Linear Algebra

In addition to (and as part of) its support for multi-dimensional arrays, Julia provides native implementations of many common and useful linear algebra operations which can be loaded with using LinearAlgebra. Basic operations, such as tr, det, and inv are all supported:

julia> A = [1 2 3; 4 1 6; 7 8 1]
3×3 Matrix{Int64}:
 1  2  3
 4  1  6
 7  8  1

julia> tr(A)
3

julia> det(A)
104.0

julia> inv(A)
3×3 Matrix{Float64}:
 -0.451923   0.211538    0.0865385
  0.365385  -0.192308    0.0576923
  0.240385   0.0576923  -0.0673077

As well as other useful operations, such as finding eigenvalues or eigenvectors:

julia> A = [-4. -17.; 2. 2.]
2×2 Matrix{Float64}:
 -4.0  -17.0
  2.0    2.0

julia> eigvals(A)
2-element Vector{ComplexF64}:
 -1.0 - 5.0im
 -1.0 + 5.0im

julia> eigvecs(A)
2×2 Matrix{ComplexF64}:
  0.945905-0.0im        0.945905+0.0im
 -0.166924+0.278207im  -0.166924-0.278207im

In addition, Julia provides many factorizations which can be used to speed up problems such as linear solve or matrix exponentiation by pre-factorizing a matrix into a form more amenable (for performance or memory reasons) to the problem. See the documentation on factorize for more information. As an example:

julia> A = [1.5 2 -4; 3 -1 -6; -10 2.3 4]
3×3 Matrix{Float64}:
   1.5   2.0  -4.0
   3.0  -1.0  -6.0
 -10.0   2.3   4.0

julia> factorize(A)
LU{Float64, Matrix{Float64}, Vector{Int64}}
L factor:
3×3 Matrix{Float64}:
  1.0    0.0       0.0
 -0.15   1.0       0.0
 -0.3   -0.132196  1.0
U factor:
3×3 Matrix{Float64}:
 -10.0  2.3     4.0
   0.0  2.345  -3.4
   0.0  0.0    -5.24947

Since A is not Hermitian, symmetric, triangular, tridiagonal, or bidiagonal, an LU factorization may be the best we can do. Compare with:

julia> B = [1.5 2 -4; 2 -1 -3; -4 -3 5]
3×3 Matrix{Float64}:
  1.5   2.0  -4.0
  2.0  -1.0  -3.0
 -4.0  -3.0   5.0

julia> factorize(B)
BunchKaufman{Float64, Matrix{Float64}, Vector{Int64}}
D factor:
3×3 Tridiagonal{Float64, Vector{Float64}}:
 -1.64286   0.0   ⋅
  0.0      -2.8  0.0
   ⋅        0.0  5.0
U factor:
3×3 UnitUpperTriangular{Float64, Matrix{Float64}}:
 1.0  0.142857  -0.8
  ⋅   1.0       -0.6
  ⋅    ⋅         1.0
permutation:
3-element Vector{Int64}:
 1
 2
 3

Here, Julia was able to detect that B is in fact symmetric, and used a more appropriate factorization. Often it’s possible to write more efficient code for a matrix that is known to have certain properties e.g. it is symmetric, or tridiagonal. Julia provides some special types so that you can "tag" matrices as having these properties. For instance:

julia> B = [1.5 2 -4; 2 -1 -3; -4 -3 5]
3×3 Matrix{Float64}:
  1.5   2.0  -4.0
  2.0  -1.0  -3.0
 -4.0  -3.0   5.0

julia> sB = Symmetric(B)
3×3 Symmetric{Float64, Matrix{Float64}}:
  1.5   2.0  -4.0
  2.0  -1.0  -3.0
 -4.0  -3.0   5.0

sB has been tagged as a matrix that’s (real) symmetric, so for later operations we might perform on it, such as eigenfactorization or computing matrix-vector products, efficiencies can be found by only referencing half of it. For example:

julia> B = [1.5 2 -4; 2 -1 -3; -4 -3 5]
3×3 Matrix{Float64}:
  1.5   2.0  -4.0
  2.0  -1.0  -3.0
 -4.0  -3.0   5.0

julia> sB = Symmetric(B)
3×3 Symmetric{Float64, Matrix{Float64}}:
  1.5   2.0  -4.0
  2.0  -1.0  -3.0
 -4.0  -3.0   5.0

julia> x = [1; 2; 3]
3-element Vector{Int64}:
 1
 2
 3

julia> sB\x
3-element Vector{Float64}:
 -1.7391304347826084
 -1.1086956521739126
 -1.4565217391304346

The \ operation here performs the linear solution. The left-division operator is pretty powerful and it’s easy to write compact, readable code that is flexible enough to solve all sorts of systems of linear equations.

Special matrices

Matrices with special symmetries and structures arise often in linear algebra and are frequently associated with various matrix factorizations. Julia features a rich collection of special matrix types, which allow for fast computation with specialized routines that are specially developed for particular matrix types.

The following tables summarize the types of special matrices that have been implemented in Julia, as well as whether hooks to various optimized methods for them in LAPACK are available.

Type Description

Type	Description
`Symmetric`	Symmetric matrix
`Hermitian`	Hermitian matrix
`UpperTriangular`	Upper triangular matrix
`UnitUpperTriangular`	Upper triangular matrix with unit diagonal
`LowerTriangular`	Lower triangular matrix
`UnitLowerTriangular`	Lower triangular matrix with unit diagonal
`UpperHessenberg`	Upper Hessenberg matrix
`Tridiagonal`	Tridiagonal matrix
`SymTridiagonal`	Symmetric tridiagonal matrix
`Bidiagonal`	Upper/lower bidiagonal matrix
`Diagonal`	Diagonal matrix
`UniformScaling`	Uniform scaling operator

Upper triangular matrix

UnitUpperTriangular

Upper triangular matrix with unit diagonal

LowerTriangular

Lower triangular matrix

UnitLowerTriangular

Lower triangular matrix with unit diagonal

UpperHessenberg

Upper Hessenberg matrix

Tridiagonal

Tridiagonal matrix

SymTridiagonal

Symmetric tridiagonal matrix

Bidiagonal

Upper/lower bidiagonal matrix

Diagonal

Diagonal matrix

UniformScaling

Uniform scaling operator

Elementary operations

Matrix type + - * \ Other functions with optimized methods

Matrix type	`+`	`-`	`*`	`\`	Other functions with optimized methods
`Symmetric`				MV	`inv`, `sqrt`, `cbrt`, `exp`
`Hermitian`				MV	`inv`, `sqrt`, `cbrt`, `exp`
`UpperTriangular`			MV	MV	`inv`, `det`, `logdet`
`UnitUpperTriangular`			MV	MV	`inv`, `det`, `logdet`
`LowerTriangular`			MV	MV	`inv`, `det`, `logdet`
`UnitLowerTriangular`			MV	MV	`inv`, `det`, `logdet`
`UpperHessenberg`				MM	`inv`, `det`
`SymTridiagonal`	M	M	MS	MV	`eigmax`, `eigmin`
`Tridiagonal`	M	M	MS	MV
`Bidiagonal`	M	M	MS	MV
`Diagonal`	M	M	MV	MV	`inv`, `det`, `logdet`, `/`
`UniformScaling`	M	M	MVS	MVS	`/`

Symmetric

inv, sqrt, cbrt, exp

Hermitian

inv, sqrt, cbrt, exp

UpperTriangular

inv, det, logdet

UnitUpperTriangular

inv, det, logdet

LowerTriangular

inv, det, logdet

UnitLowerTriangular

inv, det, logdet

inv, det, logdet, /

UniformScaling

MVS

/

Legend:

Key	Description
M (matrix)	An optimized method for matrix-matrix operations is available
V (vector)	An optimized method for matrix-vector operations is available
S (scalar)	An optimized method for matrix-scalar operations is available

Key

Description

M (matrix)

An optimized method for matrix-matrix operations is available

V (vector)

An optimized method for matrix-vector operations is available

S (scalar)

An optimized method for matrix-scalar operations is available

Matrix factorizations

Matrix type LAPACK eigen eigvals eigvecs svd svdvals

Matrix type	LAPACK	`eigen`	`eigvals`	`eigvecs`	`svd`	`svdvals`
`Symmetric`	SY		ARI
`Hermitian`	HE		ARI
`UpperTriangular`	TR	A	A	A
`UnitUpperTriangular`	TR	A	A	A
`LowerTriangular`	TR	A	A	A
`UnitLowerTriangular`	TR	A	A	A
`SymTridiagonal`	ST	A	ARI	AV
`Tridiagonal`	GT
`Bidiagonal`	BD				A	A
`Diagonal`	DI		A

Symmetric

ARI

Hermitian

ARI

UpperTriangular

UnitUpperTriangular

LowerTriangular

UnitLowerTriangular

ARI

Legend:

Key Description Example

Key	Description	Example
A (all)	An optimized method to find all the characteristic values and/or vectors is available	e.g. `eigvals(M)`
R (range)	An optimized method to find the `il`th through the `ih`th characteristic values are available	`eigvals(M, il, ih)`
I (interval)	An optimized method to find the characteristic values in the interval [`vl`, `vh`] is available	`eigvals(M, vl, vh)`
V (vectors)	An optimized method to find the characteristic vectors corresponding to the characteristic values `x=[x1, x2,...]` is available	`eigvecs(M, x)`

A (all)

An optimized method to find all the characteristic values and/or vectors is available

e.g. eigvals(M)

R (range)

An optimized method to find the ilth through the ihth characteristic values are available

eigvals(M, il, ih)

I (interval)

An optimized method to find the characteristic values in the interval [vl, vh] is available

eigvals(M, vl, vh)

V (vectors)

An optimized method to find the characteristic vectors corresponding to the characteristic values x=[x1, x2,...] is available

eigvecs(M, x)

The uniform scaling operator

A UniformScaling operator represents a scalar times the identity operator, λ*I. The identity operator I is defined as a constant and is an instance of UniformScaling. The size of these operators are generic and match the other matrix in the binary operations +, -, * and \. For A+I and A-I this means that A must be square. Multiplication with the identity operator I is a noop (except for checking that the scaling factor is one) and therefore almost without overhead.

To see the UniformScaling operator in action:

julia> U = UniformScaling(2);

julia> a = [1 2; 3 4]
2×2 Matrix{Int64}:
 1  2
 3  4

julia> a + U
2×2 Matrix{Int64}:
 3  2
 3  6

julia> a * U
2×2 Matrix{Int64}:
 2  4
 6  8

julia> [a U]
2×4 Matrix{Int64}:
 1  2  2  0
 3  4  0  2

julia> b = [1 2 3; 4 5 6]
2×3 Matrix{Int64}:
 1  2  3
 4  5  6

julia> b - U
ERROR: DimensionMismatch: matrix is not square: dimensions are (2, 3)
Stacktrace:
[...]

If you need to solve many systems of the form (A+μI)x = b for the same A and different μ, it might be beneficial to first compute the Hessenberg factorization F of A via the hessenberg function. Given F, Julia employs an efficient algorithm for (F+μ*I) \ b (equivalent to (A+μ*I)x \ b) and related operations like determinants.

Matrix factorizations

Matrix factorizations (a.k.a. matrix decompositions) compute the factorization of a matrix into a product of matrices, and are one of the central concepts in (numerical) linear algebra.

The following table summarizes the types of matrix factorizations that have been implemented in Julia. Details of their associated methods can be found in the Standard functions section of the Linear Algebra documentation.

Type Description

Type	Description
`BunchKaufman`	Bunch-Kaufman factorization
`Cholesky`	Cholesky factorization
`CholeskyPivoted`	Pivoted Cholesky factorization
`LDLt`	LDL(T) factorization
`LU`	LU factorization
`QR`	QR factorization
`QRCompactWY`	Compact WY form of the QR factorization
`QRPivoted`	Pivoted QR factorization
`LQ`	QR factorization of `transpose(A)`
`Hessenberg`	Hessenberg decomposition
`Eigen`	Spectral decomposition
`GeneralizedEigen`	Generalized spectral decomposition
`SVD`	Singular value decomposition
`GeneralizedSVD`	Generalized SVD
`Schur`	Schur decomposition
`GeneralizedSchur`	Generalized Schur decomposition

BunchKaufman

Bunch-Kaufman factorization

Cholesky

Cholesky factorization

CholeskyPivoted

Pivoted Cholesky factorization

LDLt

LDL(T) factorization

LU

LU factorization

QR

QR factorization

QRCompactWY

Compact WY form of the QR factorization

QRPivoted

Pivoted QR factorization

LQ

QR factorization of transpose(A)

Hessenberg

Hessenberg decomposition

Eigen

Spectral decomposition

GeneralizedEigen

Generalized spectral decomposition

SVD

Singular value decomposition

GeneralizedSVD

Generalized SVD

Schur

Schur decomposition

GeneralizedSchur

Generalized Schur decomposition

Adjoints and transposes of Factorization objects are lazily wrapped in AdjointFactorization and TransposeFactorization objects, respectively. Generically, transpose of real Factorizations are wrapped as AdjointFactorization.

Orthogonal matrices (`AbstractQ`)

Some matrix factorizations generate orthogonal/unitary "matrix" factors. These factorizations include QR-related factorizations obtained from calls to qr, i.e., QR, QRCompactWY and QRPivoted, the Hessenberg factorization obtained from calls to hessenberg, and the LQ factorization obtained from lq. While these orthogonal/unitary factors admit a matrix representation, their internal representation is, for performance and memory reasons, different. Hence, they should be rather viewed as matrix-backed, function-based linear operators. In particular, reading, for instance, a column of its matrix representation requires running "matrix"-vector multiplication code, rather than simply reading out data from memory (possibly filling parts of the vector with structural zeros). Another clear distinction from other, non-triangular matrix types is that the underlying multiplication code allows for in-place modification during multiplication. Furthermore, objects of specific AbstractQ subtypes as those created via qr, hessenberg and lq can behave like a square or a rectangular matrix depending on context:

julia> using LinearAlgebra

julia> Q = qr(rand(3,2)).Q
3×3 LinearAlgebra.QRCompactWYQ{Float64, Matrix{Float64}, Matrix{Float64}}

julia> Matrix(Q)
3×2 Matrix{Float64}:
 -0.320597   0.865734
 -0.765834  -0.475694
 -0.557419   0.155628

julia> Q*I
3×3 Matrix{Float64}:
 -0.320597   0.865734  -0.384346
 -0.765834  -0.475694  -0.432683
 -0.557419   0.155628   0.815514

julia> Q*ones(2)
3-element Vector{Float64}:
  0.5451367118802273
 -1.241527373086654
 -0.40179067589600226

julia> Q*ones(3)
3-element Vector{Float64}:
  0.16079054743832022
 -1.674209978965636
  0.41372375588835797

julia> ones(1,2) * Q'
1×3 Matrix{Float64}:
 0.545137  -1.24153  -0.401791

julia> ones(1,3) * Q'
1×3 Matrix{Float64}:
 0.160791  -1.67421  0.413724

Due to this distinction from dense or structured matrices, the abstract AbstractQ type does not subtype AbstractMatrix, but instead has its own type hierarchy. Custom types that subtype AbstractQ can rely on generic fallbacks if the following interface is satisfied. For example, for

struct MyQ{T} <: LinearAlgebra.AbstractQ{T}
    # required fields
end

provide overloads for

Base.size(Q::MyQ) # size of corresponding square matrix representation
Base.convert(::Type{AbstractQ{T}}, Q::MyQ) # eltype promotion [optional]
LinearAlgebra.lmul!(Q::MyQ, x::AbstractVecOrMat) # left-multiplication
LinearAlgebra.rmul!(A::AbstractMatrix, Q::MyQ) # right-multiplication

If eltype promotion is not of interest, the convert method is unnecessary, since by default convert(::Type{AbstractQ{T}}, Q::AbstractQ{T}) returns Q itself. Adjoints of AbstractQ-typed objects are lazily wrapped in an AdjointQ wrapper type, which requires its own LinearAlgebra.lmul! and LinearAlgebra.rmul! methods. Given this set of methods, any Q::MyQ can be used like a matrix, preferably in a multiplicative context: multiplication via * with scalars, vectors and matrices from left and right, obtaining a matrix representation of Q via Matrix(Q) (or Q*I) and indexing into the matrix representation all work. In contrast, addition and subtraction as well as more generally broadcasting over elements in the matrix representation fail because that would be highly inefficient. For such use cases, consider computing the matrix representation up front and cache it for future reuse.

Pivoting Strategies

Several of Julia’s matrix factorizations support pivoting, which can be used to improve their numerical stability. In fact, some matrix factorizations, such as the LU factorization, may fail without pivoting.

In pivoting, first, a pivot element with good numerical properties is chosen based on a pivoting strategy. Next, the rows and columns of the original matrix are permuted to bring the chosen element in place for subsequent computation. Furthermore, the process is repeated for each stage of the factorization.

Consequently, besides the conventional matrix factors, the outputs of pivoted factorization schemes also include permutation matrices.

In the following, the pivoting strategies implemented in Julia are briefly described. Note that not all matrix factorizations may support them. Consult the documentation of the respective matrix factorization for details on the supported pivoting strategies.

# LinearAlgebra.NoPivot — Type

NoPivot

Выбор главного элемента не выполняется. Разложения матриц, такие как LU-разложение, могут не работать без выбора главного элемента, а также могут быть численно неустойчивыми для матриц с плавающей запятой из-за ошибок округления. Такая стратегия выбора главного элемента полезна в основном в учебных целях.

# LinearAlgebra.RowNonZero — Type

RowNonZero

В качестве главного элемента выбирается первый ненулевой элемент в оставшихся строках.

Учтите, что для матриц с плавающей запятой итоговый алгоритм LU численно неустойчивый — эта стратегия полезна в основном для сравнения с вычислениями вручную (в которых она обычно применяется) или для других алгебраических типов (например, рациональных чисел), не подверженных ошибкам округления. В других случаях при использовании гауссова исключения следует предпочесть стратегию выбора главного элемента по умолчанию RowMaximum.

Обратите внимание, что тип элементов матрицы должен допускать метод iszero.

# LinearAlgebra.RowMaximum — Type

RowMaximum

В качестве главного элемента выбирается элемент максимальной величины в оставшихся строках. Это стратегия по умолчанию для LU-разложения матриц с плавающей запятой. Иногда ее называют алгоритмом «частичного выбора главного элемента».

Обратите внимание, что тип элементов матрицы должен допускать метод abs, тип результата которого должен поддерживать метод <.

# LinearAlgebra.ColumnNorm — Type

ColumnNorm

Для последующих вычислений используется столбец с максимальной нормой. Применяется для QR-разложения.

Обратите внимание, что тип элементов матрицы должен допускать методы norm и abs, типы результатов которых должны поддерживать метод <.

Standard functions

Linear algebra functions in Julia are largely implemented by calling functions from LAPACK. Sparse matrix factorizations call functions from SuiteSparse. Other sparse solvers are available as Julia packages.

# Base.:* — Method

*(A::AbstractMatrix, B::AbstractMatrix)

Умножение матриц.

Примеры

julia> [1 1; 0 1] * [1 0; 1 1]
2×2 Matrix{Int64}:
 2  1
 1  1

# Base.:* — Method

*(A, B::AbstractMatrix, C)
A * B * C * D

Последовательное умножение 3 или 4 матриц выполняется в наиболее эффективном порядке, исходя из размеров массивов. То есть количество скалярных умножений, необходимых для (A * B) * C (с тремя плотными матрицами), сравнивается с количеством для A * (B * C) для выбора оптимального варианта.

Если последний множитель является вектором или первый — транспонированным вектором, то эффективнее сначала обработать их. В частности, x' * B * y означает (x' * B) * y для обычной хранящейся по столбцам матрицы B::Matrix. В отличие от dot(x, B, y), при этом выделяется память под промежуточный массив.

Если первый или последний множитель является числом, он будет объединен с матричным умножением с использованием метода mul! с 5 аргументами.

См. также описание muladd и dot.

Совместимость

Julia 1.7 Для этих оптимизаций требуется версия Julia не ниже 1.7.

# Base.:\ — Method

\(A, B)

Деление матриц с помощью полиалгоритма. Для входных матриц A и B результат X таков, что A*X == B, когда матрица A является квадратной. Используемый решатель зависит от структуры матрицы A. Если матрица A является верхне- или нижнетреугольной (либо диагональной), разложение A не требуется и система решается прямой или обратной подстановкой. Для нетреугольных квадратных матриц используется LU-разложение.

Для прямоугольной матрицы A результатом является решение по методу наименьших норм или квадратов, вычисленное с помощью QR-разложения матрицы A, и оценка ранга матрицы A на основе коэффициента R.

Если матрица A разрежена, используется аналогичный полиалгоритм. Для неопределенных матриц LDLt-разложение не использует выбор главного элемента во время числового разложения, и поэтому процедура может завершиться неудачей даже для обратимых матриц.

См. также описание factorize, pinv.

Примеры

julia> A = [1 0; 1 -2]; B = [32; -4];

julia> X = A \ B
2-element Vector{Float64}:
 32.0
 18.0

julia> A * X == B
true

# Base.:/ — Method

A / B

Правое деление матриц: выражение A / B эквивалентно (B' \ A')', где \ — оператор левого деления. Для квадратных матриц результат X будет таким, что A == X*B.

См. также описание rdiv!.

Примеры

julia> A = Float64[1 4 5; 3 9 2]; B = Float64[1 4 2; 3 4 2; 8 7 1];

julia> X = A / B
2×3 Matrix{Float64}:
 -0.65   3.75  -1.2
  3.25  -2.75   1.0

julia> isapprox(A, X*B)
true

julia> isapprox(X, A*pinv(B))
true

# LinearAlgebra.SingularException — Type

SingularException

Исключение, которое возникает, когда входная матрица имеет одно или несколько нулевых собственных значений и не является инвертируемой. Линейное решение с такой матрицей не может быть вычислено. Поле info указывает на расположение сингулярного значения (или одного из них).

# LinearAlgebra.PosDefException — Type

PosDefException

Исключение, которое возникает, когда входная матрица не является положительно определенной. Некоторые функции и разложения линейной алгебры применимы только к положительно определенным матрицам. Поле info указывает на расположение собственного значения (или одного из них), которое меньше или равно 0.

# LinearAlgebra.ZeroPivotException — Type

ZeroPivotException <: Exception

Исключение, которое возникает, когда при разложении или решении матрицы встречается нуль в позиции главного элемента (диагонали) и операция не может быть продолжена. Это может не означать, что матрица сингулярна: может быть полезно переключиться на другое разложение, такое как LU с выбранным главным элементом, которое может переупорядочивать переменные для устранения ложных нулевых главных элементов. Поле info указывает на расположение нулевого главного элемента (или одного из них).

# LinearAlgebra.RankDeficientException — Type

RankDeficientException

Исключение, которое возникает, когда входная матрица имеет неполный ранг. Некоторые функции линейной алгебры, такие как разложение Холецкого, неприменимы к матрицам неполного ранга. Поле info указывает вычисленный ранг матрицы.

# LinearAlgebra.LAPACKException — Type

LAPACKException

Общее исключение LAPACK, возникающее либо во время прямых вызовов функций LAPACK, либо во время вызовов других функций, внутри которых используются функции LAPACK, но не предусмотрена специальная обработка ошибок. Поле info содержит дополнительную информацию о базовой ошибке и зависит от вызванной функции LAPACK.

# LinearAlgebra.dot — Function

dot(x, y)
x ⋅ y

Вычисляет точечное произведение двух векторов. Для комплексных векторов первый вектор является сопряженным.

Функция dot также работает с произвольными итерируемыми объектами, включая массивы любой размерности, при условии что функция dot определена для элементов.

Функция dot семантически эквивалентна sum(dot(vx,vy) for (vx,vy) in zip(x, y)), но имеет дополнительное ограничение, которое обязывает все аргументы иметь одинаковую длину.

x ⋅ y (где ⋅ можно вводить, используя автозавершение по клавише TAB для \cdot в REPL) является синонимом для dot(x, y).

Примеры

julia> dot([1; 1], [2; 3])
5

julia> dot([im; im], [1; 1])
0 - 2im

julia> dot(1:5, 2:6)
70

julia> x = fill(2., (5,5));

julia> y = fill(3., (5,5));

julia> dot(x, y)
150.0

# LinearAlgebra.dot — Method

dot(x, A, y)

Вычисляет обобщенное точечное произведение dot(x, A*y) двух векторов x и y без сохранения промежуточного результата A*y. Что касается функции dot(,) с двумя аргументами, она действует рекурсивно. Более того, для комплексных векторов первый вектор является сопряженным.

