奇边魔方¶

大小为$N \times N$ 的魔方是一个填满 1 到$N^2$ 整数的矩阵，使得每一行、每一列和主对角线上的数字之和相同，并且等于$N(N^2 + 1)/2$ 。

解题算法¶

连体法填满一个大小为$N$ 的魔方（其中$N$ 是奇数），包括以下步骤：

1.选择顶行中间的一个单元格，接受该单元格$n=1$ 2.在选定的单元格中放置$n$ 3. 如果$n = N^2$ ，则正方形已填满，可以退出程序。否则将$n$ 增加 1 4.移动到当前单元格右上方的单元格。在矩阵外移动时，移动到第一列或最后一行。如果新单元格中已填入非零数字，则返回并向下（垂直）移动 1 个单元格。 5.返回步骤 2

Pkg.add(["Colors", "LinearAlgebra"])

N = 7

magic_square = Matrix{Int}(zeros(N,N))

n = 1
i = 1
j = N ÷ 2

while n <= N^2
    magic_square[i, j] = n
    n += 1
    newi, newj = mod1((i-1), N), mod1((j+1), N)
    if magic_square[newi, newj] > 0
        i = mod1( i+1, N )
    else
        i, j = newi, newj
    end
end

display( magic_square )

7×7 Matrix{Int64}:
 39  48   1  10  19  28  30
 47   7   9  18  27  29  38
  6   8  17  26  35  37  46
 14  16  25  34  36  45   5
 15  24  33  42  44   4  13
 23  32  41  43   3  12  21
 31  40  49   2  11  20  22

gr()
heatmap( magic_square, c=:Greens, size=(200,200), cbar=:false,
         xticks=false, yticks=false )

# Вычислим координаты, текст и цвет надписей
vec_coords = CartesianIndices( size(magic_square) )
ax = first.( Tuple.(vec_coords[:]) )
ay = last.( Tuple.(vec_coords[:]) )
az = reshape( magic_square, 1, : )
acol = [ n > (N^2)÷2 ? (:white) : (:black) for n in az ]

# Нанесем на график надписи
for (x,y,z,c) in zip(ax,ay,az,acol)
    annotate!( x, y, text("$(convert(Int64, round(z)))",9,"Helvetica",c) );
end
plot!()

让我们检查一下我们是否得到了精确的魔方。这是所有列的总和：

sum.( eachcol( magic_square ) )

7-element Vector{Int64}:
 175
 175
 175
 175
 175
 175
 175

所有行的总和

sum.( eachrow( magic_square ) )

7-element Vector{Int64}:
 175
 175
 175
 175
 175
 175
 175

主对角线上的数字之和：

using LinearAlgebra
sum( diag( magic_square) )

175

边对角线上的数字之和：

sum( diag( magic_square') )

175

让我们同时检查所有条件：

using Colors

verdict = all( vcat( sum.( eachcol( magic_square ) ), 
           sum.( eachrow( magic_square ) ),
           sum( diag( magic_square) ),
           sum( diag( magic_square') ) ) .== N*(N^2 + 1) ÷ 2 )

if verdict == true display( colorant"green" ) else display( colorant"red" ); end;

如果我们设置一个偶数值$N$ ，这些条件将无法满足（结果将是false ）。

结论¶

我们实现了一个有一定局限性的构造魔方的程序。它体现了一种相当简单的算法，学习它对培养编程直觉绝对有用。