单位矩阵¶

在本脚本中，我们将介绍几种创建单元矩阵的方法，并展示如何比较这些矩阵的内存占用情况。

任务描述¶

创建一个矩阵，其主对角线上填满单位（其他元素要么为零，要么缺失）。假设这样的矩阵不仅可以是正方形的，最好还是多维的。

使用循环¶

单位矩阵可以通过循环创建，具体方法如下

Pkg.add(["LinearAlgebra"])

n = 14
m = 11

eye = zeros( m, n )

for i in 1:n 
    if m < n
        if i <= m
            eye[i,i] = 1
        end
    else
        eye[i,i] = 1
    end
end

gr()
heatmap( eye, yflip=:true, c=:Reds )

通过一个短循环¶

沿着主对角线放置单元可以在压缩循环中完成。

eye_array = zeros( 5, 5 );

[eye_array[ i,i ] = 1 for i in 1:minimum( size(eye_array) )];

heatmap( eye_array, yflip=:true, c=:Purples )

通过使用函数ndims ，可以将此代码调整为多维情况，该函数返回原始矩阵的维数，我们在其主对角线上填入单位。

eye3D = zeros(5,4,3)

[eye3D[ repeat( [i], ndims(eye3D) )... ] = 1 for i in 1:minimum( size(eye3D) )];

display( eye3D )

5×4×3 Array{Float64, 3}:
[:, :, 1] =
 1.0  0.0  0.0  0.0
 0.0  0.0  0.0  0.0
 0.0  0.0  0.0  0.0
 0.0  0.0  0.0  0.0
 0.0  0.0  0.0  0.0

[:, :, 2] =
 0.0  0.0  0.0  0.0
 0.0  1.0  0.0  0.0
 0.0  0.0  0.0  0.0
 0.0  0.0  0.0  0.0
 0.0  0.0  0.0  0.0

[:, :, 3] =
 0.0  0.0  0.0  0.0
 0.0  0.0  0.0  0.0
 0.0  0.0  1.0  0.0
 0.0  0.0  0.0  0.0
 0.0  0.0  0.0  0.0

但如果系统需求增加，这种自定义代码很快就会变得难以维护。最好的办法是使用其他库，尤其是这些库也内置于Engee环境中。

线性代数库：对象`I`¶

创建此类矩阵最经济的方法是使用I 命令。

using LinearAlgebra
I

UniformScaling{Bool}
true*I

该对象占用内存极少，行为类似单位矩阵，可被任何对象支配，并可使用Matrix() 命令转换为矩阵。

Matrix( 5I, 3, 3)

3×3 Matrix{Int64}:
 5  0  0
 0  5  0
 0  0  5

创建主对角线上有单位的布尔类型矩阵：

Matrix{Bool}(I, 4, 10)

4×10 Matrix{Bool}:
 1  0  0  0  0  0  0  0  0  0
 0  1  0  0  0  0  0  0  0  0
 0  0  1  0  0  0  0  0  0  0
 0  0  0  1  0  0  0  0  0  0

创建一个大小为 5 x 5 的单位矩阵进行比较。

eye_I = Matrix{Bool}(I, 5, 5)

5×5 Matrix{Bool}:
 1  0  0  0  0
 0  1  0  0  0
 0  0  1  0  0
 0  0  0  1  0
 0  0  0  0  1

线性代数库: 命令`Diagonal`¶

函数Diagonal 提供了另一种有趣的方法。该函数可用于沿正方形矩阵的主对角线定位矢量。其他元素不存储在内存中，矩阵显示为稀疏数组 (SparseArray)。

using LinearAlgebra
eye_Diagonal = Diagonal( repeat([1], 5) )

5×5 Diagonal{Int64, Vector{Int64}}:
 1  ⋅  ⋅  ⋅  ⋅
 ⋅  1  ⋅  ⋅  ⋅
 ⋅  ⋅  1  ⋅  ⋅
 ⋅  ⋅  ⋅  1  ⋅
 ⋅  ⋅  ⋅  ⋅  1

线性代数库：函数`diagm`¶

另一个函数允许您沿矩阵的任意对角线（而不仅仅是主对角线）定位向量。

eye_diagm = diagm( 0 => repeat([1], 5) )

5×5 Matrix{Int64}:
 1  0  0  0  0
 0  1  0  0  0
 0  0  1  0  0
 0  0  0  1  0
 0  0  0  0  1

让我们把这个矩阵形象化：

heatmap( diagm( 0 => repeat([1], 5), 3=>repeat([1], 5) ), yflip=:true, c=:Blues )

稀疏矩阵库¶

您可以使用SparseArrays 直接构建单位稀疏矩阵，具体方法如下：

using SparseArrays: spdiagm
eye_spdiagm = spdiagm(0 => repeat([1], 5))

5×5 SparseArrays.SparseMatrixCSC{Int64, Int64} with 5 stored entries:
 1  ⋅  ⋅  ⋅  ⋅
 ⋅  1  ⋅  ⋅  ⋅
 ⋅  ⋅  1  ⋅  ⋅
 ⋅  ⋅  ⋅  1  ⋅
 ⋅  ⋅  ⋅  ⋅  1

这样的矩阵也可以被可视化，不会有任何问题。

heatmap( eye_spdiagm, yflip=:true, c=:Greens )

但是，正如我们将看到的，它比之前的所有变体占用更多内存。

varinfo( r"eye_array|eye_I|eye_Diagonal|eye_diagm|eye_spdiagm" )

结论¶

我们比较了几种创建单位矩阵的方法。使用标准对象创建的矩阵I 。

name	size	summary
eye_Diagonal	88 bytes	5×5 Diagonal{Int64, Vector{Int64}}
eye_I	65 bytes	5×5 Matrix{Bool}
eye_array	240 bytes	5×5 Matrix{Float64}
eye_diagm	240 bytes	5×5 Matrix{Int64}
eye_spdiagm	288 bytes	5×5 SparseArrays.SparseMatrixCSC{Int64, Int64} with 5 stored entries