Совместимость

Julia 1.4 Для метода dot с тремя аргументами требуется версия Julia не ниже 1.4.

Примеры

julia> dot([1; 1], [1 2; 3 4], [2; 3])
26

julia> dot(1:5, reshape(1:25, 5, 5), 2:6)
4850

julia> ⋅(1:5, reshape(1:25, 5, 5), 2:6) == dot(1:5, reshape(1:25, 5, 5), 2:6)
true

# LinearAlgebra.cross — Function

cross(x, y)
×(x,y)

Вычисляет векторное произведение двух трехэлементных векторов.

Примеры

julia> a = [0;1;0]
3-element Vector{Int64}:
 0
 1
 0

julia> b = [0;0;1]
3-element Vector{Int64}:
 0
 0
 1

julia> cross(a,b)
3-element Vector{Int64}:
 1
 0
 0

# LinearAlgebra.axpy! — Function

axpy!(α, x::AbstractArray, y::AbstractArray)

Перезаписывает y результатом выражения x * α + y и возвращает y. Если у x и y имеют одинаковые оси, это равносильно выражению y .+= x .* a.

Примеры

julia> x = [1; 2; 3];

julia> y = [4; 5; 6];

julia> axpy!(2, x, y)
3-element Vector{Int64}:
  6
  9
 12

# LinearAlgebra.axpby! — Function

axpby!(α, x::AbstractArray, β, y::AbstractArray)

Перезаписывает y результатом выражения x * α + y * β и возвращает y. Если у x и y имеют одинаковые оси, это равносильно выражению y .= x .* a .+ y .* β.

Примеры

julia> x = [1; 2; 3];

julia> y = [4; 5; 6];

julia> axpby!(2, x, 2, y)
3-element Vector{Int64}:
 10
 14
 18

# LinearAlgebra.rotate! — Function

rotate!(x, y, c, s)

Перезаписывает x результатом выражения c*x + s*y, а y — результатом выражения -conj(s)*x + c*y. Возвращает x и y.

Совместимость

Julia 1.5 Для rotate! требуется версия Julia не ниже 1.5.

# LinearAlgebra.reflect! — Function

reflect!(x, y, c, s)

Перезаписывает x результатом выражения c*x + s*y, а y — результатом выражения conj(s)*x - c*y. Возвращает x и y.

Совместимость

Julia 1.5 Для reflect! требуется версия Julia не ниже 1.5.

# LinearAlgebra.factorize — Function

factorize(A)

Вычисляет оптимальное разложение матрицы A в зависимости от типа входной матрицы. Функция factorize проверяет матрицу A, чтобы определить, является ли она симметричной, треугольной и т. д., если матрица A передается как универсальная. Функция factorize проверяет каждый элемент матрицы A, чтобы проверить или исключить каждое свойство. Как только функция сможет исключить симметричную или треугольную структуру, она завершится. Возвращаемое значение можно использовать многократно для эффективного решения нескольких систем. Например: A=factorize(A); x=A\b; y=A\C.

Свойства A тип разложения

Свойства `A`	тип разложения
Положительно определенная	Разложение Холецкого (см. `cholesky`)
Плотная симметричная/эрмитова	Разложение Банча-Кауфмана (см. `bunchkaufman`)
Разреженная симметричная/эрмитова	LDLt-разложение (см. `ldlt`)
Треугольная	Треугольное разложение
Диагональная	Диагональное разложение
Двухдиагональная	Двухдиагональное разложение
Трехдиагональная	LU-разложение (см. `lu`)
Симметричная вещественная трехдиагональная	LDLt-разложение (см. `ldlt`)
Общая квадратная	LU-разложение (см. `lu`)
Общая неквадратная	QR-разложение (см. `qr`)

Положительно определенная

Разложение Холецкого (см. cholesky)

Плотная симметричная/эрмитова

Разложение Банча-Кауфмана (см. bunchkaufman)

Разреженная симметричная/эрмитова

LDLt-разложение (см. ldlt)

Треугольная

Треугольное разложение

Диагональная

Диагональное разложение

Двухдиагональная

Двухдиагональное разложение

Трехдиагональная

LU-разложение (см. lu)

Симметричная вещественная трехдиагональная

LDLt-разложение (см. ldlt)

Общая квадратная

LU-разложение (см. lu)

Общая неквадратная

QR-разложение (см. qr)

Если функция factorize вызывается, к примеру, для эрмитовой положительно определенной матрицы, функция factorize возвращает разложение Холецкого.

Примеры

julia> A = Array(Bidiagonal(fill(1.0, (5, 5)), :U))
5×5 Matrix{Float64}:
 1.0  1.0  0.0  0.0  0.0
 0.0  1.0  1.0  0.0  0.0
 0.0  0.0  1.0  1.0  0.0
 0.0  0.0  0.0  1.0  1.0
 0.0  0.0  0.0  0.0  1.0

julia> factorize(A) # Функция factorize проверит, разрежена ли уже матрица A
5×5 Bidiagonal{Float64, Vector{Float64}}:
 1.0  1.0   ⋅    ⋅    ⋅
  ⋅   1.0  1.0   ⋅    ⋅
  ⋅    ⋅   1.0  1.0   ⋅
  ⋅    ⋅    ⋅   1.0  1.0
  ⋅    ⋅    ⋅    ⋅   1.0

Будет возвращено 5×5 Bidiagonal{Float64}, которое можно передавать другим функциям линейной алгебры (например, собственным решателям), которые будут использовать специальные методы для типов Bidiagonal.

# LinearAlgebra.Diagonal — Type

Diagonal(V::AbstractVector)

Создает отложенную матрицу с V в качестве диагонали.

См. также описание типа UniformScaling для отложенной матрицы тождественности I, функции diagm для создания плотной матрицы и функции diag для извлечения диагональных элементов.

Примеры

julia> d = Diagonal([1, 10, 100])
3×3 Diagonal{Int64, Vector{Int64}}:
 1   ⋅    ⋅
 ⋅  10    ⋅
 ⋅   ⋅  100

julia> diagm([7, 13])
2×2 Matrix{Int64}:
 7   0
 0  13

julia> ans + I
2×2 Matrix{Int64}:
 8   0
 0  14

julia> I(2)
2×2 Diagonal{Bool, Vector{Bool}}:
 1  ⋅
 ⋅  1

Note Матрица из одного столбца не обрабатывается как вектор, а вместо этого вызывается метод Diagonal(A::AbstractMatrix), который извлекает одноэлементный diag(A):

julia> A = transpose([7.0 13.0])
2×1 transpose(::Matrix{Float64}) with eltype Float64:
  7.0
 13.0

julia> Diagonal(A)
1×1 Diagonal{Float64, Vector{Float64}}:
 7.0

Diagonal(A::AbstractMatrix)

Создает матрицу из главной диагонали матрицы A. Входная матрица A может быть прямоугольной, но выходная будет квадратной.

Примеры

julia> A = [1 2; 3 4]
2×2 Matrix{Int64}:
 1  2
 3  4

julia> D = Diagonal(A)
2×2 Diagonal{Int64, Vector{Int64}}:
 1  ⋅
 ⋅  4

julia> A = [1 2 3; 4 5 6]
2×3 Matrix{Int64}:
 1  2  3
 4  5  6

julia> Diagonal(A)
2×2 Diagonal{Int64, Vector{Int64}}:
 1  ⋅
 ⋅  5

Diagonal{T}(undef, n)

Создает неинициализированный вектор Diagonal{T} длиной n. См. описание undef.

# LinearAlgebra.Bidiagonal — Type

Bidiagonal(dv::V, ev::V, uplo::Symbol) where V <: AbstractVector

Создает верхнюю (uplo=:U) или нижнюю (uplo=:L) двухдиагональную матрицу с использованием заданных диагональных (dv) и внедиагональных (ev) векторов. Результат имеет тип Bidiagonal и предоставляет эффективные специализированные линейные решатели, но может быть преобразован в обычную матрицу с помощью convert(Array, ) (или Array() для краткости). Длина ev должна быть меньше длины dv на единицу.

Примеры

julia> dv = [1, 2, 3, 4]
4-element Vector{Int64}:
 1
 2
 3
 4

julia> ev = [7, 8, 9]
3-element Vector{Int64}:
 7
 8
 9

julia> Bu = Bidiagonal(dv, ev, :U) # ev находится на первой наддиагонали
4×4 Bidiagonal{Int64, Vector{Int64}}:
 1  7  ⋅  ⋅
 ⋅  2  8  ⋅
 ⋅  ⋅  3  9
 ⋅  ⋅  ⋅  4

julia> Bl = Bidiagonal(dv, ev, :L) # ev находится на первой поддиагонали
4×4 Bidiagonal{Int64, Vector{Int64}}:
 1  ⋅  ⋅  ⋅
 7  2  ⋅  ⋅
 ⋅  8  3  ⋅
 ⋅  ⋅  9  4

Bidiagonal(A, uplo::Symbol)

Создает матрицу Bidiagonal из главной диагонали матрицы A и ее первой над- (если uplo=:U) или поддиагонали (если uplo=:L).

Примеры

julia> A = [1 1 1 1; 2 2 2 2; 3 3 3 3; 4 4 4 4]
4×4 Matrix{Int64}:
 1  1  1  1
 2  2  2  2
 3  3  3  3
 4  4  4  4

julia> Bidiagonal(A, :U) # содержит главную диагональ и первую наддиагональ матрицы A
4×4 Bidiagonal{Int64, Vector{Int64}}:
 1  1  ⋅  ⋅
 ⋅  2  2  ⋅
 ⋅  ⋅  3  3
 ⋅  ⋅  ⋅  4

julia> Bidiagonal(A, :L) # содержит главную диагональ и первую поддиагональ матрицы A
4×4 Bidiagonal{Int64, Vector{Int64}}:
 1  ⋅  ⋅  ⋅
 2  2  ⋅  ⋅
 ⋅  3  3  ⋅
 ⋅  ⋅  4  4

# LinearAlgebra.SymTridiagonal — Type

SymTridiagonal(dv::V, ev::V) where V <: AbstractVector

Создает симметричную трехдиагональную матрицу из диагонали матрицы (dv) и первой над- или поддиагонали (ev) соответственно. Результат имеет тип SymTridiagonal и предоставляет эффективные специализированные собственные решатели, но может быть преобразован в обычную матрицу с помощью convert(Array, ) (или Array() для краткости).

Для блочных матриц SymTridiagonal элементы dv симметризируются. Аргумент ev интерпретируется как наддиагональ. Блоки из поддиагонали являются (материализованным) транспонированием соответствующих блоков наддиагонали.

Примеры

julia> dv = [1, 2, 3, 4]
4-element Vector{Int64}:
 1
 2
 3
 4

julia> ev = [7, 8, 9]
3-element Vector{Int64}:
 7
 8
 9

julia> SymTridiagonal(dv, ev)
4×4 SymTridiagonal{Int64, Vector{Int64}}:
 1  7  ⋅  ⋅
 7  2  8  ⋅
 ⋅  8  3  9
 ⋅  ⋅  9  4

julia> A = SymTridiagonal(fill([1 2; 3 4], 3), fill([1 2; 3 4], 2));

julia> A[1,1]
2×2 Symmetric{Int64, Matrix{Int64}}:
 1  2
 2  4

julia> A[1,2]
2×2 Matrix{Int64}:
 1  2
 3  4

julia> A[2,1]
2×2 Matrix{Int64}:
 1  3
 2  4

SymTridiagonal(A::AbstractMatrix)

Создает симметричную трехдиагональную матрицу из диагонали и первой наддиагонали симметричной матрицы A.

Примеры

julia> A = [1 2 3; 2 4 5; 3 5 6]
3×3 Matrix{Int64}:
 1  2  3
 2  4  5
 3  5  6

julia> SymTridiagonal(A)
3×3 SymTridiagonal{Int64, Vector{Int64}}:
 1  2  ⋅
 2  4  5
 ⋅  5  6

julia> B = reshape([[1 2; 2 3], [1 2; 3 4], [1 3; 2 4], [1 2; 2 3]], 2, 2);

julia> SymTridiagonal(B)
2×2 SymTridiagonal{Matrix{Int64}, Vector{Matrix{Int64}}}:
 [1 2; 2 3]  [1 3; 2 4]
 [1 2; 3 4]  [1 2; 2 3]

# LinearAlgebra.Tridiagonal — Type

Tridiagonal(dl::V, d::V, du::V) where V <: AbstractVector

Создает симметричную трехдиагональную матрицу из первой поддиагонали, диагонали и первой наддиагонали соответственно. Результат имеет тип Tridiagonal и предоставляет эффективные специализированные линейные решатели, но может быть преобразован в обычную матрицу с помощью convert(Array, ) (или Array() для краткости). Длина dl и du должна быть меньше длины d на единицу.

Note Поддиагональ dl и наддиагональ du не должны быть псевдонимами друг для друга. Если обнаружены псевдонимы, конструктор будет использовать копию du в качестве аргумента.

Примеры

julia> dl = [1, 2, 3];

julia> du = [4, 5, 6];

julia> d = [7, 8, 9, 0];

julia> Tridiagonal(dl, d, du)
4×4 Tridiagonal{Int64, Vector{Int64}}:
 7  4  ⋅  ⋅
 1  8  5  ⋅
 ⋅  2  9  6
 ⋅  ⋅  3  0

Tridiagonal(A)

Создает трехдиагональную матрицу из первой поддиагонали, диагонали и первой наддиагонали матрицы A.

Примеры

julia> A = [1 2 3 4; 1 2 3 4; 1 2 3 4; 1 2 3 4]
4×4 Matrix{Int64}:
 1  2  3  4
 1  2  3  4
 1  2  3  4
 1  2  3  4

julia> Tridiagonal(A)
4×4 Tridiagonal{Int64, Vector{Int64}}:
 1  2  ⋅  ⋅
 1  2  3  ⋅
 ⋅  2  3  4
 ⋅  ⋅  3  4

# LinearAlgebra.Symmetric — Type

Symmetric(A::AbstractMatrix, uplo::Symbol=:U)

Создает представление Symmetric верхнего (если uplo = :U) или нижнего (если uplo = :L) треугольника матрицы A.

Представления Symmetric в основном полезны для вещественно-симметричных матриц, для которых доступны специализированные алгоритмы (например, для задач на собственные значения) для типов Symmetric. См. также описание типа Hermitian(A) для эрмитовых матриц A == A', который фактически эквивалентен Symmetric для вещественных матриц, но также полезен для комплексных матриц. (Комплексные матрицы Symmetric поддерживаются, но для них существует мало специализированных алгоритмов, если они вообще есть.)

Чтобы вычислить симметричную часть вещественной матрицы или, в более общем случае, эрмитову часть (A + A') / 2 вещественной или комплексной матрицы A, используйте hermitianpart.

Примеры

julia> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
3×3 Matrix{Int64}:
 1  2  3
 4  5  6
 7  8  9

julia> Supper = Symmetric(A)
3×3 Symmetric{Int64, Matrix{Int64}}:
 1  2  3
 2  5  6
 3  6  9

julia> Slower = Symmetric(A, :L)
3×3 Symmetric{Int64, Matrix{Int64}}:
 1  4  7
 4  5  8
 7  8  9

julia> hermitianpart(A)
3×3 Hermitian{Float64, Matrix{Float64}}:
 1.0  3.0  5.0
 3.0  5.0  7.0
 5.0  7.0  9.0

Обратите внимание, что Supper не будет равен Slower, если матрица A сама по себе не является симметричной (например, если A == transpose(A)).

# LinearAlgebra.Hermitian — Type

Hermitian(A::AbstractMatrix, uplo::Symbol=:U)

Создает представление Hermitian верхнего (если uplo = :U) или нижнего (если uplo = :L) треугольника матрицы A.

Для вычисления эрмитовой части A используйте hermitianpart.

Примеры

julia> A = [1 2+2im 3-3im; 4 5 6-6im; 7 8+8im 9]
3×3 Matrix{Complex{Int64}}:
 1+0im  2+2im  3-3im
 4+0im  5+0im  6-6im
 7+0im  8+8im  9+0im

julia> Hupper = Hermitian(A)
3×3 Hermitian{Complex{Int64}, Matrix{Complex{Int64}}}:
 1+0im  2+2im  3-3im
 2-2im  5+0im  6-6im
 3+3im  6+6im  9+0im

julia> Hlower = Hermitian(A, :L)
3×3 Hermitian{Complex{Int64}, Matrix{Complex{Int64}}}:
 1+0im  4+0im  7+0im
 4+0im  5+0im  8-8im
 7+0im  8+8im  9+0im

julia> hermitianpart(A)
3×3 Hermitian{ComplexF64, Matrix{ComplexF64}}:
 1.0+0.0im  3.0+1.0im  5.0-1.5im
 3.0-1.0im  5.0+0.0im  7.0-7.0im
 5.0+1.5im  7.0+7.0im  9.0+0.0im

Обратите внимание, что Hupper не будет равен Hlower, если матрица A сама по себе не является эрмитовой (например, если A == adjoint(A)).

Все невещественные части диагонали будут игнорироваться.

Hermitian(fill(complex(1,1), 1, 1)) == fill(1, 1, 1)

# LinearAlgebra.LowerTriangular — Type

LowerTriangular(A::AbstractMatrix)

Создает представление LowerTriangular матрицы A.

Примеры

julia> A = [1.0 2.0 3.0; 4.0 5.0 6.0; 7.0 8.0 9.0]
3×3 Matrix{Float64}:
 1.0  2.0  3.0
 4.0  5.0  6.0
 7.0  8.0  9.0

julia> LowerTriangular(A)
3×3 LowerTriangular{Float64, Matrix{Float64}}:
 1.0   ⋅    ⋅
 4.0  5.0   ⋅
 7.0  8.0  9.0

# LinearAlgebra.UpperTriangular — Type

UpperTriangular(A::AbstractMatrix)

Создает представление UpperTriangular матрицы A.

Примеры

julia> A = [1.0 2.0 3.0; 4.0 5.0 6.0; 7.0 8.0 9.0]
3×3 Matrix{Float64}:
 1.0  2.0  3.0
 4.0  5.0  6.0
 7.0  8.0  9.0

julia> UpperTriangular(A)
3×3 UpperTriangular{Float64, Matrix{Float64}}:
 1.0  2.0  3.0
  ⋅   5.0  6.0
  ⋅    ⋅   9.0

# LinearAlgebra.UnitLowerTriangular — Type

UnitLowerTriangular(A::AbstractMatrix)

Создает представление UnitLowerTriangular матрицы A. В таком представлении oneunit типа eltype матрицы A находится на ее диагонали.

Примеры

julia> A = [1.0 2.0 3.0; 4.0 5.0 6.0; 7.0 8.0 9.0]
3×3 Matrix{Float64}:
 1.0  2.0  3.0
 4.0  5.0  6.0
 7.0  8.0  9.0

julia> UnitLowerTriangular(A)
3×3 UnitLowerTriangular{Float64, Matrix{Float64}}:
 1.0   ⋅    ⋅
 4.0  1.0   ⋅
 7.0  8.0  1.0

# LinearAlgebra.UnitUpperTriangular — Type

UnitUpperTriangular(A::AbstractMatrix)

Создает представление UnitUpperTriangular матрицы A. В таком представлении oneunit типа eltype матрицы A находится на ее диагонали.

Примеры

julia> A = [1.0 2.0 3.0; 4.0 5.0 6.0; 7.0 8.0 9.0]
3×3 Matrix{Float64}:
 1.0  2.0  3.0
 4.0  5.0  6.0
 7.0  8.0  9.0

julia> UnitUpperTriangular(A)
3×3 UnitUpperTriangular{Float64, Matrix{Float64}}:
 1.0  2.0  3.0
  ⋅   1.0  6.0
  ⋅    ⋅   1.0

# LinearAlgebra.UpperHessenberg — Type

UpperHessenberg(A::AbstractMatrix)

Создает представление UpperHessenberg матрицы A. Элементы матрицы A ниже первой поддиагонали игнорируются.

Совместимость

Julia 1.3 Этот тип был добавлен в Julia 1.3.

Для H \ b, det(H) и подобного реализованы эффективные алгоритмы.

См. также описание функции hessenberg для разложения любой матрицы в аналогичную верхнюю матрицу Хессенберга.

Если F::Hessenberg является объектом разложения, доступ к унитарной матрице можно получить с помощью F.Q, а к матрице Хессенберга — с помощью F.H. При извлечении Q результирующим типом является объект HessenbergQ, но он может быть преобразован в обычную матрицу с помощью convert(Array, ) (или Array() для краткости).

При итерации по разложению создаются множители F.Q и F.H.

Примеры

julia> A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12; 13 14 15 16]
4×4 Matrix{Int64}:
  1   2   3   4
  5   6   7   8
  9  10  11  12
 13  14  15  16

julia> UpperHessenberg(A)
4×4 UpperHessenberg{Int64, Matrix{Int64}}:
 1   2   3   4
 5   6   7   8
 ⋅  10  11  12
 ⋅   ⋅  15  16

# LinearAlgebra.UniformScaling — Type

UniformScaling{T<:Number}

Обобщенный по размеру оператор пропорционального масштабирования, определяемый как скаляр, умноженный на оператор тождественности λ*I. Несмотря на то, что он не имеет явного размера (size), во многих случаях он действует аналогично матрице и включает поддержку определенного индексирования. См. также описание I.

Совместимость

Julia 1.6 Индексирование с использованием диапазонов впервые реализовано в Julia 1.6.

Примеры

julia> J = UniformScaling(2.)
UniformScaling{Float64}
2.0*I

julia> A = [1. 2.; 3. 4.]
2×2 Matrix{Float64}:
 1.0  2.0
 3.0  4.0

julia> J*A
2×2 Matrix{Float64}:
 2.0  4.0
 6.0  8.0

julia> J[1:2, 1:2]
2×2 Matrix{Float64}:
 2.0  0.0
 0.0  2.0

# LinearAlgebra.I — Constant

Объект типа UniformScaling, представляющий матрицу тождественности любого размера.

Примеры

julia> fill(1, (5,6)) * I == fill(1, (5,6))
true

julia> [1 2im 3; 1im 2 3] * I
2×3 Matrix{Complex{Int64}}:
 1+0im  0+2im  3+0im
 0+1im  2+0im  3+0im

# LinearAlgebra.UniformScaling — Method

(I::UniformScaling)(n::Integer)

Создает матрицу Diagonal из UniformScaling.

Совместимость

Julia 1.2 Этот метод впервые реализован в Julia 1.2.

Примеры

julia> I(3)
3×3 Diagonal{Bool, Vector{Bool}}:
 1  ⋅  ⋅
 ⋅  1  ⋅
 ⋅  ⋅  1

julia> (0.7*I)(3)
3×3 Diagonal{Float64, Vector{Float64}}:
 0.7   ⋅    ⋅
  ⋅   0.7   ⋅
  ⋅    ⋅   0.7

# LinearAlgebra.Factorization — Type

LinearAlgebra.Factorization

Абстрактный тип для разложений матриц, также известных как декомпозиции матриц. В онлайн-документации приведен список доступных разложений матриц.

# LinearAlgebra.LU — Type

LU <: Factorization

Тип разложения матрицы для LU-разложения квадратной матрицы A. Это возвращаемый тип lu, соответствующей функции разложения матрицы.

Доступ к отдельным компонентам разложения F::LU можно получить с помощью функции getproperty.

Компонент Описание

Компонент	Описание
`F.L`	`L` (нижняя унитреугольная) часть `LU`
`F.U`	`U` (верхнетреугольная) часть `LU`
`F.p`	`Vector` (правой) перестановки
`F.P`	`Matrix` (правой) перестановки

F.L

L (нижняя унитреугольная) часть LU

F.U

U (верхнетреугольная) часть LU

F.p

Vector (правой) перестановки

F.P

Matrix (правой) перестановки

При итерации по разложению создаются компоненты F.L, F.U и F.p.

Примеры

julia> A = [4 3; 6 3]
2×2 Matrix{Int64}:
 4  3
 6  3

julia> F = lu(A)
LU{Float64, Matrix{Float64}, Vector{Int64}}
L factor:
2×2 Matrix{Float64}:
 1.0       0.0
 0.666667  1.0
U factor:
2×2 Matrix{Float64}:
 6.0  3.0
 0.0  1.0

julia> F.L * F.U == A[F.p, :]
true

julia> l, u, p = lu(A); # деструктурирование через итерацию

julia> l == F.L && u == F.U && p == F.p
true

# LinearAlgebra.lu — Function

lu(A::AbstractSparseMatrixCSC; check = true, q = nothing, control = get_umfpack_control()) -> F::UmfpackLU

Вычисляет LU-разложение разреженной матрицы A.

