螺旋涡相场的动态模型

导言

涡旋和螺旋波结构的研究是非线性现象、光学和流体力学现代物理学的重要领域之一。特别感兴趣的是二维相位场，其中实现了两个基本拓扑模式的叠加：径向螺旋调制和方位角相移，其特征在于整数方位角模式号。在连续模型的框架中描述了这样的结构，其中关键参数是径向分量的幅度，时间演变的频率以及消除坐标中心奇异性的正则化参数的幅度。

可视化既以静态三维表示（表面）进行，也以动态形式进行，这允许观察场随时间的演变。这使得不仅可以定性地评估新兴的空间结构，还可以研究它们对模型控制参数的依赖性。

初始数据

让我们在平面上定义一个二维计算网格。

x = range(-2, 2, length = 400)
y = range(-2, 2, length = 400)
X = [i for i in x, _ in y]
Y = [j for _ in x, j in y]

相位场功能

我们使用函数定义涡旋波场:

哪里:

-径向相位调制的振幅;

是一个正则化参数，可防止函数在点r=0处的奇异性;

-随时间变化的相角速度;

-方位模式编号;

-时间到了。

对于极坐标系的效果，我们设置条件: Z[R .> 2] .= NaN.

function Z(t, A, ε, ω, m)
    R = sqrt.(X.^2 .+ Y.^2)
    Z = sin.(A ./ (R .+ ε) .+ t*ω .+ atan.(Y, X)*m)
    Z[R .> 2] .= NaN 
    return Z
end

Z (generic function with 2 methods)

波浪参数

让我们定义相位场的初始参数。

t = 1
A = 10
ε = 0.1
ω = 0.15
m  = 5

可视化

3D可视化

让我们将相位场显示为三维形状。

p = surface(x, y, Z(t, A, ε, ω, m), alpha=0.9, c=:viridis)

动画

让我们想象一个动态形式的涡旋波场。

anim = @animate for t in 1:300
    heatmap(x, y, Z(t, A, ε, ω, m), aspect_ratio = :equal,  axis = nothing, color = :viridis,       
    title = "", framestyle = :none, size = (500, 500), background_color = :transparent)
end

gif(anim, "Vortex.gif", fps = 15)

Warning: detected a stack overflow; program state may be corrupted, so further execution might be unreliable.
Warning: detected a stack overflow; program state may be corrupted, so further execution might be unreliable.
[ Info: Saved animation to /user/Vortex/Vortex.gif

结论

可视化结果证实了所提出的数学模型产生了具有明显螺旋对称性的稳定涡旋模式。时间演变的动画使得跟踪相位前沿的旋转和径向传播成为可能，这对于具有波前螺旋位错的系统来说是典型的。

所提出的模型及其可视化方法在许多科学和技术领域具有直接的实际重要性。:

*光学和光子学-在光学涡流，轨道角动量光束的分析和合成中，以及在具有相位奇点的系统中干涉图案的建模中。
*流体力学和等离子体物理学-描述在非平衡介质中发生的螺旋波结构，包括涡流和密度波。
*信号和图像处理-开发基于螺旋谐波的相位滤波、奇异点检测和纹理识别算法。
*在心脏组织、神经合奏和反应扩散系统中再现螺旋波的模型中可兴奋介质的生物物理学和非线性动力学。

因此，构建的计算方案可以作为研究相场拓扑属性的教育和演示工具，以及这些领域更复杂的工程和研究计算的基本要素。