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拓扑面和黎曼流形

导言

表面研究的拓扑方法揭示了在连续变形方面不变的属性，将几何超越刚性度量关系带入定性结构特征领域。 在这个例子中，考虑了经典的不可定向表面，以及复杂函数的多叶结构被可视化。 使用交互式三维结构的软件实现使得可以可视化规则点附近的局部行为与全局拓扑特征（如自交叉和失去方向）之间的差异。

莫比乌斯地带

莫比乌斯条是最简单的不可定向表面，通过粘合矩形的相对两侧与初步的半圈。 一个表面有一个单一的侧面和一个单一的边界曲线，这使它成为流形拓扑中的一个基本反例。 当沿着中线遍历时，法向量反转方向，表现出全局定向性的丧失，同时保持局部欧几里德结构。

经典实现的参数方程:

哪里 .

In [ ]: 
u = range(0, 2π, length=100)
v = range(-1, 1, length=30)
X = [ (1 + vi/2 * cos(ui/2)) * cos(ui) for ui in u, vi in v ]
Y = [ (1 + vi/2 * cos(ui/2)) * sin(ui) for ui in u, vi in v ]
Z = [ vi/2 * sin(ui/2) for ui in u, vi in v ]
surface(X, Y, Z; c=:viridis, alpha=0.97, colorbar=false, title="莫比乌斯地带")
Out[0]:

参数 设置沿单位半径的平均圆的纵向位移，并且 -横向位移。 半论点 在包含v的术语中，它负责形成角度的线的逐渐反转 完全旁路。

战斗表面

战斗表面（Werner Boy是德国数学家和物理学家）这是真实射影平面的平滑浸入 进入三维欧几里德空间 . 战斗表面提供了具有形成三点曲线的自交线的无向封闭表面的几何实施例。 曲面是搜索没有褶皱和锐边的射影平面地图的结果，并允许进行多次分析参数化。

本文提出了两种实现方式。

战斗的经典参数化使用多项式三角组合:

射影参数化基于球体的中心投影。 首先，设置单位球体上的坐标:

然后计算辅助分母。:

和表面的最终坐标:

In [ ]: 
# 经典作品
n1 = 100
u1 = range(0, π, length=n1)
v1 = range(0, 2π, length=n1)
U1, V1 = [u_i for u_i in u1, _ in v1], [v_j for _ in u1, v_j in v1]

x1 = @. (cos(U1) * sin(2V1) + sin(U1) * cos(V1) * cos(2V1) - sin(U1) * sin(V1) * cos(2V1)) / 2
y1 = @. (sin(U1) * sin(2V1) - cos(U1) * cos(V1) * cos(2V1) + cos(U1) * sin(V1) * cos(2V1)) / 2
z1 = @. (cos(U1) * cos(2V1) + sin(U1) * cos(2V1)) / 2

p1 = surface(x1, y1, z1,
    fill_z = nothing,
    linewidth = 0,
    legend = false,
    aspect_ratio = :equal,
    colorbar = false,
    seriescolor = :hsv,
    alpha = 0.7,
    title = "战斗表面(经典)",
    camera = (45, 30))

# 射影
n2 = 180
u2 = range(0, π, length=n2)
v2 = range(0, 2π, length=n2)
U2, V2 = [u_i for u_i in u2, _ in v2], [v_j for _ in u2, v_j in v2]
X = @. sin(U2) * cos(V2)
Y = @. sin(U2) * sin(V2)
Z = @. cos(U2)
D = @. X^2 + Y^2 + Z^2 + 1
x2 = @. sqrt(2) * X^2 / D
y2 = @. sqrt(2) * X * Y / D
z2 = @. Y / D

p2 = surface(x2, y2, z2,
    fill_z = nothing,
    linewidth = 0,
    legend = false,
    aspect_ratio = :equal,
    colorbar = false,
    seriescolor = :turbo,
    alpha = 0.7,
    title = "战斗表面（射影）",
    camera = (35, 25))
plot(p1, p2, layout=(1, 2), size=(1200, 550))
Out[0]:

这两个参数化生成一个同构于 ，展示了其几何形状的各个方面。

黎曼表面

黎曼面是多值解析函数唯一性的自然区域。 在这个例子中，考虑了复数平方根的黎曼面。 ​，从而实现了分支点为零的复平面的复盖。 当沿着闭合轮廓遍历原点时，自变量 更改 ，这导致根的标志的改变并且需要切换到第二复盖片。

复数变量以极性形式给出:

表面的两片叶子对应于根的两个分支:

In [ ]: 
r = range(0, 2, length=50)
theta = range(0, 2π, length=50)
R, Theta = [r_i for r_i in r, _ in theta], [theta_j for _ in r, theta_j in theta]
Z = R .* exp.(1im .* Theta)
W1 = sqrt.(R) .* exp.(1im .* Theta ./ 2)
W2 = -W1 
X1 = real.(Z); Y1 = imag.(Z); Z1 = real.(W1)
X2 = real.(Z); Y2 = imag.(Z); Z2 = real.(W2)

p = plot(xlabel = "Re(z)", ylabel = "Im(z)", zlabel = "Re(w)",
    title = "黎曼表面", camera = (-45, 45), aspect_ratio = :equal)

surface!(p, X1, Y1, Z1, alpha=0.9, colorbar=false, fillcolor=:cool, linewidth=0)
surface!(p, X2, Y2, Z2, alpha=0.9, colorbar=false, fillcolor=:cool, linewidth=0)

display(p)

在沿轴的三维表示中 和 实部和虚部被推迟 ，并在轴 -相应值的实际部分 . 沿着分支射线相交的两个片的联合构造给出了复盖物拓扑的完整图像。

交叉的引擎盖

交叉帽是相当于射影平面的无向封闭表面的标准模型。 用一个莫比乌斯片粘在边界圆上. 与战场的表面不同，交叉的引擎盖包含一行特殊点，沿着这些点表面自我相交。 在几何上，该模型可以表示为其中识别赤道圆的截然相反点的球体，其以相交"舌"的形式产生特征特征。

参数描述:

In [ ]: 
n = 100
u = range(0, π, length=n)
v = range(0, π, length=n)
U, V = [u_i for u_i in u, _ in v], [v_j for _ in u, v_j in v]

x = @. sin(2U) * sin(V)^2
y = @. sin(U) * sin(2V)
z = @. cos(U) * sin(V)^2 - sin(U)^2 * cos(V)

surface(x, y, z,
    fill_z = nothing,
    linewidth = 0,
    legend = false,
    aspect_ratio = :equal,
    colorbar = false,
    title = "交叉的引擎盖",
    seriescolor = :turbo,
    alpha = 0.8)
Out[0]:

参数 和 对应于原始球体上的角坐标。 正弦和余弦的组合决定了一个反峰渐开线的球体浸入三维空间。

结论

讨论的例子说明了表面的局部几何和全局拓扑之间的根本区别。 莫比乌斯条带，战斗表面和交叉引擎盖展示了在三维空间中实现非定向性的三种不同方式：从具有边界的单侧表面到具有各种结构自相交的射影平面的闭 黎曼曲面反过来揭示了拓扑与复杂分析之间的联系，显示了解析函数的模糊性如何通过传递到cover自然解决。

这些计算模型可以作为研究更复杂的拓扑不变量的基础，例如同伦群，欧拉类和矢量束定向性障碍。 从应用的角度来看，理解无向流形的结构拓扑在液晶理论、凝聚态物理学和现代宇宙学中应用于分析可能的时空全局结构。