Для разреженной матрицы A с вещественным или комплексным типом элементов возвращаемым типом F является UmfpackLU{Tv, Ti}, с Tv = Float64 или ComplexF64 соответственно, а Ti является целочисленным типом (Int32 или Int64).

Когда check = true, возникает ошибка, если декомпозиция завершается сбоем. Когда check = false, ответственность за проверку допустимости декомпозиции (с помощью issuccess) лежит на пользователе.

Перестановкой q может быть либо перестановочный вектор, либо nothing. Если перестановочный вектор не указан или q имеет значение nothing, используется принятый по умолчанию в UMFPACK вариант. Если перестановка не начинается с нуля, создается копия с отсчетом от нуля.

Вектор control по умолчанию соответствует конфигурации пакета Julia SparseArrays по умолчанию для UMFPACK (она отличается от конфигурации UMFPACK по умолчанию для отключения итеративного уточнения), но его можно изменить, передав вектор длиной UMFPACK_CONTROL. Возможные конфигурации см. в руководстве по UMFPACK. Например, чтобы снова включить итеративное уточнение, сделайте следующее:

umfpack_control = SparseArrays.UMFPACK.get_umfpack_control(Float64, Int64) # считываем конфигурацию Julia по умолчанию для разреженной матрицы типа Float64
SparseArrays.UMFPACK.show_umf_ctrl(umfpack_control) # необязательно — выводим значения
umfpack_control[SparseArrays.UMFPACK.JL_UMFPACK_IRSTEP] = 2.0 # снова включаем итеративное уточнение (шаг 2 процесса итеративного уточнения максимума UMFPACK по умолчанию)

Alu = lu(A; control = umfpack_control)
x = Alu \ b   # решаем Ax = b, включая итеративное уточнение UMFPACK

Доступ к отдельным компонентам разложения F можно получить с помощью индексирования.

Компонент Описание

Компонент	Описание
`L`	`L` (нижняя унитреугольная) часть `LU`
`U`	`U` (верхнетреугольная) часть `LU`
`p`	`Vector` правой перестановки
`q`	`Vector` левой перестановки
`Rs`	`Vector` коэффициентов масштабирования
`:`	Компоненты `(L,U,p,q,Rs)`

L

L (нижняя унитреугольная) часть LU

U

U (верхнетреугольная) часть LU

p

Vector правой перестановки

q

Vector левой перестановки

Rs

Vector коэффициентов масштабирования

:

Компоненты (L,U,p,q,Rs)

Между F и A существует следующее отношение:

F.L*F.U == (F.Rs .* A)[F.p, F.q]

F также поддерживает следующие функции:

\
det

См. также описание lu!.

Note lu(A::AbstractSparseMatrixCSC) использует библиотеку UMFPACK^[1], которая является частью SuiteSparse. Поскольку эта библиотека поддерживает только разреженные матрицы с элементами Float64 или ComplexF64, lu преобразует A в копию с типом SparseMatrixCSC{Float64} или SparseMatrixCSC{ComplexF64} в зависимости от ситуации.

lu(A, pivot = RowMaximum(); check = true, allowsingular = false) -> F::LU

Вычисляет LU-разложение матрицы A.

По умолчанию при check = true ошибка также выдается, когда разложение дает допустимые множители, но верхнетреугольный множитель U имеет неполный ранг. Это можно изменить путем передачи allowsingular = true.

В большинстве случаев, если A является подтипом S для AbstractMatrix{T} с типом элемента T, поддерживающим +, -, * и /, возвращаемый тип представляет собой LU{T,S{T}}.

Как правило, LU-разложение предполагает перестановку строк матрицы (что соответствует выходным данным F.p, описанным ниже), известную как «выбор главного элемента» (так как по сути выбирается строка, содержащая «главный элемент», то есть диагональный элемент F.U). С помощью необязательного аргумента pivot можно выбрать одну из следующих стратегий выбора главного элемента.

RowMaximum() (по умолчанию): стандартная стратегия выбора главного элемента; главный элемент соответствует элементу с максимальным абсолютным значением среди оставшихся строк, подлежащих разложению. Такая стратегия выбора главного элемента требует, чтобы тип элемента также поддерживал abs и <. (This is generally the only numerically stable option for floating-point матрицы.
RowNonZero(): главный элемент соответствует первому ненулевому элементу среди оставшихся строк, подлежащих разложению. (Это обычный вариант при вычислениях вручную. Он также полезен для более общих алгебраических числовых типов, которые поддерживают iszero, но не abs или <.)
NoPivot(): выбор главных элементов отключен (если в позиции главного элемента встретится нулевой элемент, произойдет ошибка даже при allowsingular = true).

Доступ к отдельным компонентам разложения F можно получить с помощью функции getproperty.

Компонент Описание

Компонент	Описание
`F.L`	`L` (нижняя унитреугольная) часть `LU`
`F.U`	`U` (верхнетреугольная) часть `LU`
`F.p`	`Vector` (правой) перестановки
`F.P`	`Matrix` (правой) перестановки

F.L

L (нижняя унитреугольная) часть LU

F.U

U (верхнетреугольная) часть LU

F.p

Vector (правой) перестановки

F.P

Matrix (правой) перестановки

При итерации по разложению создаются компоненты F.L, F.U и F.p.

Между F и A существует следующее отношение:

F.L*F.U == A[F.p, :]

F также поддерживает следующие функции:

Поддерживаемая функция LU LU{T,Tridiagonal{T}}

Поддерживаемая функция	`LU`	`LU{T,Tridiagonal{T}}`
`/`	✓
`\`	✓	✓
`inv`	✓	✓
`det`	✓	✓
`logdet`	✓	✓
`logabsdet`	✓	✓
`size`	✓	✓

✓

✓

✓

✓

✓

✓

✓

Совместимость

Julia 1.11 Именованный аргумент allowsingular был добавлен в Julia 1.11.

Примеры

julia> A = [4 3; 6 3]
2×2 Matrix{Int64}:
 4  3
 6  3

julia> F = lu(A)
LU{Float64, Matrix{Float64}, Vector{Int64}}
L factor:
2×2 Matrix{Float64}:
 1.0       0.0
 0.666667  1.0
U factor:
2×2 Matrix{Float64}:
 6.0  3.0
 0.0  1.0

julia> F.L * F.U == A[F.p, :]
true

julia> l, u, p = lu(A); # деструктурирование через итерацию

julia> l == F.L && u == F.U && p == F.p
true

julia> lu([1 2; 1 2], allowsingular = true)
LU{Float64, Matrix{Float64}, Vector{Int64}}
L factor:
2×2 Matrix{Float64}:
 1.0  0.0
 1.0  1.0
U factor (rank-deficient):
2×2 Matrix{Float64}:
 1.0  2.0
 0.0  0.0

# LinearAlgebra.lu! — Function

lu!(F::UmfpackLU, A::AbstractSparseMatrixCSC; check=true, reuse_symbolic=true, q=nothing) -> F::UmfpackLU

Вычисляет LU-разложение разреженной матрицы A, повторно используя символическое разложение уже существующего LU-разложения, хранящегося в F. Если в аргументе reuse_symbolic не передано значение false, разреженная матрица A должна иметь тот же ненулевой шаблон, что и матрица, используемая для создания LU-разложения F (в противном случае возникнет ошибка). Если A и F имеют разный размер, размер всех векторов изменится соответствующим образом.

Перестановкой q может быть либо перестановочный вектор, либо nothing. Если перестановочный вектор не указан или q имеет значение nothing, используется принятый по умолчанию в UMFPACK вариант. Если перестановка не основана на нулевом элементе, создается копия на основе нулевого элемента.

См. также описание lu.

Note lu!(F::UmfpackLU, A::AbstractSparseMatrixCSC) использует библиотеку UMFPACK, которая является частью SuiteSparse. Поскольку эта библиотека поддерживает только разреженные матрицы с элементами Float64 или ComplexF64, lu! автоматически преобразует типы в определенные для LU-разложения или SparseMatrixCSC{ComplexF64} в зависимости от ситуации.

Совместимость

Julia 1.5 Для использования функции lu! применительно к UmfpackLU требуется версия Julia не ниже 1.5.

Примеры

julia> A = sparse(Float64[1.0 2.0; 0.0 3.0]);

julia> F = lu(A);

julia> B = sparse(Float64[1.0 1.0; 0.0 1.0]);

julia> lu!(F, B);

julia> F \ ones(2)
2-element Vector{Float64}:
 0.0
 1.0

lu!(A, pivot = RowMaximum(); check = true, allowsingular = false) -> LU

lu! — это то же, что и lu, но позволяет экономить дисковое пространство, перезаписывая входную матрицу A вместо создания копии. Если при разложении создается число, не представляемое типом элементов матрицы A, например для целочисленных типов, возникает исключение InexactError.

Совместимость

Julia 1.11 Именованный аргумент allowsingular был добавлен в Julia 1.11.

Примеры

julia> A = [4. 3.; 6. 3.]
2×2 Matrix{Float64}:
 4.0  3.0
 6.0  3.0

julia> F = lu!(A)
LU{Float64, Matrix{Float64}, Vector{Int64}}
L factor:
2×2 Matrix{Float64}:
 1.0       0.0
 0.666667  1.0
U factor:
2×2 Matrix{Float64}:
 6.0  3.0
 0.0  1.0

julia> iA = [4 3; 6 3]
2×2 Matrix{Int64}:
 4  3
 6  3

julia> lu!(iA)
ERROR: InexactError: Int64(0.6666666666666666)
Stacktrace:
[...]

# LinearAlgebra.Cholesky — Type

Cholesky <: Factorization

Тип разложения матрицы для разложения Холецкого для плотной симметричной или эрмитовой положительно определенной матрицы A. Это возвращаемый тип cholesky, соответствующей функции разложения матрицы.

Треугольный множитель Холецкого можно получить из разложения F::Cholesky с помощью F.L и F.U, где A ≈ F.U' * F.U ≈ F.L * F.L'.

Для объектов Cholesky доступны следующие функции: size, \, inv, det, logdet и isposdef.

При итерации декомпозиции создаются компоненты L и U.

Примеры

julia> A = [4. 12. -16.; 12. 37. -43.; -16. -43. 98.]
3×3 Matrix{Float64}:
   4.0   12.0  -16.0
  12.0   37.0  -43.0
 -16.0  -43.0   98.0

julia> C = cholesky(A)
Cholesky{Float64, Matrix{Float64}}
U factor:
3×3 UpperTriangular{Float64, Matrix{Float64}}:
 2.0  6.0  -8.0
  ⋅   1.0   5.0
  ⋅    ⋅    3.0

julia> C.U
3×3 UpperTriangular{Float64, Matrix{Float64}}:
 2.0  6.0  -8.0
  ⋅   1.0   5.0
  ⋅    ⋅    3.0

julia> C.L
3×3 LowerTriangular{Float64, Matrix{Float64}}:
  2.0   ⋅    ⋅
  6.0  1.0   ⋅
 -8.0  5.0  3.0

julia> C.L * C.U == A
true

julia> l, u = C; # деструктурирование через итерацию

julia> l == C.L && u == C.U
true

# LinearAlgebra.CholeskyPivoted — Type

CholeskyPivoted

Тип разложения матрицы для разложения Холецкого с выбранным главным элементом для плотной симметричной или эрмитовой положительно полуопределенной матрицы A. Это возвращаемый тип cholesky(_, ::RowMaximum), соответствующей функции разложения матрицы.

Треугольный множитель Холецкого можно получить из разложения F::CholeskyPivoted с помощью F.L и F.U и перестановки с помощью F.p, где A[F.p, F.p] ≈ Ur' * Ur ≈ Lr * Lr' и с Ur = F.U[1:F.rank, :] и Lr = F.L[:, 1:F.rank], или альтернативно A ≈ Up' * Up ≈ Lp * Lp' с Up = F.U[1:F.rank, invperm(F.p)] и Lp = F.L[invperm(F.p), 1:F.rank].

Для объектов CholeskyPivoted доступны следующие функции: size, \, inv, det и rank.

При итерации декомпозиции создаются компоненты L и U.

Примеры

julia> X = [1.0, 2.0, 3.0, 4.0];

julia> A = X * X';

julia> C = cholesky(A, RowMaximum(), check = false)
CholeskyPivoted{Float64, Matrix{Float64}, Vector{Int64}}
U factor with rank 1:
4×4 UpperTriangular{Float64, Matrix{Float64}}:
 4.0  2.0  3.0  1.0
  ⋅   0.0  6.0  2.0
  ⋅    ⋅   9.0  3.0
  ⋅    ⋅    ⋅   1.0
permutation:
4-element Vector{Int64}:
 4
 2
 3
 1

julia> C.U[1:C.rank, :]' * C.U[1:C.rank, :] ≈ A[C.p, C.p]
true

julia> l, u = C; # деструктурирование через итерацию

julia> l == C.L && u == C.U
true

# LinearAlgebra.cholesky — Function

cholesky(A, NoPivot(); check = true) -> Cholesky

Вычисляет разложение Холецкого для плотной симметричной положительно определенной матрицы A и возвращает разложение Cholesky. Матрица A может быть либо Symmetric, либо Hermitian AbstractMatrix, либо идеальной симметричной или эрмитовой AbstractMatrix.

Треугольный множитель Холецкого можно получить из разложения F с помощью F.L и F.U, где A ≈ F.U' * F.U ≈ F.L * F.L'.

Для объектов Cholesky доступны следующие функции: size, \, inv, det, logdet и isposdef.

Если у вас есть матрица A, которая не совсем является эрмитовой из-за ошибок округления при ее построении, заключите ее в Hermitian(A) перед передачей функции cholesky, чтобы она интерпретировалась как идеальная эрмитова.

Примеры

julia> A = [4. 12. -16.; 12. 37. -43.; -16. -43. 98.]
3×3 Matrix{Float64}:
   4.0   12.0  -16.0
  12.0   37.0  -43.0
 -16.0  -43.0   98.0

julia> C = cholesky(A)
Cholesky{Float64, Matrix{Float64}}
U factor:
3×3 UpperTriangular{Float64, Matrix{Float64}}:
 2.0  6.0  -8.0
  ⋅   1.0   5.0
  ⋅    ⋅    3.0

julia> C.U
3×3 UpperTriangular{Float64, Matrix{Float64}}:
 2.0  6.0  -8.0
  ⋅   1.0   5.0
  ⋅    ⋅    3.0

julia> C.L
3×3 LowerTriangular{Float64, Matrix{Float64}}:
  2.0   ⋅    ⋅
  6.0  1.0   ⋅
 -8.0  5.0  3.0

julia> C.L * C.U == A
true

cholesky(A, RowMaximum(); tol = 0.0, check = true) -> CholeskyPivoted

Вычисляет разложение Холецкого с выбранным главным элементом для плотной симметричной положительно полуопределенной матрицы A и возвращает разложение CholeskyPivoted. Матрица A может быть либо Symmetric, либо Hermitian AbstractMatrix, либо идеальной симметричной или эрмитовой AbstractMatrix.

Треугольный множитель Холецкого можно получить из разложения F с помощью F.L и F.U и перестановки с помощью F.p, где A[F.p, F.p] ≈ Ur' * Ur ≈ Lr * Lr' и с Ur = F.U[1:F.rank, :] и Lr = F.L[:, 1:F.rank], или альтернативно A ≈ Up' * Up ≈ Lp * Lp' с Up = F.U[1:F.rank, invperm(F.p)] и Lp = F.L[invperm(F.p), 1:F.rank].

Для объектов CholeskyPivoted доступны следующие функции: size, \, inv, det и rank.

Аргумент tol определяет допуск для определения ранга. Для отрицательных значений допуском является машинная точность.

Примеры

julia> X = [1.0, 2.0, 3.0, 4.0];

julia> A = X * X';

julia> C = cholesky(A, RowMaximum(), check = false)
CholeskyPivoted{Float64, Matrix{Float64}, Vector{Int64}}
U factor with rank 1:
4×4 UpperTriangular{Float64, Matrix{Float64}}:
 4.0  2.0  3.0  1.0
  ⋅   0.0  6.0  2.0
  ⋅    ⋅   9.0  3.0
  ⋅    ⋅    ⋅   1.0
permutation:
4-element Vector{Int64}:
 4
 2
 3
 1

julia> C.U[1:C.rank, :]' * C.U[1:C.rank, :] ≈ A[C.p, C.p]
true

julia> l, u = C; # деструктурирование через итерацию

julia> l == C.L && u == C.U
true

cholesky(A::SparseMatrixCSC; shift = 0.0, check = true, perm = nothing) -> CHOLMOD.Factor

Вычисляет разложение Холецкого для плотной положительно определенной матрицы A. Матрица A должна быть SparseMatrixCSC или представлением Symmetric/Hermitian матрицы SparseMatrixCSC. Обратите внимание, что даже если у матрицы A нет метки типа, она все равно должна быть симметричной или эрмитовой. Если perm не задано, используется перестановка, сокращающая заполнение. F = cholesky(A) чаще всего используется для решения систем уравнений с F\b, но для F также определены методы diag, det и logdet. Вы также можете извлекать отдельные множители из F с помощью F.L. Однако поскольку выбор главного элемента включен по умолчанию, разложение представлено как A == P'*L*L'*P с матрицей перестановки P. При использовании только L без учета P будут выдаваться неправильные ответы. Чтобы включить эффекты перестановки, обычно предпочтительнее извлекать «комбинированные» множители, такие как PtL = F.PtL (эквивалент P'*L) и LtP = F.UP (эквивалент L'*P).

Задание необязательного именованного аргумента shift позволяет вычислять разложение A+shift*I вместо A. Если указан аргумент perm, должна работать перестановка 1:size(A,1), задающая используемый порядок (вместо порядка AMD по умолчанию в CHOLMOD).

Примеры

В следующем примере используется сокращающая заполнение перестановка [3, 2, 1]. Если в perm задано 1:3, чтобы не применять перестановку, количество ненулевых элементов в множителе равно 6.

julia> A = [2 1 1; 1 2 0; 1 0 2]
3×3 Matrix{Int64}:
 2  1  1
 1  2  0
 1  0  2

julia> C = cholesky(sparse(A))
SparseArrays.CHOLMOD.Factor{Float64, Int64}
type:    LLt
method:  simplicial
maxnnz:  5
nnz:     5
success: true

julia> C.p
3-element Vector{Int64}:
 3
 2
 1

julia> L = sparse(C.L);

julia> Matrix(L)
3×3 Matrix{Float64}:
 1.41421   0.0       0.0
 0.0       1.41421   0.0
 0.707107  0.707107  1.0

julia> L * L' ≈ A[C.p, C.p]
true

julia> P = sparse(1:3, C.p, ones(3))
3×3 SparseMatrixCSC{Float64, Int64} with 3 stored entries:
  ⋅    ⋅   1.0
  ⋅   1.0   ⋅
 1.0   ⋅    ⋅

julia> P' * L * L' * P ≈ A
true

julia> C = cholesky(sparse(A), perm=1:3)
SparseArrays.CHOLMOD.Factor{Float64, Int64}
type:    LLt
method:  simplicial
maxnnz:  6
nnz:     6
success: true

julia> L = sparse(C.L);

julia> Matrix(L)
3×3 Matrix{Float64}:
 1.41421    0.0       0.0
 0.707107   1.22474   0.0
 0.707107  -0.408248  1.1547

julia> L * L' ≈ A
true

Note Этот метод использует библиотеку CHOLMOD^[2]^[3] из SuiteSparse. CHOLMOD поддерживает только вещественные или комплексные типы с одинарной или двойной точностью. Входные матрицы, не относящиеся к этим типам элементов, будут при необходимости преобразованы в них.

Многие другие функции из CHOLMOD инкапсулированы, но не экспортируются из модуля `Base.SparseArrays.CHOLMOD`.

# LinearAlgebra.cholesky! — Function

cholesky!(A::AbstractMatrix, NoPivot(); check = true) -> Cholesky

То же, что и cholesky, но позволяет экономить дисковое пространство, перезаписывая входную матрицу A вместо создания копии. Если при разложении создается число, не представляемое типом элементов матрицы A, например для целочисленных типов, возникает исключение InexactError.

Примеры

julia> A = [1 2; 2 50]
2×2 Matrix{Int64}:
 1   2
 2  50

julia> cholesky!(A)
ERROR: InexactError: Int64(6.782329983125268)
Stacktrace:
[...]

cholesky!(A::AbstractMatrix, RowMaximum(); tol = 0.0, check = true) -> CholeskyPivoted

cholesky!(F::CHOLMOD.Factor, A::SparseMatrixCSC; shift = 0.0, check = true) -> CHOLMOD.Factor

Вычисляет разложение Холецкого ( ) матрицы A, повторно используя символическое разложение F. Матрица A должна быть SparseMatrixCSC или представлением Symmetric/Hermitian матрицы SparseMatrixCSC. Обратите внимание, что даже если у матрицы A нет метки типа, она все равно должна быть симметричной или эрмитовой.

См. также описание cholesky.

Note Этот метод использует библиотеку CHOLMOD из SuiteSparse, которая поддерживает только вещественные или комплексные типы с одинарной или двойной точностью. Входные матрицы, не относящиеся к этим типам элементов, будут при необходимости преобразованы в них.

# LinearAlgebra.lowrankupdate — Function

lowrankupdate(C::Cholesky, v::AbstractVector) -> CC::Cholesky

Обновляет разложение Холецкого C с вектором v. Если A = C.U’C.U, то CC = cholesky(C.U’C.U + v*v'), но вычисление CC использует только O(n^2) операций.

lowrankupdate(F::CHOLMOD.Factor, C::AbstractArray) -> FF::CHOLMOD.Factor

Возвращает разложение LDLt A + C*C' для разложения LDLt или LLt F матрицы A.

Возвращаемый множитель всегда представляет собой разложение LDLt.

См. также описание lowrankupdate!, lowrankdowndate и lowrankdowndate!.

# LinearAlgebra.lowrankdowndate — Function

lowrankdowndate(C::Cholesky, v::AbstractVector) -> CC::Cholesky

Понижает уровень разложения Холецкого C с вектором v. Если A = C.U’C.U, то CC = cholesky(C.U’C.U - v*v'), но вычисление CC использует только O(n^2) операций.

lowrankdowndate(F::CHOLMOD.Factor, C::AbstractArray) -> FF::CHOLMOD.Factor

Возвращает разложение LDLt A + C*C' для разложения LDLt или LLt F матрицы A.

Возвращаемый множитель всегда представляет собой разложение LDLt.

См. также описание lowrankdowndate!, lowrankupdate и lowrankupdate!.

# LinearAlgebra.lowrankupdate! — Function

lowrankupdate!(C::Cholesky, v::AbstractVector) -> CC::Cholesky

Обновляет разложение Холецкого C с вектором v. Если A = C.U’C.U, то CC = cholesky(C.U’C.U + v*v'), но вычисление CC использует только O(n^2) операций. Входное разложение C обновляется на месте, так что при выходе C == CC. Во время вычисления вектор v уничтожается.

lowrankupdate!(F::CHOLMOD.Factor, C::AbstractArray)

Обновляет разложение LDLt или LLt F матрицы A до разложения A + C*C'.

Разложения LLt преобразуются в LDLt.

См. также описание lowrankupdate, lowrankdowndate и lowrankdowndate!.

# LinearAlgebra.lowrankdowndate! — Function

lowrankdowndate!(C::Cholesky, v::AbstractVector) -> CC::Cholesky

Понижает уровень разложения Холецкого C с вектором v. Если A = C.U’C.U, то CC = cholesky(C.U’C.U - v*v'), но вычисление CC использует только O(n^2) операций. Входное разложение C обновляется на месте, так что при выходе C == CC. Во время вычисления вектор v уничтожается.

lowrankdowndate!(F::CHOLMOD.Factor, C::AbstractArray)

Обновляет разложение LDLt или LLt F матрицы A до разложения A - C*C'.

Разложения LLt преобразуются в LDLt.

См. также описание lowrankdowndate, lowrankupdate и lowrankupdate!.

