在白噪声中检测信号¶

本例研究如何在复杂的高斯噪声中检测确定信号。这种情况在雷达、声纳和通信系统中经常遇到。

引言¶

有许多不同类型的检测器可用于各种应用。其中最常用的是贝叶斯检测器、最大似然检测器和奈曼-皮尔逊准则（KNP）检测器。在雷达和声纳系统中，KNP 是最受欢迎的选择，因为它可以提供一定水平的误报概率（FAP）。

在本例中，我们只考虑信号是确定的，噪声是高斯白噪声的情况。

示例包括以下部分：相干检测、非相干检测、匹配滤波和接收器检测曲线（ROC）。

信号和噪声模型¶

假定接收到的信号符合模型：

\开始 x(t)=s(t)+n(t) \end{align} 其中$s(t)$ 为信号，$n(t)$ 为噪声。

假设信号功率等于 1 瓦，噪声功率根据信噪比 (SNR) 适当确定。例如，信噪比为 10 dB 时，噪声功率（即噪声方差）为 0.1 瓦。

匹配滤波¶

接收器通常使用匹配滤波器来提高信噪比。从离散信号的角度来看，匹配滤波器的系数指定为相对于发射信号的复共轭值。

在处理复杂信号和噪声时，有两种类型的接收器。第一种是相干接收器，它假定接收信号的振幅和相位是已知的。这将导致相干滤波器系数与信号 s 完美匹配。因此，匹配滤波器的系数可视为共轭信号 s。那么，匹配滤波器的工作模式可以是

\开始 y = s^x = s^(s+n) = |s|^2 + s^*n\ . \end{align}

请注意，虽然总输出$y$ 仍然是一个复数，但信号完全由$∣s∣^2$ 表征，它是一个实数，包含在同相分量$y$ 中。因此，相干接收机中匹配滤波器之后的检测器通常只使用接收信号的实部。这样的接收器通常性能最佳。然而，相干接收机容易受到相位误差的影响。此外，相干接收机还需要额外的设备来进行相位检测。对于非相干接收机，接收信号被模拟为带有随机相位误差的原始信号的副本。在非相干检测中，匹配滤波器后的信号功率用于计算同相和正交分量

检测器¶

决策规则 CNR 的目标函数可写成

\开始 J = P_d + g(P_{fa} - a)、 \结束

即在给定水平 a 下，最大化检测概率$(Pd)$ ，同时限制误报概率$(Pfa)$ 。等式中的变量 g 是拉格朗日乘数。NP 检测器可组成似然比检验$(LRT)$ ，如下所示：

\开始 \frac{p_y(y|H_1)}{p_y(y|H_0)}{{H_1 \atop >}\atop {< \atop H_0}}}}.Th\ . \end{align}

在这种特殊情况下$NP$ ，由于误报仅由噪声引起，阈值$Th$ 由噪声决定，以提供一个固定的$Pfa$ 。一般情况下，$LRT$ ，如上图所示，通常很难评估。在实际应用中，我们通常使用信号中易于计算的量，即充分统计量来替代两个概率密度函数的比值。例如，充分统计量$z$ 可以简单为

\开始{对齐｝ z = |y \end{align}

则简化后的探测器变为

\开始 z {{H_1 \atop >}\atop {< \atop H_0}}T\ . \end{align}

T 是充分统计量 z 的阈值，其作用与 LRT 的阈值 Th 相同。因此，阈值不仅与概率分布有关，还取决于充分统计量的选择。

使用相干接收器检测单个样本¶

我们首先来看一个利用单个样本在噪声中检测信号的例子。

假设信号为单个功率样本，信噪比为 3 dB。通过蒙特卡罗模拟 100000 次尝试，我们生成信号和噪声如下

Pkg.add(["DSP"])

using Random,DSP
# fix the random number generator
seed = 2024
rstream =  Xoshiro(seed)

