指数函数的图形比较¶

本例讨论了确定两个值中较大值的图形方法：$e^\pi$ 和$\pi^e$ 。

为了以图形方式比较$e^\pi$ 和$\pi^e$ 的值，我们绘制了指数函数$z=x^y-y^x$ 的差分函数曲面。

为此，首先要安装并连接CairoMakie 库。

import Pkg; Pkg.add("CairoMakie");
using CairoMakie;

让我们定义曲面坐标数组。

x = 0:0.05:4; y = 0:0.05:4;
X = [i for i in x, j in 1:length(y)]; Y = [j for i in 1:length(x), j in y];
Z = X.^Y-Y.^X;

使用给定函数构建曲面。

using CairoMakie

# Создаем фигуру и 3D оси
fig = Figure(;size = (600, 600));
ax = Axis3(fig[1, 1], 
          title = "Показательные функции",
          xlabel = "Ось X", ylabel = "Ось Y", zlabel = "Ось Z",
          aspect=(1,1,1), azimuth=-pi*0.64);

# Создаём поверхность
CairoMakie.surface!(ax, x, y, Z, 
                    colormap = :prism,
                    colorrange = (minimum(Z), maximum(Z)));

# Добавляем цветовую шкалу
Colorbar(fig[1, 2],
         limits = (minimum(Z), maximum(Z)),
         colormap = :prism, label = "Значения");

display(fig);

在平面$Z=0$ 中，在构建的曲面上绘制轮廓。

CairoMakie.contour3d!(ax, x, y, Z,
                      levels = [0],
                      color=:black, linewidth=2)
display(fig);

在构建的等高线上有几个方程的整数解点$x^y-y^x=0$ 。让我们在等高线上画出这些点。

# массивы целочисленных решений уравнения
ix=[0,1,2,2,3,4,4] 
iy=[0,1,2,4,3,2,4]
iz=zeros(7)

CairoMakie.scatter!(ax, ix, iy, iz;
                    color=:black)
display(fig);

现在将所求的$x$ 和$y$ 的函数点绘制在坐标上：$(\pi,\, e,\, \pi^e-e^\pi)$ 和$(e,\, \pi,\, e^\pi-\pi^e)$ 。

e=exp(1);
tx=[pi,e]
ty=[e,pi]
textt=["pi,e", "e,pi"]
tz=tx.^ty-ty.^tx

CairoMakie.scatter!(ax, tx, ty, tz;
                    color=:white)
CairoMakie.text!(ax, tx, ty, tz;
                 text = textt, align = (:right, :bottom),
                 color = :white)
display(fig);

从结构图中我们可以看到，坐标为$(e,\, \pi,\, e^\pi-\pi^e)$ 的点位于$Z = 0$ 平面上方的曲面部分，而点$(\pi,\, e,\, \pi^e-e^\pi)$ - 位于正割平面下方的曲面部分。为方便查看点的位置，您可以编辑轴的方位角和代码单元掩码：

Азимут=-0.38 # @param {type:"slider",min:-6.28,max:6.28,step:0.1}
ax.azimuth[] = Азимут;
display(fig);

由此我们可以得出结论，$e^\pi$ 的值大于$\pi^e$ 。为了确认，我们来计算一下这些值。

@show e^pi, pi^e;

(e ^ pi, pi ^ e) = (23.140692632779263, 22.459157718361038)

结论¶

在本例中，我们以图解的方式了解了求两个值中较大值的方法。