# LinearAlgebra.LDLt — Type

LDLt <: Factorization

Тип разложения матрицы для LDLt-разложения вещественной матрицы S типа SymTridiagonal такой, что S = L*Diagonal(d)*L', где L является матрицей UnitLowerTriangular, а d — вектором. Основное назначение LDLt-разложения F = ldlt(S) заключается в решении линейной системы уравнений Sx = b с F\b. Это возвращаемый тип ldlt, соответствующей функции разложения матрицы.

Доступ к отдельным компонентам разложения F::LDLt можно получить с помощью функции getproperty.

Компонент Описание

Компонент	Описание
`F.L`	`L` (нижняя унитреугольная) часть `LDLt`
`F.D`	`D` (диагональная) часть `LDLt`
`F.Lt`	`Lt` (верхняя унитреугольная) часть `LDLt`
`F.d`	значения диагонали `D` в виде `Vector`

F.L

L (нижняя унитреугольная) часть LDLt

F.D

D (диагональная) часть LDLt

F.Lt

Lt (верхняя унитреугольная) часть LDLt

F.d

значения диагонали D в виде Vector

Примеры

julia> S = SymTridiagonal([3., 4., 5.], [1., 2.])
3×3 SymTridiagonal{Float64, Vector{Float64}}:
 3.0  1.0   ⋅
 1.0  4.0  2.0
  ⋅   2.0  5.0

julia> F = ldlt(S)
LDLt{Float64, SymTridiagonal{Float64, Vector{Float64}}}
L factor:
3×3 UnitLowerTriangular{Float64, SymTridiagonal{Float64, Vector{Float64}}}:
 1.0        ⋅         ⋅
 0.333333  1.0        ⋅
 0.0       0.545455  1.0
D factor:
3×3 Diagonal{Float64, Vector{Float64}}:
 3.0   ⋅        ⋅
  ⋅   3.66667   ⋅
  ⋅    ⋅       3.90909

# LinearAlgebra.ldlt — Function

ldlt(S::SymTridiagonal) -> LDLt

Вычисляет разложение LDLt (т. е. ) вещественной симметричной трехдиагональной матрицы S, так что S = L*Diagonal(d)*L', где L — это единичная нижнетреугольная матрица, а d — вектор. Основное назначение LDLt-разложения F = ldlt(S) заключается в решении линейной системы уравнений Sx = b с F\b.

См. также описание bunchkaufman для аналогичного разложения с выбранным главным элементом для произвольных симметричных или эрмитовых матриц.

Примеры

julia> S = SymTridiagonal([3., 4., 5.], [1., 2.])
3×3 SymTridiagonal{Float64, Vector{Float64}}:
 3.0  1.0   ⋅
 1.0  4.0  2.0
  ⋅   2.0  5.0

julia> ldltS = ldlt(S);

julia> b = [6., 7., 8.];

julia> ldltS \ b
3-element Vector{Float64}:
 1.7906976744186047
 0.627906976744186
 1.3488372093023255

julia> S \ b
3-element Vector{Float64}:
 1.7906976744186047
 0.627906976744186
 1.3488372093023255

ldlt(A::SparseMatrixCSC; shift = 0.0, check = true, perm=nothing) -> CHOLMOD.Factor

Вычисляет -разложение разреженной матрицы A. Матрица A должна быть SparseMatrixCSC или представлением Symmetric/Hermitian матрицы SparseMatrixCSC. Обратите внимание, что даже если у матрицы A нет метки типа, она все равно должна быть симметричной или эрмитовой. Используется перестановка, сокращающая заполнение. F = ldlt(A) чаще всего используется для решения систем уравнений A*x = b с F\b. Возвращаемый объект разложения F также поддерживает методы diag, det, logdet и inv. Вы можете извлекать отдельные множители из F с помощью F.L. Однако поскольку выбор главного элемента включен по умолчанию, разложение представлено как A == P'*L*D*L'*P с матрицей перестановки P. При использовании только L без учета P будут выдаваться неправильные ответы. Чтобы включить эффекты перестановки, обычно предпочтительнее извлекать «комбинированные» множители, такие как PtL = F.PtL (эквивалент P'*L) и LtP = F.UP (эквивалент L'*P). Вот полный список поддерживаемых множителей: :L, :PtL, :D, :UP, :U, :LD, :DU, :PtLD, :DUP.

Многие другие функции из CHOLMOD инкапсулированы, но не экспортируются из модуля `Base.SparseArrays.CHOLMOD`.

# LinearAlgebra.ldlt! — Function

ldlt!(S::SymTridiagonal) -> LDLt

То же, что и ldlt, но позволяет экономить дисковое пространство, перезаписывая входную матрицу S вместо создания копии.

Примеры

julia> S = SymTridiagonal([3., 4., 5.], [1., 2.])
3×3 SymTridiagonal{Float64, Vector{Float64}}:
 3.0  1.0   ⋅
 1.0  4.0  2.0
  ⋅   2.0  5.0

julia> ldltS = ldlt!(S);

julia> ldltS === S
false

julia> S
3×3 SymTridiagonal{Float64, Vector{Float64}}:
 3.0       0.333333   ⋅
 0.333333  3.66667   0.545455
  ⋅        0.545455  3.90909

ldlt!(F::CHOLMOD.Factor, A::SparseMatrixCSC; shift = 0.0, check = true) -> CHOLMOD.Factor

Вычисляет -разложение матрицы A, повторно используя символическое разложение F. Матрица A должна быть SparseMatrixCSC или представлением Symmetric/Hermitian матрицы SparseMatrixCSC. Обратите внимание, что даже если у матрицы A нет метки типа, она все равно должна быть симметричной или эрмитовой.

См. также описание ldlt.

# LinearAlgebra.QR — Type

QR <: Factorization

QR-разложение матрицы, хранящееся в упакованном формате; обычно получается из qr. Если является матрицей m×n, то

где — это ортогональная или унитарная матрица, а — верхнетреугольная. Матрица хранится как последовательность отражателей и коэффициентов Хаусхолдера, где:

При итерации декомпозиции создаются компоненты Q и R.

Объект имеет два поля:

factors является матрицей m×n.
- Верхнетреугольная часть содержит элементы , то есть R = triu(F.factors) для объекта QR F.
- Часть поддиагонали содержит отражатели , хранящиеся в упакованном формате, где — это -й столбец матрицы V = I + tril(F.factors, -1).
τ представляет собой вектор длиной min(m,n), содержащий коэффициенты .

# LinearAlgebra.QRCompactWY — Type

QRCompactWY <: Factorization

QR-разложение матрицы, хранящееся в компактном блочном формате; обычно получается из qr. Если является матрицей m×n, то

где — это ортогональная или унитарная матрица, а — верхнетреугольная. Это аналогично формату QR, за исключением того, что ортогональная или унитарная матрица хранится в формате Compact WY ^[4]. Для размера блока она хранится как нижняя трапецеидальная матрица m×n и матрица composed of верхнетреугольных матриц размером ×$n_b$ ( ) и верхней трапецеидальной матрицы ×$\min(m,n) - (b-1) n_b$ matrix ( ), верхняя квадратная часть которой, обозначенная , удовлетворяет выражению

так что является -м столбцом матрицы , является -м элементом [diag(T_1); diag(T_2); …; diag(T_b)], а является левым блоком m×min(m, n) матрицы . При создании с использованием qr размер блока задается с помощью .

При итерации декомпозиции создаются компоненты Q и R.

Объект имеет два поля:

factors, как в типе QR, является матрицей m×n.
- Верхнетреугольная часть содержит элементы , то есть R = triu(F.factors) для объекта QR F.
- Часть поддиагонали содержит отражатели , хранящиеся в упакованном формате, так что V = I + tril(F.factors, -1).
T является матрицей на , как описано выше. Элементы поддиагонали для каждой треугольной матрицы игнорируются.

Note Этот формат не следует путать с более старым представлением WY [^Bischof1987].

[^Bischof1987]. C Bischof and C Van Loan, The WY representation for products of Householder matrices, SIAM J Sci Stat Comput 8 (1987), s2-s13. doi:10.1137/0908009

# LinearAlgebra.QRPivoted — Type

QRPivoted <: Factorization

QR-разложение матрицы с выбором главного элемента по столбцам, хранящееся в упакованном формате; обычно получается из qr. Если является матрицей m×n, то

где — это матрица подстановки, — это ортогональная/унитарная матрица, а — верхнетреугольная. Матрица хранится как последовательность отражателей Хаусхолдера:

При итерации декомпозиции создаются компоненты Q, R и p.

Объект имеет три поля:

factors является матрицей m×n.
- Верхнетреугольная часть содержит элементы , то есть R = triu(F.factors) для объекта QR F.
- Часть поддиагонали содержит отражатели , хранящиеся в упакованном формате, где — это -й столбец матрицы V = I + tril(F.factors, -1).
τ представляет собой вектор длиной min(m,n), содержащий коэффициенты .
jpvt является целочисленным вектором длиной n, соответствующим перестановке .

# LinearAlgebra.qr — Function

qr(A::SparseMatrixCSC; tol=_default_tol(A), ordering=ORDERING_DEFAULT) -> QRSparse

Вычисляет QR-разложение разреженной матрицы A. Используются сокращающие заполнение перестановки строк и столбцов, так что F.R = F.Q'*A[F.prow,F.pcol]. Основным применением данного типа является решение задач методом наименьших квадратов или недоопределенных задач с \. Функция вызывает SPQR^[5] библиотеки C.

Note qr(A::SparseMatrixCSC) использует библиотеку SPQR, которая является частью SuiteSparse. Поскольку эта библиотека поддерживает только разреженные матрицы с элементами Float64 или ComplexF64, начиная с версии Julia 1.4 qr преобразует A в копию с типом SparseMatrixCSC{Float64} или SparseMatrixCSC{ComplexF64} в зависимости от ситуации.

Примеры

julia> A = sparse([1,2,3,4], [1,1,2,2], [1.0,1.0,1.0,1.0])
4×2 SparseMatrixCSC{Float64, Int64} with 4 stored entries:
 1.0   ⋅
 1.0   ⋅
  ⋅   1.0
  ⋅   1.0

julia> qr(A)
SparseArrays.SPQR.QRSparse{Float64, Int64}
Q factor:
4×4 SparseArrays.SPQR.QRSparseQ{Float64, Int64}
R factor:
2×2 SparseMatrixCSC{Float64, Int64} with 2 stored entries:
 -1.41421    ⋅
   ⋅       -1.41421
Row permutation:
4-element Vector{Int64}:
 1
 3
 4
 2
Column permutation:
2-element Vector{Int64}:
 1
 2

qr(A, pivot = NoPivot(); blocksize) -> F

Вычисляет QR-разложение матрицы A на ортогональную (или унитарную, если A является комплекснозначной) матрицу Q и верхнетреугольную матрицу R, так что

Возвращаемый объект F хранит разложение в упакованном формате:

Если pivot == ColumnNorm(), то F является объектом QRPivoted.
В противном случае, если тип элементов A относится к типу BLAS (Float32, Float64, ComplexF32 или ComplexF64), то F является объектом QRCompactWY.
В противном случае F является объектом QR.

Доступ к отдельным компонентам разложения F можно получить с помощью методов доступа к свойствам:

F.Q: ортогональная или унитарная матрица Q
F.R: верхнетреугольная матрица R
F.p: вектор перестановки главного элемента (только QRPivoted)
F.P: матрица перестановки главного элемента (только QRPivoted)

Note При каждом обращении к верхнетреугольному множителю через F.R выделяется память под новый массив. Поэтому целесообразно кэшировать этот массив, например, с помощью R = F.R, и продолжать работу с R.

При итерации декомпозиции создаются компоненты Q, R и, если сохранился, p.

Для объектов QR доступны следующие функции: inv, size и \. Если матрица A является прямоугольной, \ вернет решение по методу наименьших квадратов, а если решение неуникально, возвращается решение по методу наименьшей нормы. Если матрица A не является матрицей полного ранга, для получения решения по методу минимальных норм требуется разложение с выбором главного элемента по столбцам.

Допускается умножение относительно полного/квадратного или неполного/квадратного Q, т. е. поддерживаются F.Q*F.R и F.Q*A. Матрицу Q можно преобразовать в обычную матрицу с помощью Matrix. Эта операция возвращает «тонкий» множитель Q, т. е. если A является матрицей m×n с m>=n, то Matrix(F.Q) выдает матрицу m×n с ортонормальными столбцами. Для получения «полного» множителя Q ортогональной матрицы m×m используйте F.Q*I или collect(F.Q). Если m<=n, то Matrix(F.Q) выдает ортогональную матрицу m×m .

Размер блока для QR-разложения можно указать с помощью именованного аргумента blocksize :: Integer, когда pivot == NoPivot() и A isa StridedMatrix{<:BlasFloat}. Он игнорируется, когда blocksize > minimum(size(A)). См. описание QRCompactWY.

Совместимость

Julia 1.4 Для именованного аргумента blocksize требуется версия Julia не ниже 1.4.

Примеры

julia> A = [3.0 -6.0; 4.0 -8.0; 0.0 1.0]
3×2 Matrix{Float64}:
 3.0  -6.0
 4.0  -8.0
 0.0   1.0

julia> F = qr(A)
LinearAlgebra.QRCompactWY{Float64, Matrix{Float64}, Matrix{Float64}}
Q factor: 3×3 LinearAlgebra.QRCompactWYQ{Float64, Matrix{Float64}, Matrix{Float64}}
R factor:
2×2 Matrix{Float64}:
 -5.0  10.0
  0.0  -1.0

julia> F.Q * F.R == A
true

Note qr возвращает несколько типов, поскольку LAPACK использует несколько представлений, которые минимизируют требования к памяти для хранения произведений элементарных отражателей Хаусхолдера, поэтому матрицы Q и R могут храниться в компактом виде, а не как две отдельные плотные матрицы.

# LinearAlgebra.qr! — Function

qr!(A, pivot = NoPivot(); blocksize)

Функция qr! аналогична функции qr, когда A является подтипом AbstractMatrix, но позволяет экономить дисковое пространство, перезаписывая входную матрицу A вместо создания копии. Если при разложении создается число, не представляемое типом элементов матрицы A, например для целочисленных типов, возникает исключение InexactError.

Совместимость

Julia 1.4 Для именованного аргумента blocksize требуется версия Julia не ниже 1.4.

Примеры

julia> a = [1. 2.; 3. 4.]
2×2 Matrix{Float64}:
 1.0  2.0
 3.0  4.0

julia> qr!(a)
LinearAlgebra.QRCompactWY{Float64, Matrix{Float64}, Matrix{Float64}}
Q factor: 2×2 LinearAlgebra.QRCompactWYQ{Float64, Matrix{Float64}, Matrix{Float64}}
R factor:
2×2 Matrix{Float64}:
 -3.16228  -4.42719
  0.0      -0.632456

julia> a = [1 2; 3 4]
2×2 Matrix{Int64}:
 1  2
 3  4

julia> qr!(a)
ERROR: InexactError: Int64(3.1622776601683795)
Stacktrace:
[...]

# LinearAlgebra.LQ — Type

LQ <: Factorization

Тип разложения матрицы для LQ-разложения матрицы A. LQ-декомпозиция является декомпозицией QR матрицы transpose(A). Это возвращаемый тип lq, соответствующей функции разложения матрицы.

Если S::LQ является объектом разложения, нижний треугольный компонент можно получить с помощью S.L, а ортогональный или унитарный компонент — с помощью S.Q, так что A ≈ S.L*S.Q.

При итерации декомпозиции создаются компоненты S.L и S.Q.

Примеры

julia> A = [5. 7.; -2. -4.]
2×2 Matrix{Float64}:
  5.0   7.0
 -2.0  -4.0

julia> S = lq(A)
LQ{Float64, Matrix{Float64}, Vector{Float64}}
L factor:
2×2 Matrix{Float64}:
 -8.60233   0.0
  4.41741  -0.697486
Q factor: 2×2 LinearAlgebra.LQPackedQ{Float64, Matrix{Float64}, Vector{Float64}}

julia> S.L * S.Q
2×2 Matrix{Float64}:
  5.0   7.0
 -2.0  -4.0

julia> l, q = S; # деструктурирование через итерацию

julia> l == S.L &&  q == S.Q
true

# LinearAlgebra.lq — Function

lq(A) -> S::LQ

Вычисляет LQ-декомпозицию матрицы A. Нижний треугольный компонент декомпозиции можно получить из объекта LQ S с помощью S.L, а ортогональный или унитарный компонент — с помощью S.Q, так что A ≈ S.L*S.Q.

При итерации декомпозиции создаются компоненты S.L и S.Q.

LQ-декомпозиция является QR-декомпозицией transpose(A) и полезна для вычисления решения методом минимальных норм lq(A) \ b для недостаточно определенной системы уравнений (A имеет больше столбцов, чем строк, но имеет полный строчный ранг).

Примеры

julia> A = [5. 7.; -2. -4.]
2×2 Matrix{Float64}:
  5.0   7.0
 -2.0  -4.0

julia> S = lq(A)
LQ{Float64, Matrix{Float64}, Vector{Float64}}
L factor:
2×2 Matrix{Float64}:
 -8.60233   0.0
  4.41741  -0.697486
Q factor: 2×2 LinearAlgebra.LQPackedQ{Float64, Matrix{Float64}, Vector{Float64}}

julia> S.L * S.Q
2×2 Matrix{Float64}:
  5.0   7.0
 -2.0  -4.0

julia> l, q = S; # деструктурирование через итерацию

julia> l == S.L &&  q == S.Q
true

# LinearAlgebra.lq! — Function

lq!(A) -> LQ

Вычисляет LQ-разложение матрицы A, используя входную матрицу как рабочую область. См. также описание lq.

# LinearAlgebra.BunchKaufman — Type

BunchKaufman <: Factorization

Тип разложения Банча-Кауфмана для симметричной или эрмитовой матрицы A как P’UDU’P или P’LDL’P в зависимости от того, хранится ли в A верхний (по умолчанию) или нижний треугольник. Если матрица A является комплексно симметричной, то U' и L' обозначают несопряженные транспонирования, т. е. transpose(U) и transpose(L) соответственно. Это возвращаемый тип bunchkaufman, соответствующей функции разложения матрицы.

Если S::BunchKaufman является объектом разложения, компоненты можно получить с помощью S.D, S.U или S.L при заданных S.uplo и S.p.

При итерации декомпозиции создаются компоненты S.D, S.U или S.L в зависимости от ситуации при заданных S.uplo и S.p.

Примеры

julia> A = Float64.([1 2; 2 3])
2×2 Matrix{Float64}:
 1.0  2.0
 2.0  3.0

julia> S = bunchkaufman(A) # A внутренним образом инкапсулируется Symmetric(A)
BunchKaufman{Float64, Matrix{Float64}, Vector{Int64}}
D factor:
2×2 Tridiagonal{Float64, Vector{Float64}}:
 -0.333333  0.0
  0.0       3.0
U factor:
2×2 UnitUpperTriangular{Float64, Matrix{Float64}}:
 1.0  0.666667
  ⋅   1.0
permutation:
2-element Vector{Int64}:
 1
 2

julia> d, u, p = S; # деструктурирование через итерацию

julia> d == S.D && u == S.U && p == S.p
true

julia> S = bunchkaufman(Symmetric(A, :L))
BunchKaufman{Float64, Matrix{Float64}, Vector{Int64}}
D factor:
2×2 Tridiagonal{Float64, Vector{Float64}}:
 3.0   0.0
 0.0  -0.333333
L factor:
2×2 UnitLowerTriangular{Float64, Matrix{Float64}}:
 1.0        ⋅
 0.666667  1.0
permutation:
2-element Vector{Int64}:
 2
 1

# LinearAlgebra.bunchkaufman — Function

bunchkaufman(A, rook::Bool=false; check = true) -> S::BunchKaufman

Вычисляет разложение Банча-Кауфмана ^[6] симметричной или эрмитовой матрицы A как P'*U*D*U'*P или P'*L*D*L'*P в зависимости от того, какой треугольник сохранен в A, и возвращает объект BunchKaufman. Обратите внимание, что если матрица A является комплексно симметричной, то U' и L' обозначают несопряженные транспонирования, т. е. transpose(U) и transpose(L).

Если rook имеет значение true, используется ладейный выбор главного элемента. Если rook имеет значение false, ладейный выбор главного элемента не используется.

Для объектов BunchKaufman доступны следующие функции: size, \, inv, issymmetric, ishermitian, getindex.

Примеры

julia> A = Float64.([1 2; 2 3])
2×2 Matrix{Float64}:
 1.0  2.0
 2.0  3.0

julia> S = bunchkaufman(A) # A внутренним образом инкапсулируется Symmetric(A)
BunchKaufman{Float64, Matrix{Float64}, Vector{Int64}}
D factor:
2×2 Tridiagonal{Float64, Vector{Float64}}:
 -0.333333  0.0
  0.0       3.0
U factor:
2×2 UnitUpperTriangular{Float64, Matrix{Float64}}:
 1.0  0.666667
  ⋅   1.0
permutation:
2-element Vector{Int64}:
 1
 2

julia> d, u, p = S; # деструктурирование через итерацию

julia> d == S.D && u == S.U && p == S.p
true

julia> S.U*S.D*S.U' - S.P*A*S.P'
2×2 Matrix{Float64}:
 0.0  0.0
 0.0  0.0

julia> S = bunchkaufman(Symmetric(A, :L))
BunchKaufman{Float64, Matrix{Float64}, Vector{Int64}}
D factor:
2×2 Tridiagonal{Float64, Vector{Float64}}:
 3.0   0.0
 0.0  -0.333333
L factor:
2×2 UnitLowerTriangular{Float64, Matrix{Float64}}:
 1.0        ⋅
 0.666667  1.0
permutation:
2-element Vector{Int64}:
 2
 1

julia> S.L*S.D*S.L' - A[S.p, S.p]
2×2 Matrix{Float64}:
 0.0  0.0
 0.0  0.0

# LinearAlgebra.bunchkaufman! — Function

bunchkaufman!(A, rook::Bool=false; check = true) -> BunchKaufman

bunchkaufman! — это то же, что и bunchkaufman, но позволяет экономить дисковое пространство, перезаписывая входную матрицу A вместо создания копии.

# LinearAlgebra.Eigen — Type

Eigen <: Factorization

Тип разложения матрицы для декомпозиции собственных значений или спектральной декомпозиции квадратной матрицы A. Это возвращаемый тип eigen, соответствующей функции разложения матрицы.

Если F::Eigen является объектом разложения, собственные значения можно получить с помощью F.values, а собственные векторы — как столбцы матрицы F.vectors. (k-й собственный вектор можно получить из среза F.vectors[:, k].)

При итерации декомпозиции создаются компоненты F.values и F.vectors.

Примеры

julia> F = eigen([1.0 0.0 0.0; 0.0 3.0 0.0; 0.0 0.0 18.0])
Eigen{Float64, Float64, Matrix{Float64}, Vector{Float64}}
values:
3-element Vector{Float64}:
  1.0
  3.0
 18.0
vectors:
3×3 Matrix{Float64}:
 1.0  0.0  0.0
 0.0  1.0  0.0
 0.0  0.0  1.0

julia> F.values
3-element Vector{Float64}:
  1.0
  3.0
 18.0

julia> F.vectors
3×3 Matrix{Float64}:
 1.0  0.0  0.0
 0.0  1.0  0.0
 0.0  0.0  1.0

julia> vals, vecs = F; # деструктурирование через итерацию

julia> vals == F.values && vecs == F.vectors
true

# LinearAlgebra.GeneralizedEigen — Type

GeneralizedEigen <: Factorization

Тип разложения матрицы для обобщенной декомпозиции собственных значений или спектральной декомпозиции матриц A и B. Это возвращаемый тип eigen, соответствующей функции разложения матрицы, при вызове с двумя матричными аргументами.

Если F::GeneralizedEigen является объектом разложения, собственные значения можно получить с помощью F.values, а собственные векторы — как столбцы матрицы F.vectors. (k-й собственный вектор можно получить из среза F.vectors[:, k].)

При итерации декомпозиции создаются компоненты F.values и F.vectors.

