点到平面的最短距离¶

本例演示了如何使用基于问题的方法提出并解决最小二乘法（LSM）优化问题。

我们将使用库 JuMP.jl 和非线性优化库 Ipopt.jl的函数来提出优化问题。

安装库¶

如果您的环境中没有安装最新版本的JuMP 软件包，请取消注释并运行下面的方框：

Pkg.add(["Ipopt", "JuMP"])

#Pkg.add("JuMP");

要在安装完成后启动新版本的程序库，请单击 "我的账户 "按钮：

然后点击 "停止 "按钮：

按下 "Start Engee "按钮重新启动会话：

任务描述¶

问题的目的是找出从原点（点$(0,0,0)$ ）到平面$x_1+2x_2+4x_3=7$ 的最短距离。

因此，问题是如何使函数最小化： $$f(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2$$

给定约束条件 $$x_1+2x_2+4x_3=7$$

函数$f(x)$ 是目标函数，$x_1+2x_2+4x_3=7$ 是相等约束条件。

更复杂的问题可能包含其他相等约束、不等式约束、上限或下限约束。

连接库¶

连接图书馆JuMP ：

using JuMP;

连接非线性求解器库Ipopt ：

using Ipopt;

创建优化问题¶

使用函数Model() 创建一个优化问题，并在括号中指定求解器的名称：

plane_prob = Model(Ipopt.Optimizer)

A JuMP Model
Feasibility problem with:
Variables: 0
Model mode: AUTOMATIC
CachingOptimizer state: EMPTY_OPTIMIZER
Solver name: Ipopt

创建一个变量x ，包含三个值 -$x_1$,$x_2$ 和$x_3$ ：

@variable(plane_prob, x[1:3]);

创建一个目标函数来解决最小化问题：

@objective(plane_prob, Min, sum(x[i]^2 for i in 1:3))

设置求解优化问题的条件$x_1+2x_2+4x_3=7$ 。您可以使用函数dot() 求两个向量的标量积，也可以用传统方法写方程：

v = [1, 2, 4]
@constraint(plane_prob, dot(x, v) == 7)

问题表述完毕。您可以复习并检查问题：

println(plane_prob)

Min x[1]² + x[2]² + x[3]²
Subject to
 x[1] + 2 x[2] + 4 x[3] = 7.0

问题解决方案¶

解决优化问题

optimize!(plane_prob)

This is Ipopt version 3.14.13, running with linear solver MUMPS 5.6.1.

Number of nonzeros in equality constraint Jacobian...:        3
Number of nonzeros in inequality constraint Jacobian.:        0
Number of nonzeros in Lagrangian Hessian.............:        3

Total number of variables............................:        3
                     variables with only lower bounds:        0
                variables with lower and upper bounds:        0
                     variables with only upper bounds:        0
Total number of equality constraints.................:        1
Total number of inequality constraints...............:        0
        inequality constraints with only lower bounds:        0
   inequality constraints with lower and upper bounds:        0
        inequality constraints with only upper bounds:        0

iter    objective    inf_pr   inf_du lg(mu)  ||d||  lg(rg) alpha_du alpha_pr  ls
   0  0.0000000e+00 7.00e+00 0.00e+00  -1.0 0.00e+00    -  0.00e+00 0.00e+00   0
   1  2.3333333e+00 0.00e+00 0.00e+00  -1.0 1.33e+00    -  1.00e+00 1.00e+00h  1

Number of Iterations....: 1

                                   (scaled)                 (unscaled)
Objective...............:   2.3333333333333330e+00    2.3333333333333330e+00
Dual infeasibility......:   0.0000000000000000e+00    0.0000000000000000e+00
Constraint violation....:   0.0000000000000000e+00    0.0000000000000000e+00
Variable bound violation:   0.0000000000000000e+00    0.0000000000000000e+00
Complementarity.........:   0.0000000000000000e+00    0.0000000000000000e+00
Overall NLP error.......:   0.0000000000000000e+00    0.0000000000000000e+00


Number of objective function evaluations             = 2
Number of objective gradient evaluations             = 2
Number of equality constraint evaluations            = 2
Number of inequality constraint evaluations          = 0
Number of equality constraint Jacobian evaluations   = 1
Number of inequality constraint Jacobian evaluations = 0
Number of Lagrangian Hessian evaluations             = 1
Total seconds in IPOPT                               = 0.001

EXIT: Optimal Solution Found.

将x 的值存储在一个变量中：

sol = value.(x);

输出优化结果。您可以使用函数round ，对过于精确的数值进行四舍五入：

println("Оптимизированные значения x = ", round.(sol, digits=4))

Оптимизированные значения x = [0.3333, 0.6667, 1.3333]

因此，从点$(0,0,0)$ 到平面$x_1+2x_2+4x_3=7$ 的最短距离是$(0.3333, 0.6667, 1.3333)$ 。现在我们可以计算两点之间的距离了：

origin = [0, 0, 0]
distance = sqrt(sum((sol .- origin).^2))
println("Расстояние ", round(distance, digits=4))

Расстояние 1.5275

您已经找到了原点与给定平面之间的最短距离。

结论¶

在本例中，我们采用基于问题的方法，用最小二乘法（LSM）解决了从坐标原点（点$(0,0,0)$ ）到平面$x_1+2x_2+4x_3=7$ 的最短距离问题。