Математические операции и элементарные функции

Для всех примитивных числовых типов поддерживаются следующие арифметические операторы.

Помещение числового литерала непосредственно перед идентификатором или скобками, например 2x или 2(x+y), рассматривается как умножение, причем с большим приоритетом, чем у других двоичных операций. Подробнее: см. Числовые литеральные коэффициенты.

Благодаря используемой в Julia системе продвижения арифметические операции над сочетаниями разных типов аргументов выполняются автоматически, естественным и интуитивным образом. Подробнее об этой системе см. в разделе Преобразование и продвижение.

Для удобного ввода знака ÷ можно использовать \div<tab> в REPL или IDE Julia. Подробнее: см. раздел руководства о вводе символов Юникода.

Вот некоторые простые примеры использования арифметических операторов.

(По соглашению, операторы, выполняемые раньше других близлежащих операторов, отделяются меньшим расстоянием. Например, запись -x + 2 обычно означает, что сначала выполняется обращение x, а затем к результату прибавляется 2.)

При использовании в умножении значение false действует как сильный нуль.

Это позволяет предотвратить подстановку значений NaN в заведомо нулевых количествах. Обоснование: Кнут (1992).

Для типов Bool поддерживаются следующие логические операторы.

Отрицание изменяет true на false и наоборот. Пояснения для операций вычисления по сокращенной схеме доступны по приведенным ссылкам.

Обратите внимание, что Bool представляет собой целочисленный тип и для него также определяются все стандартные правила продвижения и числовые операторы.

Для всех примитивных целочисленных типов поддерживаются следующие битовые операторы.

Вот ряд примеров использования битовых операторов.

Все двоичные арифметические и битовые операторы также имеют версию с присваиванием, которая передает результат операнду, стоящему слева. Для использования версии двоичного оператора с присваиванием необходимо сразу после оператора указать знак =. Например, запись x += 3 эквивалентна x = x + 3.

Все версии двоичных арифметических и битовых операторов с присваиванием:

Для каждой двоичной операции, например для ^, имеется соответствующая операция с точкой .^, определенная автоматически для выполнения ^ поэлементно для каждого значения массива. Например, операция [1,2,3] ^ 3 не определена, так как не существует стандартной математической операции возведения в куб для (неквадратного) массива. Однако определена операция [1,2,3] .^ 3, которая поэлементно вычисляет (векторный) результат [1^3, 2^3, 3^3]. Аналогичным образом, для унарных операторов, таких как ! или √, имеется соответствующий оператор с точкой (.√), применяющий операцию для каждого элемента массива.

Например, a .^ b анализируется как точечный вызов (^).(a,b), который выполняет операцию трансляции. Эта операция позволяет сочетать массивы со скалярными значениями, сочетать друг с другом массивы одинакового размера (выполняться поэлементно) и даже массивы разных форм (например, сочетать горизонтальные и вертикальные векторы, создавая матрицу). Кроме того, как и все "точечные" вызовы, операторы с точкой являются объединяющими. Например, при вычислении для массива A выражения 2 .* A.^2 .+ sin.(A) (или эквивалентного выражения @. 2A^2 + sin(A) с макросом @.) выполняется один цикл с массивом A, в котором для каждого элемента a из A вычисляется 2a^2 + sin(a). В частности, вложенные точечные вызовы, такие как f.(g.(x)), объединяются, а смежные двоичные операторы, такие как x .+ 3 .* x.^2, эквивалентны вложенным точечным вызовам (+).(x, (*).(3, (^).(x, 2))).

Помимо этого, точечные операторы с присваиванием, такие как a .+= b (или @. a += b), анализируются как a .= a .+ b, где .= представляет собой объединенную операцию присваивания на месте (см. документацию по синтаксису с точкой).

Точечный синтаксис также применим к операторам, определяемым пользователями. Например, если вы определите ⊗(A,B) = kron(A,B), чтобы использовать удобный инфиксный синтаксис A ⊗ B для произведения Кронекера (kron), то [A,B] .⊗ [C,D] будет вычислять [A⊗C, B⊗D] без необходимости написания дополнительного кода.

При сочетании точечных операторов с числовыми литералами может возникать неоднозначность. Например, что означает 1.+x? Это может быть 1. + x или 1 .+ x. Поэтому такой синтаксис не разрешен; в таких случаях нужно ставить вокруг оператора пробелы.

Для всех примитивных числовых типов определены стандартные операции сравнения.

Вот несколько простых примеров.

Целые числа сравниваются стандартно, через сравнение битов. Числа с плавающей запятой сравниваются согласно стандарту IEEE 754:

Последний пункт может быть неожиданным, поэтому имеет смысл отметить следующее.

Он также может создавать проблемы при работе с массивами.

В Julia доступны дополнительные функции для проверки особых значений чисел, которые могут быть полезны, например, при сравнении хеш-ключа.

isequal расценивает значения NaN как равные друг другу:

isequal также позволяет различать нули со знаком.

Сравнение значений разного типа, когда сравниваются целые числа со знаком, без знака и числа с плавающей запятой, часто бывает сложным. Предприняты значительные усилия, чтобы в Julia они выполнялись корректно.

Для прочих типов isequal по умолчанию вызывает ==, поэтому, если вы хотите определить равенство для собственного типа, просто добавьте для него метод ==. Если вы определяете собственную функцию равенства, имеет смысл определить соответствующий метод hash, чтобы isequal(x,y) подразумевало hash(x) == hash(y).

В языке Julia применяется следующий порядок и ассоциативность операторов, от наибольшего приоритета к наименьшему.

Полный перечень приоритетов для каждого оператора Julia см. в верхней части файла src/julia-parser.scm. Учтите, что некоторые из этих операторов не определены в модуле Base, но могут иметь определения в стандартных библиотеках, пакетах или пользовательском коде.

Вы также можете узнать числовое значение приоритета любого оператора с помощью встроенной функции Base.operator_precedence (чем больше число, тем выше приоритет).

Символьное представление ассоциативности оператора также можно получить, вызвав встроенную функцию Base.operator_associativity.

Примите во внимание, что такие символы, как :sin, возвращают приоритет 0. Это значение представляет недопустимые операторы, а не операторы с наименьшим приоритетом. Аналогичным образом, таким операторам назначается ассоциативность :none.

Числовые литеральные коэффициенты, например 2x, рассматриваются как умножение, выполняемое перед любыми другими двоичными операциями. Исключением является операция возведения в степень (^), при которой умножение будет выполняться в первую очередь, только если оно находится в показателе степени.

Их сочетание будет проанализировано как унарный оператор со стандартной асимметрией при возведении в степень: выражения -x^y и 2x^y анализируются как -(x^y) и 2(x^y) соответственно, тогда как x^-y и x^2y анализируются как x^(-y) и x^(2y).

Julia поддерживает три варианта преобразования типов чисел, которые отличаются тем, как они обрабатывают неточные преобразования.

Различные формы преобразования показаны в следующих примерах.

В разделе Преобразование и продвижение описано, как можно определять собственные преобразования и продвижение.