Примеры

julia> A = [1 0; 0 -1]
2×2 Matrix{Int64}:
 1   0
 0  -1

julia> B = [0 1; 1 0]
2×2 Matrix{Int64}:
 0  1
 1  0

julia> F = eigen(A, B)
GeneralizedEigen{ComplexF64, ComplexF64, Matrix{ComplexF64}, Vector{ComplexF64}}
values:
2-element Vector{ComplexF64}:
 0.0 - 1.0im
 0.0 + 1.0im
vectors:
2×2 Matrix{ComplexF64}:
  0.0+1.0im   0.0-1.0im
 -1.0+0.0im  -1.0-0.0im

julia> F.values
2-element Vector{ComplexF64}:
 0.0 - 1.0im
 0.0 + 1.0im

julia> F.vectors
2×2 Matrix{ComplexF64}:
  0.0+1.0im   0.0-1.0im
 -1.0+0.0im  -1.0-0.0im

julia> vals, vecs = F; # деструктурирование через итерацию

julia> vals == F.values && vecs == F.vectors
true

# LinearAlgebra.eigvals — Function

eigvals(A; permute::Bool=true, scale::Bool=true, sortby) -> values

Возвращает собственные значения матрицы A.

Для общих несимметричных матриц можно указать способ балансировки матрицы до вычисления собственного значения. Именованные аргументы permute, scale и sortby те же, что и для eigen.

Примеры

julia> diag_matrix = [1 0; 0 4]
2×2 Matrix{Int64}:
 1  0
 0  4

julia> eigvals(diag_matrix)
2-element Vector{Float64}:
 1.0
 4.0

Для скалярных входных данных eigvals вернет скаляр.

Примеры

julia> eigvals(-2)
-2

eigvals(A, B) -> values

Вычисляет обобщенные собственные значения матриц A и B.

Примеры

julia> A = [1 0; 0 -1]
2×2 Matrix{Int64}:
 1   0
 0  -1

julia> B = [0 1; 1 0]
2×2 Matrix{Int64}:
 0  1
 1  0

julia> eigvals(A,B)
2-element Vector{ComplexF64}:
 0.0 - 1.0im
 0.0 + 1.0im

eigvals(A::Union{Hermitian, Symmetric}; alg::Algorithm = default_eigen_alg(A))) -> values

Return the eigenvalues of A.

alg specifies which algorithm and LAPACK method to use for eigenvalue decomposition:

alg = DivideAndConquer(): Calls LAPACK.syevd!.
alg = QRIteration(): Calls LAPACK.syev!.
alg = RobustRepresentations() (default): Multiple relatively robust representations method, Calls LAPACK.syevr!.

See James W. Demmel et al, SIAM J. Sci. Comput. 30, 3, 1508 (2008) for a comparison of the accuracy and performance of different methods.

The default alg used may change in the future.

Совместимость

Julia 1.12 The alg keyword argument requires Julia 1.12 or later.

eigvals(A::Union{SymTridiagonal, Hermitian, Symmetric}, irange::UnitRange) -> values

Возвращает собственные значения матрицы A. Можно вычислить только подмножество собственных значений, задав диапазон UnitRange irange, охватывающий индексы отсортированных собственных значений, например со 2-го по 8-е собственные значения.

Примеры

julia> A = SymTridiagonal([1.; 2.; 1.], [2.; 3.])
3×3 SymTridiagonal{Float64, Vector{Float64}}:
 1.0  2.0   ⋅
 2.0  2.0  3.0
  ⋅   3.0  1.0

julia> eigvals(A, 2:2)
1-element Vector{Float64}:
 0.9999999999999996

julia> eigvals(A)
3-element Vector{Float64}:
 -2.1400549446402604
  1.0000000000000002
  5.140054944640259

eigvals(A::Union{SymTridiagonal, Hermitian, Symmetric}, vl::Real, vu::Real) -> values

Возвращает собственные значения матрицы A. Можно вычислить только подмножество собственных значений, задав пару vl и vu для нижней и верхней границ собственных значений.

Примеры

julia> A = SymTridiagonal([1.; 2.; 1.], [2.; 3.])
3×3 SymTridiagonal{Float64, Vector{Float64}}:
 1.0  2.0   ⋅
 2.0  2.0  3.0
  ⋅   3.0  1.0

julia> eigvals(A, -1, 2)
1-element Vector{Float64}:
 1.0000000000000009

julia> eigvals(A)
3-element Vector{Float64}:
 -2.1400549446402604
  1.0000000000000002
  5.140054944640259

# LinearAlgebra.eigvals! — Function

eigvals!(A; permute::Bool=true, scale::Bool=true, sortby) -> values

То же, что и eigvals, но позволяет экономить дисковое пространство, перезаписывая входную матрицу A вместо создания копии. Именованные аргументы permute, scale и sortby те же, что и для eigen.

Note Входная матрица A не будет содержать собственные значения после вызова eigvals!. A используется в качестве рабочей области.

Примеры

julia> A = [1. 2.; 3. 4.]
2×2 Matrix{Float64}:
 1.0  2.0
 3.0  4.0

julia> eigvals!(A)
2-element Vector{Float64}:
 -0.3722813232690143
  5.372281323269014

julia> A
2×2 Matrix{Float64}:
 -0.372281  -1.0
  0.0        5.37228

eigvals!(A, B; sortby) -> values

То же, что и eigvals, но позволяет экономить дисковое пространство, перезаписывая входную матрицу A (и B) вместо создания копий.

Note Входные матрицы A и B не будут содержать собственные значения после вызова eigvals!. Они используются как рабочие области.

Примеры

julia> A = [1. 0.; 0. -1.]
2×2 Matrix{Float64}:
 1.0   0.0
 0.0  -1.0

julia> B = [0. 1.; 1. 0.]
2×2 Matrix{Float64}:
 0.0  1.0
 1.0  0.0

julia> eigvals!(A, B)
2-element Vector{ComplexF64}:
 0.0 - 1.0im
 0.0 + 1.0im

julia> A
2×2 Matrix{Float64}:
 -0.0  -1.0
  1.0  -0.0

julia> B
2×2 Matrix{Float64}:
 1.0  0.0
 0.0  1.0

eigvals!(A::Union{SymTridiagonal, Hermitian, Symmetric}, irange::UnitRange) -> values

То же, что и eigvals, но позволяет экономить дисковое пространство, перезаписывая входную матрицу A вместо создания копии. irange является диапазоном индексов собственных значений для поиска. Например, со 2-го по 8-е.

eigvals!(A::Union{SymTridiagonal, Hermitian, Symmetric}, vl::Real, vu::Real) -> values

То же, что и eigvals, но позволяет экономить дисковое пространство, перезаписывая входную матрицу A вместо создания копии. vl — это нижняя граница интервала для поиска собственных значений, а vu — это верхняя граница.

# LinearAlgebra.eigmax — Function

eigmax(A; permute::Bool=true, scale::Bool=true)

Возвращает наибольшее собственное значение матрицы A. Параметр permute=true переставляет матрицу так, чтобы она стала ближе к верхнетреугольной, а scale=true масштабирует матрицу по ее диагональным элементам, чтобы сделать строки и столбцы более равными по норме. Обратите внимание, что если собственные значения A являются комплексными, этот метод не сработает, так как комплексные числа не могут быть отсортированы.

Примеры

julia> A = [0 im; -im 0]
2×2 Matrix{Complex{Int64}}:
 0+0im  0+1im
 0-1im  0+0im

julia> eigmax(A)
1.0

julia> A = [0 im; -1 0]
2×2 Matrix{Complex{Int64}}:
  0+0im  0+1im
 -1+0im  0+0im

julia> eigmax(A)
ERROR: DomainError with Complex{Int64}[0+0im 0+1im; -1+0im 0+0im]:
`A` cannot have complex eigenvalues.
Stacktrace:
[...]

# LinearAlgebra.eigmin — Function

eigmin(A; permute::Bool=true, scale::Bool=true)

Возвращает наименьшее собственное значение матрицы A. Параметр permute=true переставляет матрицу так, чтобы она стала ближе к верхнетреугольной, а scale=true масштабирует матрицу по ее диагональным элементам, чтобы сделать строки и столбцы более равными по норме. Обратите внимание, что если собственные значения A являются комплексными, этот метод не сработает, так как комплексные числа не могут быть отсортированы.

Примеры

julia> A = [0 im; -im 0]
2×2 Matrix{Complex{Int64}}:
 0+0im  0+1im
 0-1im  0+0im

julia> eigmin(A)
-1.0

julia> A = [0 im; -1 0]
2×2 Matrix{Complex{Int64}}:
  0+0im  0+1im
 -1+0im  0+0im

julia> eigmin(A)
ERROR: DomainError with Complex{Int64}[0+0im 0+1im; -1+0im 0+0im]:
`A` cannot have complex eigenvalues.
Stacktrace:
[...]

# LinearAlgebra.eigvecs — Function

eigvecs(A::SymTridiagonal[, eigvals]) -> Matrix

Возвращает матрицу M, столбцы которой являются собственными векторами A. (k-й собственный вектор можно получить из среза M[:, k].)

Если указан необязательный вектор собственных значений eigvals, то eigvecs возвращает конкретные соответствующие собственные векторы.

Примеры

julia> A = SymTridiagonal([1.; 2.; 1.], [2.; 3.])
3×3 SymTridiagonal{Float64, Vector{Float64}}:
 1.0  2.0   ⋅
 2.0  2.0  3.0
  ⋅   3.0  1.0

julia> eigvals(A)
3-element Vector{Float64}:
 -2.1400549446402604
  1.0000000000000002
  5.140054944640259

julia> eigvecs(A)
3×3 Matrix{Float64}:
  0.418304  -0.83205      0.364299
 -0.656749  -7.39009e-16  0.754109
  0.627457   0.5547       0.546448

julia> eigvecs(A, [1.])
3×1 Matrix{Float64}:
  0.8320502943378438
  4.263514128092366e-17
 -0.5547001962252291

eigvecs(A; permute::Bool=true, scale::Bool=true, `sortby`) -> Matrix

Возвращает матрицу M, столбцы которой являются собственными векторами A. (k-й собственный вектор можно получить из среза M[:, k].) Именованные аргументы permute, scale и sortby те же, что и для eigen.

Примеры

julia> eigvecs([1.0 0.0 0.0; 0.0 3.0 0.0; 0.0 0.0 18.0])
3×3 Matrix{Float64}:
 1.0  0.0  0.0
 0.0  1.0  0.0
 0.0  0.0  1.0

eigvecs(A, B) -> Matrix

Возвращает матрицу M, столбцы которой являются обобщенными собственными векторами матриц A и B. (k-й собственный вектор можно получить из среза M[:, k].)

Примеры

julia> A = [1 0; 0 -1]
2×2 Matrix{Int64}:
 1   0
 0  -1

julia> B = [0 1; 1 0]
2×2 Matrix{Int64}:
 0  1
 1  0

julia> eigvecs(A, B)
2×2 Matrix{ComplexF64}:
  0.0+1.0im   0.0-1.0im
 -1.0+0.0im  -1.0-0.0im

# LinearAlgebra.eigen — Function

eigen(A; permute::Bool=true, scale::Bool=true, sortby) -> Eigen

Вычисляет декомпозицию собственных значений матрицы A, возвращая объект разложения Eigen F, который содержит собственные значения в F.values, а обобщенные собственные векторы — в столбцах матрицы F.vectors. Это соответствует решению задачи нахождения собственных значений вида Ax = λx, где A — матрица, x — собственный вектор, а λ — собственное значение. (k-й собственный вектор можно получить из среза F.vectors[:, k].)

При итерации декомпозиции создаются компоненты F.values и F.vectors.

Для объектов Eigen доступны следующие функции: inv, det и isposdef.

Для общих несимметричных матриц можно указать способ балансировки матрицы до вычисления собственного вектора. Параметр permute=true переставляет матрицу так, чтобы она стала ближе к верхнетреугольной, а scale=true масштабирует матрицу по ее диагональным элементам, чтобы сделать строки и столбцы более равными по норме. По умолчанию используется true для обоих параметров.

По умолчанию собственные значения и векторы сортируются лексикографически по (real(λ),imag(λ)). В sortby может быть передана другая функция сравнения by(λ), либо можно передать sortby=nothing, чтобы оставить собственные значения в произвольном порядке. Некоторые особые типы матриц (например, Diagonal или SymTridiagonal) могут реализовывать собственную сортировку и не принимать именованный аргумент sortby.

Примеры

julia> F = eigen([1.0 0.0 0.0; 0.0 3.0 0.0; 0.0 0.0 18.0])
Eigen{Float64, Float64, Matrix{Float64}, Vector{Float64}}
values:
3-element Vector{Float64}:
  1.0
  3.0
 18.0
vectors:
3×3 Matrix{Float64}:
 1.0  0.0  0.0
 0.0  1.0  0.0
 0.0  0.0  1.0

julia> F.values
3-element Vector{Float64}:
  1.0
  3.0
 18.0

julia> F.vectors
3×3 Matrix{Float64}:
 1.0  0.0  0.0
 0.0  1.0  0.0
 0.0  0.0  1.0

julia> vals, vecs = F; # деструктурирование через итерацию

julia> vals == F.values && vecs == F.vectors
true

eigen(A, B; sortby) -> GeneralizedEigen

Вычисляет декомпозицию обобщенных собственных значений матриц A и B, возвращая объект разложения GeneralizedEigen F, который содержит обобщенные собственные значения в F.values, а обобщенные собственные векторы — в столбцах матрицы F.vectors. Это соответствует решению задачи нахождения обобщенных собственных значений вида Ax = λBx, где A, B — матрицы, x — собственный вектор, а λ — собственное значение. (k-й обобщенный собственный вектор можно получить из среза F.vectors[:, k].)

При итерации декомпозиции создаются компоненты F.values и F.vectors.

Примеры

julia> A = [1 0; 0 -1]
2×2 Matrix{Int64}:
 1   0
 0  -1

julia> B = [0 1; 1 0]
2×2 Matrix{Int64}:
 0  1
 1  0

julia> F = eigen(A, B);

julia> F.values
2-element Vector{ComplexF64}:
 0.0 - 1.0im
 0.0 + 1.0im

julia> F.vectors
2×2 Matrix{ComplexF64}:
  0.0+1.0im   0.0-1.0im
 -1.0+0.0im  -1.0-0.0im

julia> vals, vecs = F; # деструктурирование через итерацию

julia> vals == F.values && vecs == F.vectors
true

eigen(A::Union{Hermitian, Symmetric}; alg::LinearAlgebra.Algorithm = LinearAlgebra.default_eigen_alg(A)) -> Eigen

Compute the eigenvalue decomposition of A, returning an Eigen factorization object F which contains the eigenvalues in F.values and the orthonormal eigenvectors in the columns of the matrix F.vectors. (The kth eigenvector can be obtained from the slice F.vectors[:, k].)

Iterating the decomposition produces the components F.values and F.vectors.

alg specifies which algorithm and LAPACK method to use for eigenvalue decomposition:

alg = DivideAndConquer(): Calls LAPACK.syevd!.
alg = QRIteration(): Calls LAPACK.syev!.
alg = RobustRepresentations() (default): Multiple relatively robust representations method, Calls LAPACK.syevr!.

See James W. Demmel et al, SIAM J. Sci. Comput. 30, 3, 1508 (2008) for a comparison of the accuracy and performance of different algorithms.

The default alg used may change in the future.

Совместимость

Julia 1.12 The alg keyword argument requires Julia 1.12 or later.

The following functions are available for Eigen objects: inv, det, and isposdef.

eigen(A::Union{SymTridiagonal, Hermitian, Symmetric}, irange::UnitRange) -> Eigen

При итерации декомпозиции создаются компоненты F.values и F.vectors.

Для объектов Eigen доступны следующие функции: inv, det и isposdef.

UnitRange irange указывает индексы отсортированных собственных значений, которые нужно найти.

Note Если irange не имеет значение 1:n, где n — это измерение матрицы A, возвращаемое разложение будет усеченным.

eigen(A::Union{SymTridiagonal, Hermitian, Symmetric}, vl::Real, vu::Real) -> Eigen

При итерации декомпозиции создаются компоненты F.values и F.vectors.

Для объектов Eigen доступны следующие функции: inv, det и isposdef.

vl — это нижняя граница периода для поиска собственных значений, а vu — это верхняя граница.

Note Если [vl, vu] не содержит все собственные значения матрицы A, возвращаемое разложение будет усеченным.

# LinearAlgebra.eigen! — Function

eigen!(A; permute, scale, sortby)
eigen!(A, B; sortby)

То же, что и eigen, но позволяет экономить дисковое пространство, перезаписывая входную матрицу A (и B) вместо создания копии.

# LinearAlgebra.Hessenberg — Type

Hessenberg <: Factorization

Объект Hessenberg представляет разложение Хессенберга QHQ' квадратной матрицы или ее сдвиг Q(H+μI)Q', который производится функцией hessenberg.

# LinearAlgebra.hessenberg — Function

hessenberg(A) -> Hessenberg

Вычисляет декомпозицию Хессенберга матрицы A и возвращает объект Hessenberg. Если F является объектом разложения, доступ к унитарной матрице можно получить с помощью F.Q (типа LinearAlgebra.HessenbergQ), а к матрице Хессенберга — с помощью F.H (типа UpperHessenberg). Каждую матрицу можно преобразовать в обычную с помощью Matrix(F.H) или Matrix(F.Q).

Если матрица A является эрмитовой (Hermitian) или вещественно-симметричной (Symmetric), разложение Хессенберга выдает вещественно-симметричную трехдиагональную матрицу, а F.H имеет тип SymTridiagonal.

Обратите внимание, что сдвинутое разложение A+μI = Q (H+μI) Q' можно эффективно создать с помощью F + μ*I, используя объект UniformScaling I, который создает объект Hessenberg с общим хранилищем и измененным сдвигом. Сдвиг для заданного F можно получить с помощью F.μ. Это удобно, так как несколько сдвинутых решений (F + μ*I) \ b (для разных μ и (или) b) можно эффективно выполнить после создания F.

При итерации разложения создаются множители F.Q, F.H, F.μ.

Примеры

julia> A = [4. 9. 7.; 4. 4. 1.; 4. 3. 2.]
3×3 Matrix{Float64}:
 4.0  9.0  7.0
 4.0  4.0  1.0
 4.0  3.0  2.0

julia> F = hessenberg(A)
Hessenberg{Float64, UpperHessenberg{Float64, Matrix{Float64}}, Matrix{Float64}, Vector{Float64}, Bool}
Q factor: 3×3 LinearAlgebra.HessenbergQ{Float64, Matrix{Float64}, Vector{Float64}, false}
H factor:
3×3 UpperHessenberg{Float64, Matrix{Float64}}:
  4.0      -11.3137       -1.41421
 -5.65685    5.0           2.0
   ⋅        -8.88178e-16   1.0

julia> F.Q * F.H * F.Q'
3×3 Matrix{Float64}:
 4.0  9.0  7.0
 4.0  4.0  1.0
 4.0  3.0  2.0

julia> q, h = F; # деструктурирование через итерацию

julia> q == F.Q && h == F.H
true

# LinearAlgebra.hessenberg! — Function

hessenberg!(A) -> Hessenberg

hessenberg! — это то же, что и hessenberg, но позволяет экономить дисковое пространство, перезаписывая входную матрицу A вместо создания копии.

# LinearAlgebra.Schur — Type

Schur <: Factorization

Тип разложения матрицы для разложения Шура вещественной матрицы A. Это возвращаемый тип schur(_), соответствующей функции разложения матрицы.

Если F::Schur является объектом разложения, (квази-)треугольный множитель Шура можно получить с помощью F.Schur или F.T, а ортогональные или унитарные векторы Шура — с помощью F.vectors или F.Z, так что A = F.vectors * F.Schur * F.vectors'. Собственные значения матрицы A можно получить с помощью F.values.

При итерации декомпозиции создаются компоненты F.T, F.Z и F.values.

Примеры

julia> A = [5. 7.; -2. -4.]
2×2 Matrix{Float64}:
  5.0   7.0
 -2.0  -4.0

julia> F = schur(A)
Schur{Float64, Matrix{Float64}, Vector{Float64}}
T factor:
2×2 Matrix{Float64}:
 3.0   9.0
 0.0  -2.0
Z factor:
2×2 Matrix{Float64}:
  0.961524  0.274721
 -0.274721  0.961524
eigenvalues:
2-element Vector{Float64}:
  3.0
 -2.0

julia> F.vectors * F.Schur * F.vectors'
2×2 Matrix{Float64}:
  5.0   7.0
 -2.0  -4.0

julia> t, z, vals = F; # деструктурирование через итерацию

julia> t == F.T && z == F.Z && vals == F.values
true

# LinearAlgebra.GeneralizedSchur — Type

GeneralizedSchur <: Factorization

Тип разложения матрицы для обобщенного разложения Шура двух матриц A и B. Это возвращаемый тип schur(_, _), соответствующей функции разложения матрицы.

Если F::GeneralizedSchur является объектом разложения, (квази-)треугольные множители Шура можно получить с помощью F.S и F.T, левые унитарные/ортогональные векторы Шура можно получить с помощью F.left или F.Q, а правые унитарные/ортогональные векторы Шура можно получить с помощью F.right или F.Z, так что A=F.left*F.S*F.right' и B=F.left*F.T*F.right'. Обобщенные собственные значения матриц A и B можно получить с помощью F.α./F.β.

При итерации декомпозиции создаются компоненты F.S, F.T, F.Q, F.Z, F.α и F.β.

# LinearAlgebra.schur — Function

schur(A) -> F::Schur

Вычисляет разложение Шура матрицы A. (Квази-)треугольные множители Шура можно получить из объекта Schur F с помощью F.Schur или F.T, а унитарные/ортогональные векторы Шура можно получить с помощью F.vectors или F.Z, так что A = F.vectors * F.Schur * F.vectors'. Собственные значения матрицы A можно получить с помощью F.values.

Для вещественной матрицы A разложение Шура является «квазитреугольным», что означает, что оно является верхнетреугольным, за исключением диагональных блоков 2×2 для любой сопряженной пары комплексных собственных значений, что позволяет разложению быть чисто вещественным даже при наличии комплексных собственных значений. Для получения (комплексного) чисто верхнетреугольного разложения Шура из вещественного квазитреугольного разложения можно использовать Schur{Complex}(schur(A)).

При итерации декомпозиции создаются компоненты F.T, F.Z и F.values.

Примеры

julia> A = [5. 7.; -2. -4.]
2×2 Matrix{Float64}:
  5.0   7.0
 -2.0  -4.0

julia> F = schur(A)
Schur{Float64, Matrix{Float64}, Vector{Float64}}
T factor:
2×2 Matrix{Float64}:
 3.0   9.0
 0.0  -2.0
Z factor:
2×2 Matrix{Float64}:
  0.961524  0.274721
 -0.274721  0.961524
eigenvalues:
2-element Vector{Float64}:
  3.0
 -2.0

julia> F.vectors * F.Schur * F.vectors'
2×2 Matrix{Float64}:
  5.0   7.0
 -2.0  -4.0

julia> t, z, vals = F; # деструктурирование через итерацию

julia> t == F.T && z == F.Z && vals == F.values
true

schur(A, B) -> F::GeneralizedSchur

Вычисляет обобщенное разложение Шура (или QZ-разложение) матриц A и B. (Квази-)треугольные множители Шура можно получить из объекта Schur F с помощью F.S и F.T, левые унитарные/ортогональные векторы Шура можно получить с помощью F.left или F.Q, а правые унитарные/ортогональные векторы Шура можно получить с помощью F.right или F.Z, так что A=F.left*F.S*F.right' и B=F.left*F.T*F.right'. Обобщенные собственные значения матриц A и B можно получить с помощью F.α./F.β.

При итерации декомпозиции создаются компоненты F.S, F.T, F.Q, F.Z, F.α и F.β.

# LinearAlgebra.schur! — Function

schur!(A) -> F::Schur

То же, что и schur, но использует входной аргумент A в качестве рабочей области.

Примеры

julia> A = [5. 7.; -2. -4.]
2×2 Matrix{Float64}:
  5.0   7.0
 -2.0  -4.0

julia> F = schur!(A)
Schur{Float64, Matrix{Float64}, Vector{Float64}}
T factor:
2×2 Matrix{Float64}:
 3.0   9.0
 0.0  -2.0
Z factor:
2×2 Matrix{Float64}:
  0.961524  0.274721
 -0.274721  0.961524
eigenvalues:
2-element Vector{Float64}:
  3.0
 -2.0

julia> A
2×2 Matrix{Float64}:
 3.0   9.0
 0.0  -2.0

schur!(A::StridedMatrix, B::StridedMatrix) -> F::GeneralizedSchur

То же, что и schur, но использует входные матрицы A и B в качестве рабочей области.

