我们模拟带电旋转黑洞

这种计算可以对具有非零多极矩的相对论物体附近的时空几何进行定量分析，这对于验证强引力场中广义相对论的预测是必要的。得到的张量不变量用于研究时空奇异结构，分析大地运动轨迹在极端重力条件下的稳定性。

职位描述

荷电旋转黑洞的四矢量和曲率张量的计算（克尔-纽曼度量）是现代天体物理学和重力理论中一项至关重要的任务。

这些计算使得在带电荷的大质量旋转物体附近量化时空曲率成为可能。

这种计算的实际意义在于对粒子轨迹进行建模，预测吸积盘的形状以及分析相对论物体周围轨道的稳定性的可能性。

要实现这些算法，我们只需要一个线性代数函数库。:

using LinearAlgebra

算法的理论基础

在工程解释中，Kerr-Newman度量是描述存在大量旋转带电体的时空"几何"的数学模型。在这种背景下，黎曼曲率张量可以被认为是连续体力学中应变张量的模拟，表征时空连续体曲率的程度和性质。四向量描述弯曲时空中的物理量（动量，速度）。

Boyer-Lindqvist坐标中的Kerr-Newman度量:

度量张量的分量:

function kerr_newman_metric(M, a, Q, r, θ)
    ρ² = r^2 + a^2*cos(θ)^2     # 地平线和奇点函数
    Δ = r^2 - 2M*r + a^2 + Q^2  # 事件视野的判别
    
    g = zeros(4,4)
    g[1,1] = -(Δ - a^2*sin(θ)^2)/ρ²                      # g_tt-临时组件
    g[1,4] = g[4,1] = -a*sin(θ)^2*(2M*r - Q^2)/ρ²        # g_t⑧-旋转分量
    g[2,2] = ρ²/Δ                                        # g_rr-径向分量
    g[3,3] = ρ²                                          # g_θθ-角分量
    g[4,4] = ((r^2+a^2)^2 - Δ*a^2*sin(θ)^2)*sin(θ)^2/ρ²  # g_ϕϕ-方位分量
    
    return g
end

kerr_newman_metric (generic function with 1 method)

曲率张量显示了时空在每个点处弯曲的强度。曲率标量为可视化提供了空间曲率的简单数值度量。

我们已将其余操作合并为一个函数。:

四矢量速度的归一化:

其中初始条件为(u^t=1)，其余分量为零。

曲率的简化计算（二阶导数的有限差分近似）:

这是分量(g_{tt})的拉普拉斯算子的离散模拟。

我们的最终目标是四矢量速度，它描述了观察者在弯曲时空中的运动。

function compute_everything(M, a, Q, r, θ)
    # 所有在一个功能
    g = kerr_newman_metric(M, a, Q, r, θ)  # 度量张量
    
    # 静态观察者的四矢量速度
    u = zeros(4); u[4] = 1.0  # 初始条件：dt/dt=1
    
    # 归一化：g_μv u^μ u^v=-1（对于时间样矢量）
    norm_squared = dot(u, g, u)  # 对于类似时间的向量，这应该是负的。
    if norm_squared >= 0
        # 如果向量在空间上类似，这是一个问题-我们使用安全归一化。
        u ./= sqrt(abs(norm_squared))
    else
        u ./= sqrt(-norm_squared)  # 正数的根
    end
    
    # 通过二阶导数的曲率的简单计算
    h = 1e-6  # 数值微分的一个步骤
    g_rp = kerr_newman_metric(M, a, Q, r+h, θ)  # 点r+h处的度量
    g_rm = kerr_newman_metric(M, a, Q, r-h, θ)  # R-h点的度量
    R_simple = (g_rp[1,1] - 2g[1,1] + g_rm[1,1]) / h^2  # G_tt二阶导数的最终差
    
    return g, u, R_simple
end

compute_everything (generic function with 1 method)

使用算法

我们使用此代码:

# 黑洞的参数和观测点的坐标
M = 1.0    # 黑洞的质量在自然单位
a = 0.5    # 旋转参数(a=J/M)
Q = 0.3    # 黑洞的电荷
r = 2.0    # 径向坐标（距中心的距离）
θ = π/4    # 角坐标(π/4=45°)

# 计算给定点的所有值
g, u, R = compute_everything(M, a, Q, r, θ)

# 结果输出
println("点处的Kerr-Newman度量（r=∈r，θ=∈θ）:")
display(g)
println("\静态观察者的四个速度向量:")
println("u = $u")  # 组件：[u^r,u^θ,u^ϕ,u^t]
println("曲率的简化度量（g_tt的二阶导数）:")
println("R ≈ $R")

Метрика Керра-Ньюмена в точке (r=2.0, θ=0.7853981633974483):

4×4 Matrix{Float64}:
 -0.0521212   0.0     0.0    -0.23697
  0.0        12.1324  0.0     0.0
  0.0         0.0     4.125   0.0
 -0.23697     0.0     0.0     2.18424

Четырехвектор скорости статического наблюдателя:
u = [0.0, 0.0, 0.0, 0.6766274006347055]

Упрощенная мера кривизны (вторая производная g_tt):
R ≈ 0.38258285428582894

让我们构建度量和曲率的热图:

using Plots.PlotMeasures

# 为可视化创建网格
r_range = range(1.5, 5.0, length=50)  # 半径从1.5到5（避免奇点）
θ_range = range(0.1, π-0.1, length=50)  # 角度从0.1到π-0.1（避开极点）

# 计算网格上的度量和曲率分量
g_tt_values = [kerr_newman_metric(M, a, Q, r, θ)[1,1] for r in r_range, θ in θ_range]
g_rr_values = [kerr_newman_metric(M, a, Q, r, θ)[2,2] for r in r_range, θ in θ_range]
curvature_values = [compute_everything(M, a, Q, r, θ)[3] for r in r_range, θ in θ_range]

p1 = heatmap(r_range, θ_range, g_tt_values', 
            title="G_tt度量的时间分量",
            ylabel="角度θ",
            color=:viridis, clim=(-2, 0), titlefont=font(12), topmargin=2mm, titlelocation=:left)

p2 = heatmap(r_range, θ_range, g_rr_values', 
            title="G_rr度量的径向分量", 
            ylabel="角度θ",
            color=:plasma, clim=(0, 10), titlefont=font(12), topmargin=2mm, titlelocation=:left)

p3 = heatmap(r_range, θ_range, curvature_values',
            title="曲率的简化度量",
            xlabel="半径r", ylabel="角度θ", 
            color=:hot, clim=(-1, 1), titlefont=font(12), topmargin=2mm, titlelocation=:left)

# 一起显示所有图形
plot(p1, p2, p3, layout=(3,1), size=(800, 900))

这张地图显示了当你离开带电的旋转黑洞时，时空曲率是如何减小的。

结论

这里提出的代码允许对质量，角动量和电荷的各种值的带电旋转黑洞周围时空的几何特征进行数值计算。所获得的结果可用于强场引力效应的进一步分析和相对论物体附近天体物理过程的建模。