 3, 4]
или так:
A = [1; 2; 3; 4]
Вектор-строка задается в квадратных скобках перечислением его элементов, разделенных пробелами. Например, вектор-строка задается так:
B = [1 2 3 4]
✏️Задание 6
Сформируйте в Engee вектор-столбец и вектор-строку, содержащие элементы -264, 357, -841, 519 и 936.
Решение
A = [-264; 357; -841; 519; 936];
print("A =");
display(A);
println("B = ");
B = [-264 357 -841 519 936]
Транспонированная матрица
Матрица, полученная из данной матрицы заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к данной и обозначается .
Например, если , то .
Если , то .
Транспонированная матрица обладает следующим свойством: .
В Engee операция транспонирования матрицы выполняется функцией transpose. Например:
A = [1 2; 3 4];
print("A =");
display(A);
print("A transposed =");
B = transpose(A)
Эрмитово-сопряженная матрица
Эрмитово-сопряженной называется матрица с комплексными элементами, полученная из исходной матрицы транспонированием и заменой каждого элемента комплексно-сопряженным ему.
Если применить эрмитово сопряжение к матрице с действительными элементами, то получится просто транспонирование матрицы.
В Engee операция эрмитова сопряжения выполняется с помощью оператора ' (апостроф), который ставится после матрицы:
A = [1 2; 3 4];
print("A =");
display(A);
print("A adjoined =");
B = A'
✏️Задание 7
Выполните в Engee транспонирование матрицы двумя способами: с помощью функции transpose и оператора '.
Решение
A = [4 7 -5 8; 5 3 9 -1; 6 0 -8 2];
print("A =");
display(A);
B = transpose(A);
print("A transposed =");
display(B);
print("A transposed =");
C = A'
Симметричная и антисимметричная матрицы
Матрица называется симметричной, если . Для такой матрицы .
Пример симметричной матрицы: .
Матрица называется антисимметричной (или кососимметричной), если . Для такой матрицы .
Пример антисимметричной матрицы: .
Тест для получения сертификата
Если вы впервые проходите тестирование на платформе Этюд по ссылке из Engee, то, нажав на ссылку ниже, вы увидите следующее диалоговое окно:
Нажмите на кнопку "Предоставить", чтобы авторизоваться на платформе Этюд с данными вашего профиля Engee ID.
Если вы раньше уже проходили тестирование по ссылке из Engee, то ваша авторизация выполнится автоматически и тестирование начнется сразу же после нажатия на ссылку.