# LinearAlgebra.ordschur — Function

ordschur(F::Schur, select::Union{Vector{Bool},BitVector}) -> F::Schur

Переупорядочивает разложение Шура F матрицы A = Z*T*Z' в соответствии с логическим массивом select, возвращая переупорядоченный объект разложения F. Выбранные собственные значения появляются на ведущей диагонали F.Schur, а соответствующие ведущие столбцы F.vectors образуют ортогональную/унитарную основу соответствующего правого инвариантного подпространства. В реальном случае комплексно сопряженная пара собственных значений должна быть либо включена, либо исключена с помощью select.

ordschur(F::GeneralizedSchur, select::Union{Vector{Bool},BitVector}) -> F::GeneralizedSchur

Переупорядочивает обобщенное разложение Шура F пары матрицы (A, B) = (Q*S*Z', Q*T*Z') в соответствии с логическим массивом select и возвращает объект GeneralizedSchur F. Выбранные собственные значения появляются на ведущей диагонали F.S и F.T, а левые и правые ортогональные/унитарные векторы Шура переупорядочиваются, так что (A, B) = F.Q*(F.S, F.T)*F.Z' по-прежнему верно, а обобщенные собственные значения матриц A и B по-прежнему можно получить с помощью F.α./F.β.

# LinearAlgebra.ordschur! — Function

ordschur!(F::Schur, select::Union{Vector{Bool},BitVector}) -> F::Schur

То же, что и ordschur, но перезаписывает разложение F.

ordschur!(F::GeneralizedSchur, select::Union{Vector{Bool},BitVector}) -> F::GeneralizedSchur

То же, что и ordschur, но перезаписывает разложение F.

# LinearAlgebra.SVD — Type

SVD <: Factorization

Тип разложения матрицы для сингулярной декомпозиции (SVD) матрицы A. Это возвращаемый тип svd(_), соответствующей функции разложения матрицы.

Если F::SVD является объектом разложения, U, S, V и Vt можно получить с помощью F.U, F.S, F.V и F.Vt, так что A = U * Diagonal(S) * Vt. Сингулярные значения в S отсортированы в порядке убывания.

При итерации декомпозиции создаются компоненты U, S и V.

Примеры

julia> A = [1. 0. 0. 0. 2.; 0. 0. 3. 0. 0.; 0. 0. 0. 0. 0.; 0. 2. 0. 0. 0.]
4×5 Matrix{Float64}:
 1.0  0.0  0.0  0.0  2.0
 0.0  0.0  3.0  0.0  0.0
 0.0  0.0  0.0  0.0  0.0
 0.0  2.0  0.0  0.0  0.0

julia> F = svd(A)
SVD{Float64, Float64, Matrix{Float64}, Vector{Float64}}
U factor:
4×4 Matrix{Float64}:
 0.0  1.0   0.0  0.0
 1.0  0.0   0.0  0.0
 0.0  0.0   0.0  1.0
 0.0  0.0  -1.0  0.0
singular values:
4-element Vector{Float64}:
 3.0
 2.23606797749979
 2.0
 0.0
Vt factor:
4×5 Matrix{Float64}:
 -0.0        0.0  1.0  -0.0  0.0
  0.447214   0.0  0.0   0.0  0.894427
  0.0       -1.0  0.0   0.0  0.0
  0.0        0.0  0.0   1.0  0.0

julia> F.U * Diagonal(F.S) * F.Vt
4×5 Matrix{Float64}:
 1.0  0.0  0.0  0.0  2.0
 0.0  0.0  3.0  0.0  0.0
 0.0  0.0  0.0  0.0  0.0
 0.0  2.0  0.0  0.0  0.0

julia> u, s, v = F; # деструктурирование через итерацию

julia> u == F.U && s == F.S && v == F.V
true

# LinearAlgebra.GeneralizedSVD — Type

GeneralizedSVD <: Factorization

Тип разложения матрицы для обобщенной сингулярной декомпозиции (SVD) двух матриц A и B, так что A = F.U*F.D1*F.R0*F.Q' и B = F.V*F.D2*F.R0*F.Q'. Это возвращаемый тип svd(_, _), соответствующей функции разложения матрицы.

Для матрицы M на N A и матрицы P на N B

U является ортогональной матрицей M на M;
V является ортогональной матрицей P на P;
Q является ортогональной матрицей N на N;
D1 является диагональной матрицей M на (K+L) с единицами в первых K элементах;
D2 является матрицей P на (K+L), правый верхний блок которой L на L является диагональным;
R0 является матрицей (K+L) на N, крайний правый блок которой (K+L) на (K+L), представляет собой несингулярный верхний блок треугольной формы;

K+L — это эффективный числовой ранг матрицы [A; B].

При итерации декомпозиции создаются компоненты U, V, Q, D1, D2 и R0.

Элементы F.D1 и F.D2 связаны между собой, как объясняется в документации по LAPACK для обобщенной SVD и подпрограммы xGGSVD3, которая вызывается ниже (в LAPACK 3.6.0 и более поздних версиях).

Примеры

julia> A = [1. 0.; 0. -1.]
2×2 Matrix{Float64}:
 1.0   0.0
 0.0  -1.0

julia> B = [0. 1.; 1. 0.]
2×2 Matrix{Float64}:
 0.0  1.0
 1.0  0.0

julia> F = svd(A, B)
GeneralizedSVD{Float64, Matrix{Float64}, Float64, Vector{Float64}}
U factor:
2×2 Matrix{Float64}:
 1.0  0.0
 0.0  1.0
V factor:
2×2 Matrix{Float64}:
 -0.0  -1.0
  1.0   0.0
Q factor:
2×2 Matrix{Float64}:
 1.0  0.0
 0.0  1.0
D1 factor:
2×2 Matrix{Float64}:
 0.707107  0.0
 0.0       0.707107
D2 factor:
2×2 Matrix{Float64}:
 0.707107  0.0
 0.0       0.707107
R0 factor:
2×2 Matrix{Float64}:
 1.41421   0.0
 0.0      -1.41421

julia> F.U*F.D1*F.R0*F.Q'
2×2 Matrix{Float64}:
 1.0   0.0
 0.0  -1.0

julia> F.V*F.D2*F.R0*F.Q'
2×2 Matrix{Float64}:
 -0.0  1.0
  1.0  0.0

# LinearAlgebra.svd — Function

svd(A; full::Bool = false, alg::Algorithm = default_svd_alg(A)) -> SVD

Вычисляет сингулярную декомпозицию (SVD) матрицы A и возвращает объект SVD.

U, S, V и Vt можно получить из разложения F с помощью F.U, F.S, F.V и F.Vt, так что A = U * Diagonal(S) * Vt. Алгоритм выдает Vt, следовательно, Vt извлекать эффективнее, чем V. Сингулярные значения в S отсортированы в порядке убывания.

При итерации декомпозиции создаются компоненты U, S и V.

Если full = false (по умолчанию), возвращается «тонкая» сингулярная декомпозиция. Для матрицы A размером M \times N в полном разложении U имеет размер , а V — , тогда как в «тонком» разложении U имеет размер M \times K, а V — , где — это число сингулярных значений.

Если alg = DivideAndConquer(), для вычисления SVD используется алгоритм «разделяй и властвуй». Другим (обычно более медленным, но более точным) вариантом является alg = QRIteration().

Совместимость

Julia 1.3 Для именованного аргумента alg требуется версия Julia не ниже 1.3.

Примеры

julia> A = rand(4,3);

julia> F = svd(A); # Сохраняет объект разложения

julia> A ≈ F.U * Diagonal(F.S) * F.Vt
true

julia> U, S, V = F; # деструктурирование через итерацию

julia> A ≈ U * Diagonal(S) * V'
true

julia> Uonly, = svd(A); # Сохраняет только U

julia> Uonly == U
true

svd(A, B) -> GeneralizedSVD

Вычисляет обобщенную декомпозицию SVD матриц A и B, возвращая объект разложения GeneralizedSVD F, так что [A;B] = [F.U * F.D1; F.V * F.D2] * F.R0 * F.Q'

U является ортогональной матрицей M на M;
V является ортогональной матрицей P на P;
Q является ортогональной матрицей N на N;
D1 является диагональной матрицей M на (K+L) с единицами в первых K элементах;
D2 является матрицей P на (K+L), правый верхний блок которой L на L является диагональным;
R0 является матрицей (K+L) на N, крайний правый блок которой (K+L) на (K+L), представляет собой несингулярный верхний блок треугольной формы;

K+L — это эффективный числовой ранг матрицы [A; B].

При итерации декомпозиции создаются компоненты U, V, Q, D1, D2 и R0.

Обобщенная SVD используется в приложениях, например, когда требуется сравнить, какое количество принадлежит A, а какое — B, как в случае сравнения генома человека и дрожжей, или сигнала и шума, или между кластерами и в составе кластеров. (См. обсуждение Эдельмана (Edelman) и Ванга (Wang): https://arxiv.org/abs/1901.00485)

Она раскладывает [A; B] на [UC; VS]H, где [UC; VS] — естественная ортогональная база для пространства столбцов [A; B], а H = RQ' — естественная неортогональная база для пространства строк [A;B], где верхние строки наиболее тесно связаны с матрицей A, а нижние — с матрицей B. Мультикосинусные/синусоидальные матрицы C и S обеспечивают мультиизмерение объема A по отношению к объему B, а U и V указывают направления, в которых они измеряются.

Примеры

julia> A = randn(3,2); B=randn(4,2);

julia> F = svd(A, B);

julia> U,V,Q,C,S,R = F;

julia> H = R*Q';

julia> [A; B] ≈ [U*C; V*S]*H
true

julia> [A; B] ≈ [F.U*F.D1; F.V*F.D2]*F.R0*F.Q'
true

julia> Uonly, = svd(A,B);

julia> U == Uonly
true

# LinearAlgebra.svd! — Function

svd!(A; full::Bool = false, alg::Algorithm = default_svd_alg(A)) -> SVD

svd! — это то же, что и svd, но позволяет экономить дисковое пространство, перезаписывая входную матрицу A вместо создания копии. Подробнее см. в документации по svd.

svd!(A, B) -> GeneralizedSVD

Функция svd! аналогична svd, но изменяет аргументы A и B на месте вместо создания копий. Подробнее см. в документации по svd.

# LinearAlgebra.svdvals — Function

svdvals(A)

Возвращает сингулярные значения матрицы A в порядке убывания.

Примеры

julia> A = [1. 0. 0. 0. 2.; 0. 0. 3. 0. 0.; 0. 0. 0. 0. 0.; 0. 2. 0. 0. 0.]
4×5 Matrix{Float64}:
 1.0  0.0  0.0  0.0  2.0
 0.0  0.0  3.0  0.0  0.0
 0.0  0.0  0.0  0.0  0.0
 0.0  2.0  0.0  0.0  0.0

julia> svdvals(A)
4-element Vector{Float64}:
 3.0
 2.23606797749979
 2.0
 0.0

svdvals(A, B)

Возвращает обобщенные сингулярные значения из обобщенной сингулярной декомпозиции матриц A и B. См. также описание svd.

Примеры

julia> A = [1. 0.; 0. -1.]
2×2 Matrix{Float64}:
 1.0   0.0
 0.0  -1.0

julia> B = [0. 1.; 1. 0.]
2×2 Matrix{Float64}:
 0.0  1.0
 1.0  0.0

julia> svdvals(A, B)
2-element Vector{Float64}:
 1.0
 1.0

# LinearAlgebra.svdvals! — Function

svdvals!(A)

Возвращает сингулярные значения матрицы A, экономя пространство путем перезаписи входных данных. См. также описание svdvals и svd.

svdvals!(A, B)

Возвращает обобщенные сингулярные значения из обобщенной сингулярной декомпозиции матриц A и B, экономя пространство путем перезаписи A и B. См. также описание svd и svdvals.

# LinearAlgebra.Givens — Type

LinearAlgebra.Givens(i1,i2,c,s) -> G

Линейный оператор вращения Гивенса. Поля c и s представляют косинус и синус угла поворота соответственно. Тип Givens поддерживает левое умножение G*A и правое умножение с сопряженным транспонированием A*G'. У типа нет размера (size), поэтому он может быть перемножен с матрицами произвольного размера при условии, что i2<=size(A,2) для G*A или i2<=size(A,1) для A*G'.

См. также описание givens.

# LinearAlgebra.givens — Function

givens(f::T, g::T, i1::Integer, i2::Integer) where {T} -> (G::Givens, r::T)

Вычисляет вращение Гивенса G и скаляр r, так что для любого вектора x, где

x[i1] = f
x[i2] = g

результат умножения

y = G*x

имеет свойство, когда

y[i1] = r
y[i2] = 0

См. также описание LinearAlgebra.Givens.

givens(A::AbstractArray, i1::Integer, i2::Integer, j::Integer) -> (G::Givens, r)

Вычисляет вращение Гивенса G и скаляр r, так что результат умножения

B = G*A

имеет свойство, когда

B[i1,j] = r
B[i2,j] = 0

См. также описание LinearAlgebra.Givens.

givens(x::AbstractVector, i1::Integer, i2::Integer) -> (G::Givens, r)

Вычисляет вращение Гивенса G и скаляр r, так что результат умножения

B = G*x

имеет свойство, когда

B[i1] = r
B[i2] = 0

См. также описание LinearAlgebra.Givens.

# LinearAlgebra.triu — Function

triu(M, k::Integer)

Возвращает верхний треугольник матрицы M начиная с k-й наддиагонали.

Примеры

julia> a = fill(1.0, (4,4))
4×4 Matrix{Float64}:
 1.0  1.0  1.0  1.0
 1.0  1.0  1.0  1.0
 1.0  1.0  1.0  1.0
 1.0  1.0  1.0  1.0

julia> triu(a,3)
4×4 Matrix{Float64}:
 0.0  0.0  0.0  1.0
 0.0  0.0  0.0  0.0
 0.0  0.0  0.0  0.0
 0.0  0.0  0.0  0.0

julia> triu(a,-3)
4×4 Matrix{Float64}:
 1.0  1.0  1.0  1.0
 1.0  1.0  1.0  1.0
 1.0  1.0  1.0  1.0
 1.0  1.0  1.0  1.0

# LinearAlgebra.triu! — Function

triu!(M)

Верхний треугольник матрицы, перезаписывающий M в процессе. См. также описание triu.

triu!(M, k::Integer)

Возвращает верхний треугольник матрицы M начиная с k-й наддиагонали, перезаписывая M в процессе.

Примеры

julia> M = [1 2 3 4 5; 1 2 3 4 5; 1 2 3 4 5; 1 2 3 4 5; 1 2 3 4 5]
5×5 Matrix{Int64}:
 1  2  3  4  5
 1  2  3  4  5
 1  2  3  4  5
 1  2  3  4  5
 1  2  3  4  5

julia> triu!(M, 1)
5×5 Matrix{Int64}:
 0  2  3  4  5
 0  0  3  4  5
 0  0  0  4  5
 0  0  0  0  5
 0  0  0  0  0

# LinearAlgebra.tril — Function

tril(M, k::Integer)

Возвращает нижний треугольник матрицы M начиная с k-й наддиагонали.

Примеры

julia> a = fill(1.0, (4,4))
4×4 Matrix{Float64}:
 1.0  1.0  1.0  1.0
 1.0  1.0  1.0  1.0
 1.0  1.0  1.0  1.0
 1.0  1.0  1.0  1.0

julia> tril(a,3)
4×4 Matrix{Float64}:
 1.0  1.0  1.0  1.0
 1.0  1.0  1.0  1.0
 1.0  1.0  1.0  1.0
 1.0  1.0  1.0  1.0

julia> tril(a,-3)
4×4 Matrix{Float64}:
 0.0  0.0  0.0  0.0
 0.0  0.0  0.0  0.0
 0.0  0.0  0.0  0.0
 1.0  0.0  0.0  0.0

# LinearAlgebra.tril! — Function

tril!(M)

Нижний треугольник матрицы, перезаписывающий M в процессе. См. также описание tril.

tril!(M, k::Integer)

Возвращает нижний треугольник матрицы M, начиная с k-й наддиагонали, перезаписывая M в процессе.

Примеры

julia> M = [1 2 3 4 5; 1 2 3 4 5; 1 2 3 4 5; 1 2 3 4 5; 1 2 3 4 5]
5×5 Matrix{Int64}:
 1  2  3  4  5
 1  2  3  4  5
 1  2  3  4  5
 1  2  3  4  5
 1  2  3  4  5

julia> tril!(M, 2)
5×5 Matrix{Int64}:
 1  2  3  0  0
 1  2  3  4  0
 1  2  3  4  5
 1  2  3  4  5
 1  2  3  4  5

# LinearAlgebra.diagind — Function

diagind(M::AbstractMatrix, k::Integer = 0, indstyle::IndexStyle = IndexLinear())
diagind(M::AbstractMatrix, indstyle::IndexStyle = IndexLinear())

Диапазон AbstractRange, задающий индексы k-й диагонали матрицы M. При необходимости можно указать стиль индекса, который определяет тип возвращаемого диапазона. Если indstyle isa IndexLinear (по умолчанию), возвращается AbstractRange{Integer}. С другой стороны, если indstyle isa IndexCartesian, то возвращается AbstractRange{CartesianIndex{2}}.

Если аргумент k не задан, предполагается значение 0 (что соответствует главной диагонали).

См. также описание diag, diagm, Diagonal.

Примеры

julia> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
3×3 Matrix{Int64}:
 1  2  3
 4  5  6
 7  8  9

julia> diagind(A, -1)
2:4:6

julia> diagind(A, IndexCartesian())
StepRangeLen(CartesianIndex(1, 1), CartesianIndex(1, 1), 3)

Совместимость

Julia 1.11 Для указания IndexStyle требуется версия Julia не ниже 1.11.

# LinearAlgebra.diag — Function

diag(M, k::Integer=0)

k-я диагональ матрицы в виде вектора.

См. также описание diagm, diagind, Diagonal и isdiag.

Примеры

julia> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
3×3 Matrix{Int64}:
 1  2  3
 4  5  6
 7  8  9

julia> diag(A,1)
2-element Vector{Int64}:
 2
 6

# LinearAlgebra.diagm — Function

diagm(kv::Pair{<:Integer,<:AbstractVector}...)
diagm(m::Integer, n::Integer, kv::Pair{<:Integer,<:AbstractVector}...)

Создает матрицу из пар (Pair) диагоналей и векторов. Вектор kv.second будет размещен на диагонали kv.first. По умолчанию матрица квадратная, и ее размер выводится из kv, но можно задать неквадратную матрицу размером m×n (с заполнением нулями по мере необходимости), передав m,n в качестве первых аргументов. Для повторяющихся диагональных индексов kv.first будут добавлены значения в соответствующих векторах kv.second.

diagm создает полную матрицу. Если вам нужны версии с экономичным хранением и быстрой арифметикой, см. описание Diagonal, Bidiagonal, Tridiagonal и SymTridiagonal.

Примеры

julia> diagm(1 => [1,2,3])
4×4 Matrix{Int64}:
 0  1  0  0
 0  0  2  0
 0  0  0  3
 0  0  0  0

julia> diagm(1 => [1,2,3], -1 => [4,5])
4×4 Matrix{Int64}:
 0  1  0  0
 4  0  2  0
 0  5  0  3
 0  0  0  0

julia> diagm(1 => [1,2,3], 1 => [1,2,3])
4×4 Matrix{Int64}:
 0  2  0  0
 0  0  4  0
 0  0  0  6
 0  0  0  0

diagm(v::AbstractVector)
diagm(m::Integer, n::Integer, v::AbstractVector)

Создает матрицу, диагональными элементами которой являются элементы вектора. По умолчанию матрица квадратная, и ее размер задается с помощью length(v), но можно задать неквадратную матрицу размером m×n, передав m,n в качестве первых аргументов.

Примеры

julia> diagm([1,2,3])
3×3 Matrix{Int64}:
 1  0  0
 0  2  0
 0  0  3

# LinearAlgebra.rank — Function

rank(::QRSparse{Tv,Ti}) -> Ti

Возвращает ранг QR-разложения.

rank(S::SparseMatrixCSC{Tv,Ti}; [tol::Real]) -> Ti

Определяет ранг S, вычисляя QR-разложение. Значения меньше tol считаются нулевыми. См. руководство по SPQR.

rank(A::AbstractMatrix; atol::Real=0, rtol::Real=atol>0 ? 0 : n*ϵ)
rank(A::AbstractMatrix, rtol::Real)

Вычисляет числовой ранг матрицы путем подсчета количества выходных значений svdvals(A) больше чем max(atol, rtol*σ₁), где σ₁ является наибольшим вычисленным сингулярным значением матрицы A. atol и rtol представляют собой соответственно абсолютный и относительный допуски. Относительный допуск по умолчанию — n*ϵ, где n представляет собой наименьшее измерение матрицы A, а ϵ является eps типа элементов матрицы A.

Note Числовой ранг может быть чувствительной и неточной характеристикой плохо обусловленных матриц с сингулярными значениями, близкими к пороговому допуску max(atol, rtol*σ₁). В таких случаях небольшие возмущения при вычислении сингулярных значений или в матрице могут изменить результат rank, выведя одно или несколько сингулярных значений за пороговое значение. Эти отклонения могут возникать даже из-за различий в ошибках с плавающей запятой между различными версиями Julia, архитектурами, компиляторами или операционными системами.

Совместимость

Julia 1.1 Для именованных аргументов atol и rtol требуется версия Julia не ниже 1.1. В Julia 1.0 rtol является позиционным аргументом, который будет устаревшим (нерекомендуемым) в Julia 2.0.

Примеры

julia> rank(Matrix(I, 3, 3))
3

julia> rank(diagm(0 => [1, 0, 2]))
2

julia> rank(diagm(0 => [1, 0.001, 2]), rtol=0.1)
2

julia> rank(diagm(0 => [1, 0.001, 2]), rtol=0.00001)
3

julia> rank(diagm(0 => [1, 0.001, 2]), atol=1.5)
1

rank(S::SVD{<:Any, T}; atol::Real=0, rtol::Real=min(n,m)*ϵ) where {T}

Compute the numerical rank of the SVD object S by counting how many singular values are greater than max(atol, rtol*σ₁) where σ₁ is the largest calculated singular value. This is equivalent to the default rank(::AbstractMatrix) method except that it re-uses an existing SVD factorization. atol and rtol are the absolute and relative tolerances, respectively. The default relative tolerance is n*ϵ, where n is the size of the smallest dimension of UΣV' and ϵ is the eps of the element type of S.

Совместимость

Julia 1.12 The rank(::SVD) method requires at least Julia 1.12.

rank(A::QRPivoted{<:Any, T}; atol::Real=0, rtol::Real=min(n,m)*ϵ) where {T}

Compute the numerical rank of the QR factorization A by counting how many diagonal entries of A.factors are greater than max(atol, rtol*Δ₁) where Δ₁ is the largest calculated such entry. This is similar to the rank(::AbstractMatrix) method insofar as it counts the number of (numerically) nonzero coefficients from a matrix factorization, although the default method uses an SVD instead of a QR factorization. Like rank(::SVD), this method also re-uses an existing matrix factorization.

Using a QR factorization to compute rank should typically produce the same result as using SVD, although it may be more prone to overestimating the rank in pathological cases where the matrix is ill-conditioned. It is also worth noting that it is generally faster to compute a QR factorization than it is to compute an SVD, so this method may be preferred when performance is a concern.

atol and rtol are the absolute and relative tolerances, respectively. The default relative tolerance is n*ϵ, where n is the size of the smallest dimension of A and ϵ is the eps of the element type of A.

Совместимость

Julia 1.12 The rank(::QRPivoted) method requires at least Julia 1.12.

# LinearAlgebra.norm — Function

norm(A, p::Real=2)

Для любого итерируемого контейнера чисел A (включая массивы любой размерности) или любого типа элементов, для которого определено norm, вычисляет p-норму (по умолчанию p=2), как если бы объект A был вектором соответствующей длины.

p-норма определяется следующим образом:

где — элементы , $

a_i

$ — норма (norm) , а — длина . Поскольку p-норма вычисляется с помощью норм (norm) элементов A, p-норма вектора векторов не может интерпретироваться в общем случае как блочный вектор при p != 2.

p может принимать любое числовое значение (хотя не все значения дают математически допустимую векторную норму). В частности, norm(A, Inf) возвращает наибольшее значение в abs.(A), тогда как norm(A, -Inf) возвращает наименьшее значение. Если A — матрица и p=2, то она эквивалентна норме Фробениуса.

