微分几何的一些对象
导言
对连续地图和形状属性的研究构成了微分几何的基础，使我们能够从部分解析解转向几何结构的定性描述。 在这个例子中，对三个具有独特拓扑不变量的规范表面进行了计算可视化。 模型参数的交互变化揭示了三维欧几里德空间中物体的局部度量与其全局行为之间的内在关系。
双曲面
双曲面是二阶的开放表面。 它是通过绕轴旋转双曲面而形成的，而单腔双曲面是一个规则曲面。
双曲面方程:
在这个脚本中，我们使用参数形式的方程。:
哪里 , .
In [ ]:
u = range(0, 2π, length=50)
v = range(-1, 1, length=50)
U = repeat(u', length(v), 1)
V = repeat(v, 1, length(u))
a, b = 1.0, 1.5
X = a .* cosh.(V) .* cos.(U)
Y = a .* cosh.(V) .* sin.(U)
Z = b .* sinh.(V)
surface(X, Y, Z;
color = Z,
colormap = :plasma,
alpha = 0.9,
colorbar = false,
ratio = :equal,
title = "双曲面")
Out[0]:
波面
衰减波面是一个二维标量场，它是振荡函数和递减径向乘数的乘积。 表面呈现局部波包，其在原点处具有最大振幅，并且其在周边处渐近趋零，这对于具有空间耗散的系统来说是典型的。
面的方程:
比率 -这是确定波局部化的特征空间尺度的衰减参数。 随着值的减小，区域的半径增大，在该半径内振幅保持显着；随着其增大，波在中心附近被有效地抑制。
径向坐标的平方 分母指定幅度衰减的各向同性定律，该定律与自变量的大值与原点的反距离成正比。
In [ ]:
u = range(-8, 8, length = 300)
v = range(-8, 8, length = 300)
k = 0.1
U, V = [u_i for u_i in u, _ in v], [v_j for _ in u, v_j in v]
X = @. U
Y = @. V
Z = @. sin(U) * cos(V) / (1 + k * (U^2 + V^2))
surface(X, Y, Z,
fill_z = Z,
linewidth = 0,
legend = false,
aspect_ratio = :equal,
colorbar = false,
seriescolor = :hot,
alpha = 0.97,
title = "衰变波面",
xlabel = "x",
ylabel = "y",
zlabel = "z",
camera = (45, 35),
size = (800, 650))
Out[0]:
脳梅脮脽拢潞catenoid
Catenoid是由链线（catena）围绕头饰旋转形成的最小旋转表面。 这是在每个点处具有零平均曲率的所有旋转表面中唯一的最小表面，这使得它成为在两个同轴环之间拉伸的皂膜的物理模型。
显式形式的catenoid方程:
参数形式的Catenoid方程:
In [ ]:
u = range(0, 2π, length=250)
v = range(-2, 2, length=150)
U, V = [u_i for u_i in u, _ in v], [v_j for _ in u, v_j in v]
X = @. cosh(V) * cos(U)
Y = @. cosh(V) * sin(U)
Z = @. V
surface(X, Y, Z,
fill_z = Z,
linewidth = 0,
linealpha = 0,
legend = false,
aspect_ratio = :equal,
colorbar = false,
seriescolor = :cool,
alpha = 0.85,
title = "脳梅脮脽拢潞catenoid",
camera = (50, 30),
size = (800, 650),
fillalpha = 0.85,
fillcolor = :cool)
Out[0]:
结论
这个例子清楚地表明，即使是最简单的二阶参数化也会生成结构复杂且有意义的几何图像。 在工程实践中，这些表面直接体现：旋转双曲面作为计算火力发电厂冷却塔的基础，由于形状的特殊刚性，而catenoids描述了遮阳篷和斜拉结构的几何形状，最大限 在学术环境中，这种模型是研究变分微积分中的最小曲面和多维空间中可微分地图奇点理论的必要工具。