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复数和有理数

Julia为复数和有理数预定义了类型，并且支持所有标准类型。 数学运算和初等函数。 此外，还有一个系统 转换和提升，以便以预期的方式执行具有预定义数字类型的任何组合的操作，无论是基元还是复合。

复数

全球常数 'im'与复数_i_相关联，表示—​1的平方根的主要值。 （由于索引变量作为名称的流行，决定放弃使用数学（i）或工程（j）中采用的名称作为这个全局常数。）由于朱莉娅允许 将系数写为变量名称旁边的数字文字，这种绑定足以方便地编写复数，就像在数学中一样。:

julia> 1+2im
1 + 2im

所有标准算术运算都可以用复数进行。:

julia> (1 + 2im)*(2 - 3im)
8 + 1im

julia> (1 + 2im)/(1 - 2im)
-0.6 + 0.8im

julia> (1 + 2im) + (1 - 2im)
2 + 0im

julia> (-3 + 2im) - (5 - 1im)
-8 + 3im

julia> (-1 + 2im)^2
-3 - 4im

julia> (-1 + 2im)^2.5
2.729624464784009 - 6.9606644595719im

julia> (-1 + 2im)^(1 + 1im)
-0.27910381075826657 + 0.08708053414102428im

julia> 3(2 - 5im)
6 - 15im

julia> 3(2 - 5im)^2
-63 - 60im

julia> 3(2 - 5im)^-1.0
0.20689655172413793 + 0.5172413793103449im

提升机制使得不同类型的操作数的可能组合。:

julia> 2(1 - 1im)
2 - 2im

julia> (2 + 3im) - 1
1 + 3im

julia> (1 + 2im) + 0.5
1.5 + 2.0im

julia> (2 + 3im) - 0.5im
2.0 + 2.5im

julia> 0.75(1 + 2im)
0.75 + 1.5im

julia> (2 + 3im) / 2
1.0 + 1.5im

julia> (1 - 3im) / (2 + 2im)
-0.5 - 1.0im

julia> 2im^2
-2 + 0im

julia> 1 + 3/4im
1.0 - 0.75im

注意：3/4im==3/（4*im）==-（3/4*im），因为字面系数的绑定优先于除法。

具有复杂值的操作的标准函数是可用的。:

julia> z = 1 + 2im
1 + 2im

julia> real(1 + 2im) # вещественная часть z
1

julia>imag(1+2im)#z的虚部
2

julia>conj(1+2im)#z的复共轭值
1-2im

julia>abs(1+2im)#z的绝对值
2.23606797749979

julia>abs2(1+2im)#绝对值平方
到5

julia>angle(1+2im)#以弧度为单位的相位角
1.1071487177940904

像往常一样，绝对值（`abs')的复数是它与零的距离。 功能 `abs2'返回绝对值的平方根，对于复数特别有用，因为它不提取平方根。 功能 `angle'返回以弧度为单位的相位角（也称为_complex argument_或简称_argument_）。 对于复数，也定义了其他的整个范围。 基本函数:

julia> sqrt(1im)
0.7071067811865476 + 0.7071067811865475im

julia> sqrt(1 + 2im)
1.272019649514069 + 0.7861513777574233im

julia> cos(1 + 2im)
2.0327230070196656 - 3.0518977991517997im

julia> exp(1 + 2im)
-1.1312043837568135 + 2.4717266720048188im

julia> sinh(1 + 2im)
-0.4890562590412937 + 1.4031192506220405im

请注意，数学函数通常在应用于实数时返回实数值，而在应用于复数时返回复数值。 例如，当应用于`-1’和'-1+0im’时，函数 sqrt的行为不同，尽管事实上'-1==-1+0im`:

julia> sqrt(-1)
ERROR: DomainError with -1.0:
sqrt was called with a negative real argument but will only return a complex result if called with a complex argument. Try sqrt(Complex(x)).
Stacktrace:
[...]

julia> sqrt(-1 + 0im)
0.0 + 1.0im

将系数写成数字文字。 在这种情况下，乘法必须显式编写。:

julia> a = 1; b = 2; a + b*im
1 + 2im

但是，不建议这样做。 使用更有效的功能来代替。 'complex`直接从其实部和虚部形成复数值:

julia> a = 1; b = 2; complex(a, b)
1 + 2im

不需要乘法和加法运算。

'Inf'和 'NaN'通过复数的实部和虚部传递，如本节所述 特殊浮点值:

julia> 1 + Inf*im
1.0 + Inf*im

julia> 1 + NaN*im
1.0 + NaN*im

有理数

Julia有一种有理数类型，表示整数分数的确切值。 有理数是使用运算符创建的 //:

julia> 2//3
2//3

如果分数的分子和分母有一个共同的乘数，它们被减少到不可约的形式，以便分母是非负的。:

julia> 6//9
2//3

julia> -4//8
-1//2

julia> 5//-15
-1//3

julia> -4//-12
1//3

整数分数的这种规范化形式是唯一的，因此您可以通过检查其分子和分母的相等性来检查有理值是否相等。 有理值的归一化分子和分母可以使用函数获得 '分子'和 '分母':

julia> numerator(2//3)
2

julia> denominator(2//3)
3

通常不需要直接比较分子和分母，因为标准算术和比较运算是为有理值定义的。:

julia> 2//3 == 6//9
true

julia> 2//3 == 9//27
false

julia> 3//7 < 1//2
true

julia> 3//4 > 2//3
true

julia> 2//4 + 1//6
2//3

julia> 5//12 - 1//4
1//6

julia> 5//8 * 3//12
5//32

julia> 6//5 / 10//7
21//25

有理数可以很容易地转换为浮点数。:

julia> float(3//4)
0.75

当将有理数转换为任何整数值`a`和`b`的浮点数时，除了`a==0&&b<=0'之外，观察到以下身份:

julia> a = 1; b = 2;

julia> isequal(float(a//b), a/b)
true

julia> a, b = 0, 0
(0, 0)

julia> float(a//b)
ERROR: ArgumentError: invalid rational: zero(Int64)//zero(Int64)
Stacktrace:
[...]

julia> a/b
NaN

julia> a, b = 0, -1
(0, -1)

julia> float(a//b), a/b
(0.0, -0.0)

可以创造无限的理性价值。:

julia> 5//0
1//0

julia> x = -3//0
-1//0

julia> typeof(x)
Rational{Int64}

然而，试图创造一个理性的价值 'NaN'将导致错误:

julia> 0//0
ERROR: ArgumentError: invalid rational: zero(Int64)//zero(Int64)
Stacktrace:
[...]

像往常一样，提升系统可以很容易地执行与其他数字类型的操作。:

julia> 3//5 + 1
8//5

julia> 3//5 - 0.5
0.09999999999999998

julia> 2//7 * (1 + 2im)
2//7 + 4//7*im

julia> 2//7 * (1.5 + 2im)
0.42857142857142855 + 0.5714285714285714im

朱莉娅>3//2 / (1+2im)
3//10 - 3//5*我

朱莉娅>1//2 + 2im
1//2 + 2//1*我

朱莉娅>1 + 2//3im
1//1 - 2//3*我

朱莉娅>0.5==1//2
真的

朱莉娅>0.33==1//3
错误

朱莉娅>0.33<1//3
真的

朱莉娅>1//3 - 0.33
0.0033333333333332993