Второй аргумент p необязательно является частью интерфейса для norm, т. е. пользовательский тип может реализовывать norm(A) только без второго аргумента.

Для вычисления операторной нормы матрицы используйте opnorm.

Примеры

julia> v = [3, -2, 6]
3-element Vector{Int64}:
  3
 -2
  6

julia> norm(v)
7.0

julia> norm(v, 1)
11.0

julia> norm(v, Inf)
6.0

julia> norm([1 2 3; 4 5 6; 7 8 9])
16.881943016134134

julia> norm([1 2 3 4 5 6 7 8 9])
16.881943016134134

julia> norm(1:9)
16.881943016134134

julia> norm(hcat(v,v), 1) == norm(vcat(v,v), 1) != norm([v,v], 1)
true

julia> norm(hcat(v,v), 2) == norm(vcat(v,v), 2) == norm([v,v], 2)
true

julia> norm(hcat(v,v), Inf) == norm(vcat(v,v), Inf) != norm([v,v], Inf)
true

norm(x::Number, p::Real=2)

Для чисел возвращает $\left(

^p \right)^{1/p}$.

Примеры

julia> norm(2, 1)
2.0

julia> norm(-2, 1)
2.0

julia> norm(2, 2)
2.0

julia> norm(-2, 2)
2.0

julia> norm(2, Inf)
2.0

julia> norm(-2, Inf)
2.0

# LinearAlgebra.opnorm — Function

opnorm(A::AbstractMatrix, p::Real=2)

Вычисляет операторную норму (или матричную норму), порожденную векторной p-нормой, где допустимыми значениями p являются 1, 2 или Inf. (Обратите внимание, что для разреженных матриц p=2 в настоящее время не реализуется.) Для вычисления нормы Фробениуса используйте norm.

Если p=1, операторной нормой является максимальная абсолютная сумма столбцов матрицы A:

где — элементы матрицы , а и — ее измерения.

Если p=2, операторной нормой является спектральная норма, равная наибольшему сингулярному значению матрицы A.

Если p=Inf, операторной нормой является максимальная абсолютная сумма строк матрицы A:

Примеры

julia> A = [1 -2 -3; 2 3 -1]
2×3 Matrix{Int64}:
 1  -2  -3
 2   3  -1

julia> opnorm(A, Inf)
6.0

julia> opnorm(A, 1)
5.0

opnorm(x::Number, p::Real=2)

Для чисел возвращает $\left(

^p \right)^{1/p}$. Это эквивалентно norm.

opnorm(A::Adjoint{<:Any,<:AbstractVector}, q::Real=2)
opnorm(A::Transpose{<:Any,<:AbstractVector}, q::Real=2)

Для сопряженных/транспонированных инкапсулированных векторов возвращает операторную -норму A, которая эквивалентна p-норме со значением p = q/(q-1). Они совпадают в точке p = q = 2. Используйте norm для вычисления p-нормы A в виде вектора.

Разница в норме между векторным пространством и его двойником возникает для сохранения связи между двойственностью и точечным произведением, а результат согласуется с операторной p-нормой матрицы 1 × n.

Примеры

julia> v = [1; im];

julia> vc = v';

julia> opnorm(vc, 1)
1.0

julia> norm(vc, 1)
2.0

julia> norm(v, 1)
2.0

julia> opnorm(vc, 2)
1.4142135623730951

julia> norm(vc, 2)
1.4142135623730951

julia> norm(v, 2)
1.4142135623730951

julia> opnorm(vc, Inf)
2.0

julia> norm(vc, Inf)
1.0

julia> norm(v, Inf)
1.0

# LinearAlgebra.normalize! — Function

normalize!(a::AbstractArray, p::Real=2)

Нормализует массив a на месте, так что его p-норма равна единице, то есть norm(a, p) == 1. См. также описание normalize и norm.

# LinearAlgebra.normalize — Function

normalize(a, p::Real=2)

Нормализует массив a так, что его p-норма равна единице, то есть norm(a, p) == 1. Для скалярных значений действует аналогично функции sign(a) за исключением того, что normalize(0) = NaN. См. также описание normalize!, norm и sign.

Примеры

julia> a = [1,2,4];

julia> b = normalize(a)
3-element Vector{Float64}:
 0.2182178902359924
 0.4364357804719848
 0.8728715609439696

julia> norm(b)
1.0

julia> c = normalize(a, 1)
3-element Vector{Float64}:
 0.14285714285714285
 0.2857142857142857
 0.5714285714285714

julia> norm(c, 1)
1.0

julia> a = [1 2 4 ; 1 2 4]
2×3 Matrix{Int64}:
 1  2  4
 1  2  4

julia> norm(a)
6.48074069840786

julia> normalize(a)
2×3 Matrix{Float64}:
 0.154303  0.308607  0.617213
 0.154303  0.308607  0.617213

julia> normalize(3, 1)
1.0

julia> normalize(-8, 1)
-1.0

julia> normalize(0, 1)
NaN

# LinearAlgebra.cond — Function

cond(M, p::Real=2)

Число обусловленности матрицы M, вычисленное с помощью операторной p-нормы. Допустимыми значениями для p являются 1, 2 (по умолчанию) или Inf.

# LinearAlgebra.condskeel — Function

condskeel(M, [x, p::Real=Inf])

Число обусловленности Шкееля матрицы M, дополнительно с учетом вектора x, вычисляемое с помощью операторной p-нормы. обозначает матрицу (поэлементных) абсолютных значений ; . Допустимыми значениями для p являются 1, 2 или Inf (по умолчанию).

В литературе эта величина также известна как число обусловленности Бауэра, относительное число обусловленности или компонентное относительное число обусловленности.

# LinearAlgebra.tr — Function

tr(M)

След матрицы. Суммирует диагональные элементы матрицы M.

Примеры

julia> A = [1 2; 3 4]
2×2 Matrix{Int64}:
 1  2
 3  4

julia> tr(A)
5

# LinearAlgebra.det — Function

det(M)

Определитель матрицы.

См. также описание logdet и logabsdet.

Примеры

julia> M = [1 0; 2 2]
2×2 Matrix{Int64}:
 1  0
 2  2

julia> det(M)
2.0

# LinearAlgebra.logdet — Function

logdet(M)

Логарифм определителя матрицы. Эквивалентно функции log(det(M)), но может обеспечивать повышенную точность и позволяет избежать переполнения или выхода за нижнюю границу.

Примеры

julia> M = [1 0; 2 2]
2×2 Matrix{Int64}:
 1  0
 2  2

julia> logdet(M)
0.6931471805599453

julia> logdet(Matrix(I, 3, 3))
0.0

# LinearAlgebra.logabsdet — Function

logabsdet(M)

Логарифм абсолютного значения определителя матрицы. Эквивалентно функции (log(abs(det(M))), sign(det(M))), но может обеспечивать повышенную точность и (или) скорость.

Примеры

julia> A = [-1. 0.; 0. 1.]
2×2 Matrix{Float64}:
 -1.0  0.0
  0.0  1.0

julia> det(A)
-1.0

julia> logabsdet(A)
(0.0, -1.0)

julia> B = [2. 0.; 0. 1.]
2×2 Matrix{Float64}:
 2.0  0.0
 0.0  1.0

julia> det(B)
2.0

julia> logabsdet(B)
(0.6931471805599453, 1.0)

# Base.inv — Method

inv(M)

Инверсия матрицы. Вычисляет матрицу N такую, что M * N = I, где I является матрицей тождественности. Вычисляется путем решения левого деления N = M \ I.

Примеры

julia> M = [2 5; 1 3]
2×2 Matrix{Int64}:
 2  5
 1  3

julia> N = inv(M)
2×2 Matrix{Float64}:
  3.0  -5.0
 -1.0   2.0

julia> M*N == N*M == Matrix(I, 2, 2)
true

# LinearAlgebra.pinv — Function

pinv(M; atol::Real=0, rtol::Real=atol>0 ? 0 : n*ϵ)
pinv(M, rtol::Real) = pinv(M; rtol=rtol) # to be deprecated in Julia 2.0

Вычисляет псевдоинверсию Мура-Пенроуза.

Для матриц M с элементами с плавающей запятой эффективным способом вычисления псевдоинверсии является инверсирование только сингулярных значений больше max(atol, rtol*σ₁), где σ₁ является наибольшим сингулярным значением матрицы M.

Оптимальный выбор абсолютного (atol) и относительного допусков (rtol) зависит как от значения матрицы M, так и от предполагаемого применения псевдоинверсии. Относительный допуск по умолчанию — n*ϵ, где n представляет собой наименьшее измерение матрицы M, а ϵ является eps типа элементов матрицы M.

Для инверсирования плотных слабо обусловленных матриц по методу наименьших квадратов рекомендуется использовать rtol = sqrt(eps(real(float(oneunit(eltype(M)))))).

Дополнительные сведения: ^[7], ^[8], ^[9], ^[10].

Примеры

julia> M = [1.5 1.3; 1.2 1.9]
2×2 Matrix{Float64}:
 1.5  1.3
 1.2  1.9

julia> N = pinv(M)
2×2 Matrix{Float64}:
  1.47287   -1.00775
 -0.930233   1.16279

julia> M * N
2×2 Matrix{Float64}:
 1.0          -2.22045e-16
 4.44089e-16   1.0

# LinearAlgebra.nullspace — Function

nullspace(M; atol::Real=0, rtol::Real=atol>0 ? 0 : n*ϵ)
nullspace(M, rtol::Real) = nullspace(M; rtol=rtol) # to be deprecated in Julia 2.0

Вычисляет базис для нуль-пространства матрицы M, включая сингулярные векторы матрицы M, сингулярные значения которых имеют величины меньше max(atol, rtol*σ₁), где σ₁ является наибольшим сингулярным значением матрицы M.

Относительный допуск по умолчанию rtol — n*ϵ, где n является размером наименьшего измерения матрицы M, а ϵ представляет собой машинный эпсилон (eps) типа элементов матрицы M.

Примеры

julia> M = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 0]
3×3 Matrix{Int64}:
 1  0  0
 0  1  0
 0  0  0

julia> nullspace(M)
3×1 Matrix{Float64}:
 0.0
 0.0
 1.0

julia> nullspace(M, rtol=3)
3×3 Matrix{Float64}:
 0.0  1.0  0.0
 1.0  0.0  0.0
 0.0  0.0  1.0

julia> nullspace(M, atol=0.95)
3×1 Matrix{Float64}:
 0.0
 0.0
 1.0

# Base.kron — Function

kron(A, B)

Вычисляет произведение Кронекера двух векторов, матриц или чисел.

Для вещественных векторов v и w произведение Кронекера связано с внешним произведением следующим образом: kron(v,w) == vec(w * transpose(v)) или w * transpose(v) == reshape(kron(v,w), (length(w), length(v))). Обратите внимание, что порядок v и w слева и справа в этих выражениях различается (из-за хранения по столбцам). Для комплексных векторов внешнее произведение w * v' также различается по сопряжению v.

Примеры

julia> A = [1 2; 3 4]
2×2 Matrix{Int64}:
 1  2
 3  4

julia> B = [im 1; 1 -im]
2×2 Matrix{Complex{Int64}}:
 0+1im  1+0im
 1+0im  0-1im

julia> kron(A, B)
4×4 Matrix{Complex{Int64}}:
 0+1im  1+0im  0+2im  2+0im
 1+0im  0-1im  2+0im  0-2im
 0+3im  3+0im  0+4im  4+0im
 3+0im  0-3im  4+0im  0-4im

julia> v = [1, 2]; w = [3, 4, 5];

julia> w*transpose(v)
3×2 Matrix{Int64}:
 3   6
 4   8
 5  10

julia> reshape(kron(v,w), (length(w), length(v)))
3×2 Matrix{Int64}:
 3   6
 4   8
 5  10

# Base.kron! — Function

kron!(C, A, B)

Вычисляет произведение Кронекера A и B и сохраняет результат в C, перезаписывая существующее содержимое C. Это выполняемая на месте версия kron.

Совместимость

Julia 1.6 Для этой функции требуется версия Julia не ниже 1.6.

s15"} where var"#s15"<:Union{Float32, Float64, ComplexF64, ComplexF32}}"> Base.exp — Method

exp(A::AbstractMatrix)

Вычисляет матричный экспоненциал A, определяемый следующим образом:

Для симметричной или эрмитовой матрицы A используется разложение по собственным значениям (eigen), в противном случае выбирается алгоритм масштабирования и возведения в квадрат (см. ^[11]).

Примеры

julia> A = Matrix(1.0I, 2, 2)
2×2 Matrix{Float64}:
 1.0  0.0
 0.0  1.0

julia> exp(A)
2×2 Matrix{Float64}:
 2.71828  0.0
 0.0      2.71828

# Base.cis — Method

cis(A::AbstractMatrix)

Более эффективный метод для exp(im*A) квадратной матрицы A (особенно если матрица A является эрмитовой (Hermitian) или вещественно-симметричной (Symmetric)).

См. также описание cispi, sincos и exp.

Совместимость

Julia 1.7 Поддержка использования cis с матрицами была добавлена в Julia 1.7.

Примеры

julia> cis([π 0; 0 π]) ≈ -I
true

# Base.:^ — Method

^(A::AbstractMatrix, p::Number)

Степень матрицы, эквивалент .

Примеры

julia> [1 2; 0 3]^3
2×2 Matrix{Int64}:
 1  26
 0  27

# Base.:^ — Method

^(b::Number, A::AbstractMatrix)

Матричный экспоненциал, эквивалент .

Совместимость

Julia 1.1 Поддержка возведения чисел типа Irrational (например, ℯ) в степень матрицы была добавлена в Julia 1.1.

Примеры

julia> 2^[1 2; 0 3]
2×2 Matrix{Float64}:
 2.0  6.0
 0.0  8.0

julia> ℯ^[1 2; 0 3]
2×2 Matrix{Float64}:
 2.71828  17.3673
 0.0      20.0855

# Base.log — Method

log(A::AbstractMatrix)

Если матрица A не имеет отрицательного вещественного собственного значения, вычисляет натуральный матричный логарифм A, т. е. уникальную матрицу такую, что и для всех собственных значений для . Если A имеет неположительные собственные значения, по возможности возвращается ненатуральная матричная функция.

Если матрица A является симметричной или эрмитовой, используется ее разложение по собственным значениям (eigen). Если матрица A является треугольной, применяется улучшенная версия метода обратного масштабирования и возведения в квадрат (см. ^[12] и ^[13]). Если матрица A является вещественной без собственных значений, вычисляется вещественная форма Шура. В противном случае вычисляется комплексная форма Шура. Затем для верхнего (квази)треугольного множителя используется верхний (квази)треугольный алгоритм в ^[13].

Примеры

julia> A = Matrix(2.7182818*I, 2, 2)
2×2 Matrix{Float64}:
 2.71828  0.0
 0.0      2.71828

julia> log(A)
2×2 Matrix{Float64}:
 1.0  0.0
 0.0  1.0

# Base.sqrt — Method

sqrt(x)

Возвращает .

Выдает ошибку DomainError при отрицательных аргументах типа Real. Используйте вместо этого комплексные отрицательные аргументы. Обратите внимание, что sqrt имеет точку ветвления на отрицательной вещественной оси.

Префиксный оператор √ эквивалентен sqrt.

См. также описание hypot.

Примеры

julia> sqrt(big(81))
9.0

julia> sqrt(big(-81))
ERROR: DomainError with -81.0:
NaN result for non-NaN input.
Stacktrace:
 [1] sqrt(::BigFloat) at ./mpfr.jl:501
[...]

julia> sqrt(big(complex(-81)))
0.0 + 9.0im

julia> sqrt(-81 - 0.0im)  # -0.0im находится ниже точки ветвления
0.0 - 9.0im

julia> .√(1:4)
4-element Vector{Float64}:
 1.0
 1.4142135623730951
 1.7320508075688772
 2.0

sqrt(A::AbstractMatrix)

Если матрица A не имеет отрицательных вещественных собственных значений, вычисляет натуральный квадратный корень матрицы A, то есть уникальную матрицу с собственными значениями, имеющими положительную вещественную часть, так что . В противном случае возвращается ненатуральный квадратный корень.

Если матрица A является вещественно-симметричной или эрмитовой, для вычисления квадратного корня используется ее разложение по собственным значениям (eigen). Для таких матриц собственные значения λ, которые из-за ошибок округления кажутся слегка отрицательными, рассматриваются как нулевые. Более точно, матрицы со всеми собственными значениями ≥ -rtol*(max |λ|) рассматриваются как полуопределенные (выдающие эрмитов квадратный корень), а отрицательные собственные значения принимаются за нуль. rtol является именованным аргументом для sqrt (только для эрмитовых или вещественно-симметричных матриц), который по умолчанию имеет машинную точность, масштабированную на size(A,1).

В противном случае квадратный корень определяется с помощью метода Бьорка-Хаммарлинга ^[14], который вычисляет комплексную форму Шура (schur), а затем — комплексный квадратный корень треугольного множителя. Если вещественный квадратный корень существует, используется расширение этого метода ^[15], которое вычисляет вещественную форму Шура, а затем — вещественный квадратный корень квазитреугольного множителя.

Примеры

julia> A = [4 0; 0 4]
2×2 Matrix{Int64}:
 4  0
 0  4

julia> sqrt(A)
2×2 Matrix{Float64}:
 2.0  0.0
 0.0  2.0

# Base.Math.cbrt — Method

cbrt(A::AbstractMatrix{<:Real})

Вычисляет вещественный кубический корень вещественной матрицы A. При T = cbrt(A) получается T*T*T ≈ A; см. пример ниже.

Если матрица A симметричная, т. е. имеет тип HermOrSym{<:Real}, то для нахождения кубического корня используется (eigen). В противном случае используется специальная версия алгоритма нахождения корня p-й степени ^[16], в которой для вычисления кубического корня применяется вещественное разложение Шура (schur).

Примеры

julia> A = [0.927524 -0.15857; -1.3677 -1.01172]
2×2 Matrix{Float64}:
  0.927524  -0.15857
 -1.3677    -1.01172

julia> T = cbrt(A)
2×2 Matrix{Float64}:
  0.910077  -0.151019
 -1.30257   -0.936818

julia> T*T*T ≈ A
true

s15"} where var"#s15"<:Real}"> Base.cos — Method

cos(A::AbstractMatrix)

Вычисляет матричный косинус квадратной матрицы A.

Если матрица A является симметричной или эрмитовой, для вычисления косинуса используется ее разложение по собственным значениям (eigen). В противном случае косинус определяется путем вызова метода exp.

Примеры

julia> cos(fill(1.0, (2,2)))
2×2 Matrix{Float64}:
  0.291927  -0.708073
 -0.708073   0.291927

s15"} where var"#s15"<:Real}"> Base.sin — Method

sin(A::AbstractMatrix)

Вычисляет матричный синус квадратной матрицы A.

Если матрица A является симметричной или эрмитовой, для вычисления синуса используется ее разложение по собственным значениям (eigen). В противном случае синус определяется путем вызова метода exp.

Примеры

julia> sin(fill(1.0, (2,2)))
2×2 Matrix{Float64}:
 0.454649  0.454649
 0.454649  0.454649

s15"} where var"#s15"<:Real}"> Base.Math.sincos — Method

sincos(A::AbstractMatrix)

Вычисляет матричные синус и косинус квадратной матрицы A.

Примеры

julia> S, C = sincos(fill(1.0, (2,2)));

julia> S
2×2 Matrix{Float64}:
 0.454649  0.454649
 0.454649  0.454649

julia> C
2×2 Matrix{Float64}:
  0.291927  -0.708073
 -0.708073   0.291927

s15"} where var"#s15"<:Real}"> Base.tan — Method

tan(A::AbstractMatrix)

Вычисляет матричный тангенс квадратной матрицы A.

Если матрица A является симметричной или эрмитовой, для вычисления тангенса используется ее разложение по собственным значениям (eigen). В противном случае тангенс определяется путем вызова метода exp.

Примеры

julia> tan(fill(1.0, (2,2)))
2×2 Matrix{Float64}:
 -1.09252  -1.09252
 -1.09252  -1.09252

# Base.Math.sec — Method

sec(A::AbstractMatrix)

Вычисляет матричный секанс квадратной матрицы A.

# Base.Math.csc — Method

csc(A::AbstractMatrix)

Вычисляет матричный косеканс квадратной матрицы A.

# Base.Math.cot — Method

cot(A::AbstractMatrix)

Вычисляет матричный котангенс квадратной матрицы A.

# Base.cosh — Method

cosh(A::AbstractMatrix)

Вычисляет матричный гиперболический косинус квадратной матрицы A.

# Base.sinh — Method

sinh(A::AbstractMatrix)

Вычисляет матричный гиперболический синус квадратной матрицы A.

# Base.tanh — Method

tanh(A::AbstractMatrix)

Вычисляет матричный гиперболический тангенс квадратной матрицы A.

# Base.Math.sech — Method

sech(A::AbstractMatrix)

Вычисляет матричный гиперболический секанс квадратной матрицы A.

# Base.Math.csch — Method

csch(A::AbstractMatrix)

Вычисляет матричный гиперболический косеканс квадратной матрицы A.

# Base.Math.coth — Method

coth(A::AbstractMatrix)

Вычисляет матричный гиперболический котангенс квадратной матрицы A.

# Base.acos — Method

acos(A::AbstractMatrix)

Вычисляет матричный арккосинус квадратной матрицы A.

Если матрица A является симметричной или эрмитовой, для вычисления арккосинуса используется ее разложение по собственным значениям (eigen). В противном случае арккосинус определяется с помощью log и sqrt. Теорию и логарифмические формулы, используемые для вычисления этой функции, см. в работе ^[17].

Примеры

julia> acos(cos([0.5 0.1; -0.2 0.3]))
2×2 Matrix{ComplexF64}:
  0.5-8.32667e-17im  0.1+0.0im
 -0.2+2.63678e-16im  0.3-3.46945e-16im

# Base.asin — Method

asin(A::AbstractMatrix)

Вычисляет матричный арксинус квадратной матрицы A.

Если матрица A является симметричной или эрмитовой, для вычисления арксинуса используется ее разложение по собственным значениям (eigen). В противном случае арксинус определяется с помощью log и sqrt. Теорию и логарифмические формулы, используемые для вычисления этой функции, см. в работе ^[18].

Примеры

julia> asin(sin([0.5 0.1; -0.2 0.3]))
2×2 Matrix{ComplexF64}:
  0.5-4.16334e-17im  0.1-5.55112e-17im
 -0.2+9.71445e-17im  0.3-1.249e-16im

# Base.atan — Method

atan(A::AbstractMatrix)

Вычисляет матричный арктангенс квадратной матрицы A.

Если матрица A является симметричной или эрмитовой, для вычисления арктангенса используется ее разложение по собственным значениям (eigen). В противном случае арктангенс определяется с помощью log. Теорию и логарифмические формулы, используемые для вычисления этой функции, см. в работе [^AH16_3].

[^AH16_3]. Mary Aprahamian and Nicholas J. Higham, Matrix Inverse Trigonometric and Inverse Hyperbolic Functions: Theory and Algorithms, MIMS EPrint: 2016.4. https://doi.org/10.1137/16M1057577

Примеры

julia> atan(tan([0.5 0.1; -0.2 0.3]))
2×2 Matrix{ComplexF64}:
  0.5+1.38778e-17im  0.1-2.77556e-17im
 -0.2+6.93889e-17im  0.3-4.16334e-17im

# Base.Math.asec — Method

asec(A::AbstractMatrix)

Вычисляет матричный арксеканс A.

# Base.Math.acsc — Method

acsc(A::AbstractMatrix)

Вычисляет матричный арккосеканс A.

# Base.Math.acot — Method

acot(A::AbstractMatrix)

Вычисляет матричный арккотангенс A.

# Base.acosh — Method

acosh(A::AbstractMatrix)

Вычисляет матричный гиперболический арккосинус квадратной матрицы A. Теорию и логарифмические формулы, используемые для вычисления этой функции, см. в работе ^[19].

# Base.asinh — Method

asinh(A::AbstractMatrix)

Вычисляет матричный гиперболический арксинус квадратной матрицы A. Теорию и логарифмические формулы, используемые для вычисления этой функции, см. в работе ^[20].

# Base.atanh — Method

atanh(A::AbstractMatrix)

Вычисляет матричный гиперболический арктангенс квадратной матрицы A. Теорию и логарифмические формулы, используемые для вычисления этой функции, см. в работе ^[21].