Ntrial = Int64(1e5); #  количество попыток Монте-Карло
snrdb = 3; # ОСШ в dB
snr = db2pow(snrdb);# ОСШ в абсолютных единицах
spower = 1;               # мощность сигнала, Вт
npower = spower/snr; # мощность шума
namp = sqrt(npower/2); # амплитуда шума в каждом канале
s = ones(1,Ntrial);       # генерация сигнала
n = namp*(randn(rstream,1,Ntrial)+1im*randn(rstream,1,Ntrial));  # шум

请注意，噪声是复数、白噪声和高斯分布。

如果接收到的信号包含一个目标，其值等于

x = s + n; # смесь сигнал с шумом

在这种情况下，匹配滤波器是微不足道的，因为信号本身就是一个单一样本。

mf = 1;

在这种情况下，匹配滤波器的增益为 1，因此信噪比没有增益。

现在我们将进行检测并检查检测器的性能。对于相干接收机，匹配滤波器后的接收信号形式如下

y = mf'*x; # применение согласованного фильтра;

相干检测器的充分统计量，即用于与检测阈值比较的值，是匹配滤波器后接收信号的实部，即

z = real(y);

假设我们要将$Pfa$ 固定在$10^{-3}$ 。给定足够的统计量$z$ ，决策规则如下

\开始 z {{H_1 \atop >}\atop {< \atop H_0}}T \end{align}

其中，阈值$T$ 与$Pfa$ 的关系如下：

\开始 P_{fa}=\frac{1}{2}\left[ 1 - {\rm erf}\left(\frac{T}{\sqrt{NM}}\right)\right] \end{align}

在这个公式中，N 是信号功率，M 是匹配滤波器的增益。请注意，T 是匹配滤波器后的信号阈值，NM 是匹配滤波器后的噪声功率，因此$T/√ (NM)$ 可以看作是信号和噪声大小的比值，即与信噪比 SNR 有关。由于信噪比通常指的是信号功率和噪声功率的比值，考虑到这一表达式中各量的单位，我们可以看到

\开始{对齐｝ \frac{T}{sqrt{NM}}=\sqrt\rm SNR}\ 。 \end{align}

由于 N 和 M 在选择噪声和信号波形后是固定的，因此 T 和 SNR 之间存在对应关系。鉴于 T 是信号的阈值，SNR 可视为信噪比的阈值。因此，阈值方程可改写为

\开始 P_{fa}=\frac{1}{2}\left[ 1 - {\rm erf}left({/sqrt{SNR}}/right)/right]。 {end{align}

可以使用 npwgnthresh 函数计算 NP 检测器在复白高斯噪声下所需的信噪比阈值，计算公式如下：

Pfa = 1e-3;
snrthreshold = db2pow(npwgnthresh(Pfa, 1,"coherent"));

请注意，尽管该阈值也采用 SNR 值的形式，但它与接收信号的 SNR 不同。信噪比阈值是根据所需的检测效率计算得出的值，在本例中为 Pfa；而接收信号的信噪比是信号的物理特性，由传播介质、波形、传输功率等决定。

真实阈值 T 可以从 SNR 阈值中推导出来，即

\开始 T=\sqrt{NM}\cdot\sqrt{\rm SNR}. \end{align}

mfgain = mf'*mf;
# Для соответствия уравнению в тексте выше:
# npower - N 
# mfgain - M 
# snrthreshold - SNR
threshold = sqrt(npower*mfgain*snrthreshold);

检测是通过将信号与阈值进行比较来完成的。由于接收信号中包含原始信号 s，因此当接收信号通过阈值（即 z>T）时，检测就成功了。探测器探测目标的能力通常用 Pd 来衡量。在蒙特卡罗建模中，Pd 可计算为信号通过阈值的次数与试验总数之比。

Pd = sum(z.>threshold)/Ntrial
print("Pd = $(Pd)")

Pd = 0.13665

另一方面，当检测结果表明有目标但实际上没有目标时，即接收到的信号通过阈值时只有噪声存在，就会发生误报。当没有目标时，检测器检测到目标的错误概率定义为 Pfa。

x = n;
y = mf'*x;
z = real(y);
Pfa = sum(z.>threshold)/Ntrial
print("Pfa = $(Pfa)")

Pfa = 0.00098

这符合我们的要求。

为了在图表上看到信噪比、Pd 和 Pfa 之间的关系，我们可以使用 rocsnr 函数绘制信噪比为 3 dB 时的理论 ROC 曲线，即

rocsnr(snrdb,SignalType="NonfluctuatingCoherent",MinPfa=1e-4)

从图中可以看出，上述信噪比为 3 dB 时的测量值 Pd=0.1390 和 Pfa=0.0009 与 ROC 曲线上的理论点相对应。

使用非相干接收器检测单个样本¶

非相干接收器考虑到了接收信号的相位，因此对于所考虑的情况，信号 x 包含一个相位项，其定义为

# simulate the signal
x = s.*exp.(1im*2*pi*rand(rstream,1,Ntrial)) .+ n;
y = mf'*x;

使用非相干接收器时，匹配滤波器后接收信号的功率（或幅度）用于与阈值进行比较。在此模型中，我们选择幅度作为充分统计量

z = abs.(y);

考虑到我们选择的充分统计量 z，阈值与 Pfa 的关系式为

\begin{align} P_{fa}={rm exp}\left(-\frac{T^2}{NM}\right)={\rm exp}(-{\rm SNR})\ . \end{align}

NP 检测器的信噪比阈值 SNR 可通过 npwgnthresh 计算如下：

snrthreshold = db2pow(npwgnthresh(Pfa, 1,"noncoherent"));

阈值 T 是根据信噪比确定的，如下所示

mfgain = mf'*mf;
threshold = sqrt(npower*mfgain*snrthreshold);

同样，Pd 可以通过

Pd = sum(z.>threshold)/Ntrial
print("Pd = $(Pd)")

Pd = 0.06156

注意，得出的 Pd 不如相干接收器的性能。

在没有目标的情况下，接收到的信号只包含噪声。我们可以通过蒙特卡罗模拟计算出 Pfa 为

x = n;
y = mf'*x;
z = abs.(y);
Pfa = sum(z.>threshold)/Ntrial
print("Pfa = $(Pfa)")

Pfa = 0.00096

非相干接收机的 ROC 曲线为

rocsnr(snrdb,SignalType="NonfluctuatingNoncoherent",MinPfa=1e-4)

我们可以看到，非相干接收机的检测器性能不如相干接收机。

结论¶

本例展示了如何使用 Engee 建模并执行各种检测方法。示例说明了信号检测中常见的几个变量之间的关系，即检测概率（Pd）、误报概率（Pfa）和信噪比（SNR）。特别是，该示例使用蒙特卡罗模拟计算了检测器的性能，并使用接收器工作特性曲线（ROC）验证了指标结果。

在检测信号时，我们会遇到两种 SNR 值。第一个是单个数据样本的 SNR。这是显示在 ROC 曲线图上的信噪比值。ROC 曲线上的点给出了达到相应 Pd 和 Pfa 所需的单个样本信噪比。然而，这并不是用于检测的阈值 SNR 值。根据奈曼-皮尔逊（Neyman-Pearson）决策规则，信噪比阈值（我们看到的用于检测的第二个信噪比值）由噪声分布和所需的 Pfa 水平决定。因此，这样的 SNR 阈值确实与 ROC 曲线上的 Pfa 轴相对应。如果我们固定单个样本的 SNR，如上面的 ROC 曲线图所示，曲线上的每个点将对应一个 Pfa 值，这反过来又转化为一个阈值 SNR 值。使用这个阈值 SNR 值进行检测，就会得到相应的 Pd 值。

请注意，信噪比阈值可能与实际检测器中直接使用的阈值不同。在实际检测器中，通常会使用一个易于计算的充分统计值来进行检测。因此，真正的阈值应从上述信噪比阈值中推导出来，使其与充分统计值的选择相匹配。