# Base.Math.asech — Method

asech(A::AbstractMatrix)

Вычисляет матричный гиперболический арксеканс A.

# Base.Math.acsch — Method

acsch(A::AbstractMatrix)

Вычисляет матричный гиперболический арккосеканс A.

# Base.Math.acoth — Method

acoth(A::AbstractMatrix)

Вычисляет матричный гиперболический арккотангенс A.

# LinearAlgebra.lyap — Function

lyap(A, C)

Вычисляет решение X непрерывного уравнения Ляпунова AX + XA' + C = 0, в котором ни одно собственное значение матрицы A не имеет нулевой вещественной части и никакие два собственных значения не являются отрицательными комплексными сопряжениями друг друга.

Примеры

julia> A = [3. 4.; 5. 6]
2×2 Matrix{Float64}:
 3.0  4.0
 5.0  6.0

julia> B = [1. 1.; 1. 2.]
2×2 Matrix{Float64}:
 1.0  1.0
 1.0  2.0

julia> X = lyap(A, B)
2×2 Matrix{Float64}:
  0.5  -0.5
 -0.5   0.25

julia> A*X + X*A' ≈ -B
true

# LinearAlgebra.sylvester — Function

sylvester(A, B, C)

Вычисляет решение X уравнения Сильвестра AX + XB + C = 0, где A, B и C имеют совместимые измерения, а A и -B не имеют собственных значений с равной вещественной частью.

Примеры

julia> A = [3. 4.; 5. 6]
2×2 Matrix{Float64}:
 3.0  4.0
 5.0  6.0

julia> B = [1. 1.; 1. 2.]
2×2 Matrix{Float64}:
 1.0  1.0
 1.0  2.0

julia> C = [1. 2.; -2. 1]
2×2 Matrix{Float64}:
  1.0  2.0
 -2.0  1.0

julia> X = sylvester(A, B, C)
2×2 Matrix{Float64}:
 -4.46667   1.93333
  3.73333  -1.8

julia> A*X + X*B ≈ -C
true

# LinearAlgebra.issuccess — Function

issuccess(F::Factorization)

Проверяет успешное разложение матрицы.

Совместимость

Julia 1.6 Для issuccess(::CholeskyPivoted) требуется версия Julia не ниже 1.6.

Примеры

julia> F = cholesky([1 0; 0 1]);

julia> issuccess(F)
true

issuccess(F::LU; allowsingular = false)

Проверяет успешное LU-разложение матрицы. По умолчанию разложение, которое дает допустимый, но неполный по рангу множитель U, считается неудачным. Это можно изменить, передав allowsingular = true.

Совместимость

Julia 1.11 Именованный аргумент allowsingular был добавлен в Julia 1.11.

Примеры

julia> F = lu([1 2; 1 2], check = false);

julia> issuccess(F)
false

julia> issuccess(F, allowsingular = true)
true

# LinearAlgebra.issymmetric — Function

issymmetric(A) -> Bool

Проверяет, является ли матрица симметричной.

Примеры

julia> a = [1 2; 2 -1]
2×2 Matrix{Int64}:
 1   2
 2  -1

julia> issymmetric(a)
true

julia> b = [1 im; -im 1]
2×2 Matrix{Complex{Int64}}:
 1+0im  0+1im
 0-1im  1+0im

julia> issymmetric(b)
false

# LinearAlgebra.isposdef — Function

isposdef(A) -> Bool

Проверяет, является ли матрица положительно определенной (и эрмитовой), пытаясь выполнить разложение Холецкого для A.

См. также описание isposdef! и cholesky.

Примеры

julia> A = [1 2; 2 50]
2×2 Matrix{Int64}:
 1   2
 2  50

julia> isposdef(A)
true

# LinearAlgebra.isposdef! — Function

isposdef!(A) -> Bool

Проверяет, является ли матрица положительно определенной (и эрмитовой), пытаясь выполнить разложение Холецкого для A, перезаписывая A в процессе. См. также описание isposdef.

Примеры

julia> A = [1. 2.; 2. 50.];

julia> isposdef!(A)
true

julia> A
2×2 Matrix{Float64}:
 1.0  2.0
 2.0  6.78233

# LinearAlgebra.istril — Function

istril(A::AbstractMatrix, k::Integer = 0) -> Bool

Проверяет, является ли матрица A нижнетреугольной, начиная с k-й наддиагонали.

Примеры

julia> a = [1 2; 2 -1]
2×2 Matrix{Int64}:
 1   2
 2  -1

julia> istril(a)
false

julia> istril(a, 1)
true

julia> c = [1 1 0; 1 1 1; 1 1 1]
3×3 Matrix{Int64}:
 1  1  0
 1  1  1
 1  1  1

julia> istril(c)
false

julia> istril(c, 1)
true

# LinearAlgebra.istriu — Function

istriu(A::AbstractMatrix, k::Integer = 0) -> Bool

Проверяет, является ли матрица A верхнетреугольной, начиная с k-й наддиагонали.

Примеры

julia> a = [1 2; 2 -1]
2×2 Matrix{Int64}:
 1   2
 2  -1

julia> istriu(a)
false

julia> istriu(a, -1)
true

julia> c = [1 1 1; 1 1 1; 0 1 1]
3×3 Matrix{Int64}:
 1  1  1
 1  1  1
 0  1  1

julia> istriu(c)
false

julia> istriu(c, -1)
true

# LinearAlgebra.isdiag — Function

isdiag(A) -> Bool

Проверяет, является ли матрица диагональной в том смысле, что iszero(A[i,j]) верно, кроме случая, когда i == j. Обратите внимание, что матрица A не обязательно должна быть квадратной; если вы хотите проверить и это, необходимо проверить соблюдение условия size(A, 1) == size(A, 2).

Примеры

julia> a = [1 2; 2 -1]
2×2 Matrix{Int64}:
 1   2
 2  -1

julia> isdiag(a)
false

julia> b = [im 0; 0 -im]
2×2 Matrix{Complex{Int64}}:
 0+1im  0+0im
 0+0im  0-1im

julia> isdiag(b)
true

julia> c = [1 0 0; 0 2 0]
2×3 Matrix{Int64}:
 1  0  0
 0  2  0

julia> isdiag(c)
true

julia> d = [1 0 0; 0 2 3]
2×3 Matrix{Int64}:
 1  0  0
 0  2  3

julia> isdiag(d)
false

# LinearAlgebra.ishermitian — Function

ishermitian(A) -> Bool

Проверяет, является ли матрица эрмитовой.

Примеры

julia> a = [1 2; 2 -1]
2×2 Matrix{Int64}:
 1   2
 2  -1

julia> ishermitian(a)
true

julia> b = [1 im; -im 1]
2×2 Matrix{Complex{Int64}}:
 1+0im  0+1im
 0-1im  1+0im

julia> ishermitian(b)
true

# Base.transpose — Function

transpose(A)

Отложенное транспонирование. Изменение возвращаемого объекта должно соответствующим образом изменять A. Часто, но не всегда, выдает Transpose(A), где Transpose является оболочкой отложенного транспонирования. Обратите внимание, что эта операция является рекурсивной.

Эта операция предназначена для использования в линейной алгебре. Для общей работы с данными см. описание функции permutedims, которая не является рекурсивной.

Примеры

julia> A = [3 2; 0 0]
2×2 Matrix{Int64}:
 3  2
 0  0

julia> B = transpose(A)
2×2 transpose(::Matrix{Int64}) with eltype Int64:
 3  0
 2  0

julia> B isa Transpose
true

julia> transpose(B) === A # транспонирование транспонированной матрицы приводит к распаковке родительского объекта,
true

julia> Transpose(B) # однако аргумент конструктора всегда упакован
2×2 transpose(transpose(::Matrix{Int64})) with eltype Int64:
 3  2
 0  0

julia> B[1,2] = 4; # при изменении B автоматически изменяется A

julia> A
2×2 Matrix{Int64}:
 3  2
 4  0

Для комплексных матриц операция adjoint равносильна транспонированию сопряженной матрицы.

julia> A = reshape([Complex(x, x) for x in 1:4], 2, 2)
2×2 Matrix{Complex{Int64}}:
 1+1im  3+3im
 2+2im  4+4im

julia> adjoint(A) == conj(transpose(A))
true

Результатом операции transpose для вектора AbstractVector является вектор строк:

julia> v = [1,2,3]
3-element Vector{Int64}:
 1
 2
 3

julia> transpose(v) # возвращает вектор строк
1×3 transpose(::Vector{Int64}) with eltype Int64:
 1  2  3

julia> transpose(v) * v # вычисляет точечное произведение
14

Для матрицы матриц происходит рекурсивная обработка отдельных блоков:

julia> C = [1 3; 2 4]
2×2 Matrix{Int64}:
 1  3
 2  4

julia> D = reshape([C, 2C, 3C, 4C], 2, 2) # создает блочную матрицу
2×2 Matrix{Matrix{Int64}}:
 [1 3; 2 4]  [3 9; 6 12]
 [2 6; 4 8]  [4 12; 8 16]

julia> transpose(D) # блоки транспонируются рекурсивно
2×2 transpose(::Matrix{Matrix{Int64}}) with eltype Transpose{Int64, Matrix{Int64}}:
 [1 2; 3 4]   [2 4; 6 8]
 [3 6; 9 12]  [4 8; 12 16]

transpose(F::Factorization)

Отложенное транспонирование разложения F. По умолчанию возвращает TransposeFactorization, за исключением Factorization с вещественным eltype (в этом случае возвращается AdjointFactorization).

# LinearAlgebra.transpose! — Function

transpose!(X::AbstractSparseMatrixCSC{Tv,Ti}, A::AbstractSparseMatrixCSC{Tv,Ti}) where {Tv,Ti}

Транспонирует матрицу A и сохраняет ее в матрице X. size(X) должно быть равно size(transpose(A)). Дополнительная память, помимо изменения размера rowval и nzval для X (если это необходимо), не выделяется.

См. описание halfperm!.

transpose!(dest,src)

Транспонирует массив src и сохраняет результат в предварительно выделенном массиве dest, размер которого должен соответствовать (size(src,2),size(src,1)). Транспонирование на месте не поддерживается, и если src и dest имеют перекрывающиеся области памяти, следует ожидать непредвиденных результатов.

Примеры

julia> A = [3+2im 9+2im; 8+7im  4+6im]
2×2 Matrix{Complex{Int64}}:
 3+2im  9+2im
 8+7im  4+6im

julia> B = zeros(Complex{Int64}, 2, 2)
2×2 Matrix{Complex{Int64}}:
 0+0im  0+0im
 0+0im  0+0im

julia> transpose!(B, A);

julia> B
2×2 Matrix{Complex{Int64}}:
 3+2im  8+7im
 9+2im  4+6im

julia> A
2×2 Matrix{Complex{Int64}}:
 3+2im  9+2im
 8+7im  4+6im

# LinearAlgebra.Transpose — Type

Transpose

Отложенный тип оболочки для транспонирующего представления базового объекта линейной алгебры, обычно AbstractVector/AbstractMatrix. Как правило, конструктор Transpose не следует вызывать напрямую. Используйте вместо этого transpose. Для материализации представления используйте copy.

Этот тип предназначен для использования в линейной алгебре. Для общей работы с данными см. описание функции permutedims.

Примеры

julia> A = [2 3; 0 0]
2×2 Matrix{Int64}:
 2  3
 0  0

julia> Transpose(A)
2×2 transpose(::Matrix{Int64}) with eltype Int64:
 2  0
 3  0

# LinearAlgebra.TransposeFactorization — Type

TransposeFactorization

Отложенный тип оболочки для транспонирования базового объекта Factorization. Как правило, конструктор TransposeFactorization не следует вызывать напрямую. Используйте вместо этого xref:stdlib/LinearAlgebra.adoc#Base.transpose[`transpose(: Factorization)`].

# Base.adjoint — Function

A'
adjoint(A)

Отложенное сопряжение (сопряженное транспонирование). Обратите внимание, что adjoint применяется рекурсивно к элементам.

Для числовых типов функция adjoint возвращает комплексно сопряженное значение, и поэтому она эквивалентна функции тождественности для вещественных чисел.

Эта операция предназначена для использования в линейной алгебре. Для общей работы с данными см. описание функции permutedims.

Примеры

julia> A = [3+2im 9+2im; 0  0]
2×2 Matrix{Complex{Int64}}:
 3+2im  9+2im
 0+0im  0+0im

julia> B = A' # эквивалентное сопряжение adjoint(A)
2×2 adjoint(::Matrix{Complex{Int64}}) with eltype Complex{Int64}:
 3-2im  0+0im
 9-2im  0+0im

julia> B isa Adjoint
true

julia> adjoint(B) === A # сопряжение сопряженной матрицы приводит к распаковке родительского объекта
true

julia> Adjoint(B) # однако аргумент конструктора всегда упакован
2×2 adjoint(adjoint(::Matrix{Complex{Int64}})) with eltype Complex{Int64}:
 3+2im  9+2im
 0+0im  0+0im

julia> B[1,2] = 4 + 5im; # при изменении B автоматически изменяется A

julia> A
2×2 Matrix{Complex{Int64}}:
 3+2im  9+2im
 4-5im  0+0im

Для вещественных матриц операция adjoint равносильна transpose.

julia> A = reshape([x for x in 1:4], 2, 2)
2×2 Matrix{Int64}:
 1  3
 2  4

julia> A'
2×2 adjoint(::Matrix{Int64}) with eltype Int64:
 1  2
 3  4

julia> adjoint(A) == transpose(A)
true

Сопряжением вектора AbstractVector является вектор строк:

julia> x = [3, 4im]
2-element Vector{Complex{Int64}}:
 3 + 0im
 0 + 4im

julia> x'
1×2 adjoint(::Vector{Complex{Int64}}) with eltype Complex{Int64}:
 3+0im  0-4im

julia> x'x # вычисляет точечное произведение, что равносильно x' * x
25 + 0im

Для матрицы матриц происходит рекурсивная обработка отдельных блоков:

julia> A = reshape([x + im*x for x in 1:4], 2, 2)
2×2 Matrix{Complex{Int64}}:
 1+1im  3+3im
 2+2im  4+4im

julia> C = reshape([A, 2A, 3A, 4A], 2, 2)
2×2 Matrix{Matrix{Complex{Int64}}}:
 [1+1im 3+3im; 2+2im 4+4im]  [3+3im 9+9im; 6+6im 12+12im]
 [2+2im 6+6im; 4+4im 8+8im]  [4+4im 12+12im; 8+8im 16+16im]

julia> C'
2×2 adjoint(::Matrix{Matrix{Complex{Int64}}}) with eltype Adjoint{Complex{Int64}, Matrix{Complex{Int64}}}:
 [1-1im 2-2im; 3-3im 4-4im]    [2-2im 4-4im; 6-6im 8-8im]
 [3-3im 6-6im; 9-9im 12-12im]  [4-4im 8-8im; 12-12im 16-16im]

adjoint(F::Factorization)

Отложенное сопряжение разложения F. По умолчанию возвращает оболочку AdjointFactorization.

# LinearAlgebra.adjoint! — Function

adjoint!(X::AbstractSparseMatrixCSC{Tv,Ti}, A::AbstractSparseMatrixCSC{Tv,Ti}) where {Tv,Ti}

Транспонирует матрицу A и сохраняет сопряжение элементов в матрице X. size(X) должно быть равно size(transpose(A)). Дополнительная память, помимо изменения размера rowval и nzval для X (если это необходимо), не выделяется.

См. описание halfperm!.

adjoint!(dest,src)

Выполняет сопряженное транспонирование массива src и сохраняет результат в предварительно выделенном массиве dest, размер которого должен соответствовать (size(src,2),size(src,1)). Транспонирование на месте не поддерживается, и если src и dest имеют перекрывающиеся области памяти, следует ожидать непредвиденных результатов.

Примеры

julia> A = [3+2im 9+2im; 8+7im  4+6im]
2×2 Matrix{Complex{Int64}}:
 3+2im  9+2im
 8+7im  4+6im

julia> B = zeros(Complex{Int64}, 2, 2)
2×2 Matrix{Complex{Int64}}:
 0+0im  0+0im
 0+0im  0+0im

julia> adjoint!(B, A);

julia> B
2×2 Matrix{Complex{Int64}}:
 3-2im  8-7im
 9-2im  4-6im

julia> A
2×2 Matrix{Complex{Int64}}:
 3+2im  9+2im
 8+7im  4+6im

# LinearAlgebra.Adjoint — Type

Adjoint

Отложенный тип оболочки для сопряженного представления базового объекта линейной алгебры, обычно AbstractVector/AbstractMatrix. Как правило, конструктор Adjoint не следует вызывать напрямую. Используйте вместо этого adjoint. Для материализации представления используйте copy.

Примеры

julia> A = [3+2im 9+2im; 0 0]
2×2 Matrix{Complex{Int64}}:
 3+2im  9+2im
 0+0im  0+0im

julia> Adjoint(A)
2×2 adjoint(::Matrix{Complex{Int64}}) with eltype Complex{Int64}:
 3-2im  0+0im
 9-2im  0+0im

# LinearAlgebra.AdjointFactorization — Type

AdjointFactorization

Отложенный тип оболочки для сопряжения базового объекта Factorization. Как правило, конструктор AdjointFactorization не следует вызывать напрямую. Используйте вместо этого xref:stdlib/LinearAlgebra.adoc#Base.adjoint[`adjoint(: Factorization)`].

# Base.copy — Method

copy(A::Transpose)
copy(A::Adjoint)

Немедленно вычисляет отложенное транспонирование или сопряжение матрицы. Обратите внимание, что транспонирование применяется рекурсивно к элементам.

Примеры

julia> A = [1 2im; -3im 4]
2×2 Matrix{Complex{Int64}}:
 1+0im  0+2im
 0-3im  4+0im

julia> T = transpose(A)
2×2 transpose(::Matrix{Complex{Int64}}) with eltype Complex{Int64}:
 1+0im  0-3im
 0+2im  4+0im

julia> copy(T)
2×2 Matrix{Complex{Int64}}:
 1+0im  0-3im
 0+2im  4+0im

# LinearAlgebra.stride1 — Function

stride1(A) -> Int

Возвращает расстояние между последовательными элементами массива в измерении 1 в единицах размера элемента.

Примеры

julia> A = [1,2,3,4]
4-element Vector{Int64}:
 1
 2
 3
 4

julia> LinearAlgebra.stride1(A)
1

julia> B = view(A, 2:2:4)
2-element view(::Vector{Int64}, 2:2:4) with eltype Int64:
 2
 4

julia> LinearAlgebra.stride1(B)
2

# LinearAlgebra.checksquare — Function

LinearAlgebra.checksquare(A)

Проверяет, является ли матрица квадратной, и возвращает ее общее измерение. Для нескольких аргументов возвращает вектор.

Примеры

julia> A = fill(1, (4,4)); B = fill(1, (5,5));

julia> LinearAlgebra.checksquare(A, B)
2-element Vector{Int64}:
 4
 5

# LinearAlgebra.peakflops — Function

LinearAlgebra.peakflops(n::Integer=4096; eltype::DataType=Float64, ntrials::Integer=3, parallel::Bool=false)

Функция peakflops вычисляет пиковую скорость операций с плавающей запятой компьютера с помощью функции gemm! двойной точности. По умолчанию, если аргументы не указаны, она она перемножает две матрицы типа Float64 размером n x n, где n = 4096. Если базовая подпрограмма BLAS использует несколько потоков, реализуются более высокие скорости операций с плавающей запятой. Число потоков BLAS можно задать с помощью функции BLAS.set_num_threads(n).

Если указан именованный аргумент eltype, peakflops создает матрицы с элементами типа eltype для вычисления пиковой скорости операций с плавающей запятой.

По умолчанию peakflops использует наивысшую скорость по результатам трех попыток. Если указан именованный аргумент ntrials, peakflops определяет наивысшую скорость по результатам этого числа попыток.

Если именованный аргумент parallel имеет значение true, функция выполняется peakflops параллельно во всех рабочих процессах. Возвращается скорость операций с плавающей запятой всего параллельного компьютера. При параллельном выполнении используется только один поток BLAS. Аргумент n по-прежнему относится к размеру задачи, которая решается на каждом процессоре.

Совместимость

Julia 1.1 Для этой функции требуется версия Julia не ниже 1.1. В Julia 1.0 она доступна в стандартной библиотеке InteractiveUtils.

# LinearAlgebra.hermitianpart — Function

hermitianpart(A::AbstractMatrix, uplo::Symbol=:U) -> Hermitian

Возвращает эрмитову часть квадратной матрицы A, определяемую как (A + A') / 2, в виде матрицы Hermitian. Для вещественных матриц A она также известна как симметричная часть A; иногда ее также называют «вещественная часть оператора». Необязательный аргумент uplo управляет соответствующим аргументом представления Hermitian. Для вещественных матриц последнее равносильно представлению Symmetric.

См. также описание операции hermitianpart!, выполняемой на месте.

Совместимость

Julia 1.10 Для этой функции требуется версия Julia не ниже 1.10.

# LinearAlgebra.hermitianpart! — Function

hermitianpart!(A::AbstractMatrix, uplo::Symbol=:U) -> Hermitian

Перезаписывает квадратную матрицу A на месте ее эрмитовой частью (A + A') / 2 и возвращает Hermitian(A, uplo). Для вещественных матриц A она также известна как симметричная часть A.

См. также описание соответствующей операции hermitianpart, выполняемой не на месте.

Совместимость

Julia 1.10 Для этой функции требуется версия Julia не ниже 1.10.

# LinearAlgebra.copy_adjoint! — Function

copy_adjoint!(B::AbstractVecOrMat, ir_dest::AbstractRange{Int}, jr_dest::AbstractRange{Int},
              A::AbstractVecOrMat, ir_src::AbstractRange{Int}, jr_src::AbstractRange{Int}) -> B

Эффективно копирует элементы матрицы A в B с присоединением следующим образом:

B[ir_dest, jr_dest] = adjoint(A)[jr_src, ir_src]

Элементы B[ir_dest, jr_dest] перезаписываются. Кроме того, параметры диапазона индексов должны удовлетворять условиям length(ir_dest) == length(jr_src) и length(jr_dest) == length(ir_src).

# LinearAlgebra.copy_transpose! — Function

copy_transpose!(B::AbstractVecOrMat, ir_dest::AbstractRange{Int}, jr_dest::AbstractRange{Int},
                A::AbstractVecOrMat, ir_src::AbstractRange{Int}, jr_src::AbstractRange{Int}) -> B

Эффективно копирует элементы матрицы A в B с транспонированием следующим образом:

B[ir_dest, jr_dest] = transpose(A)[jr_src, ir_src]

copy_transpose!(B::AbstractMatrix, ir_dest::AbstractUnitRange, jr_dest::AbstractUnitRange,
                tM::AbstractChar,
                M::AbstractVecOrMat, ir_src::AbstractUnitRange, jr_src::AbstractUnitRange) -> B

Эффективно копирует элементы матрицы M в B с учетом символьного параметра tM следующим образом:

tM Место назначения Источник

B[ir_dest, jr_dest]

transpose(M)[jr_src, ir_src]

B[ir_dest, jr_dest]

M[jr_src, ir_src]

B[ir_dest, jr_dest]

conj(M)[jr_src, ir_src]

См. также описание copyto! и copy_adjoint!.

Low-level matrix operations

In many cases there are in-place versions of matrix operations that allow you to supply a pre-allocated output vector or matrix. This is useful when optimizing critical code in order to avoid the overhead of repeated allocations. These in-place operations are suffixed with ! below (e.g. mul!) according to the usual Julia convention.

# LinearAlgebra.mul! — Function

mul!(Y, A, B) -> Y

Вычисляет произведение матрицы на матрицу или матрицы на вектор и сохраняет результат в Y, перезаписывая существующее значение Y. Обратите внимание, что Y не должен быть назначен псевдоним A или B.

Примеры

julia> A = [1.0 2.0; 3.0 4.0]; B = [1.0 1.0; 1.0 1.0]; Y = similar(B);

julia> mul!(Y, A, B) === Y
true

julia> Y
2×2 Matrix{Float64}:
 3.0  3.0
 7.0  7.0

julia> Y == A * B
true

Реализация

Для пользовательских матричных и векторных типов рекомендуется реализовать 5-аргументную функцию mul!, а не применять 3-аргументную функцию mul! напрямую, если это возможно.

mul!(C, A, B, α, β) -> C

Комбинированное выражение умножения-сложения матрицы на матрицу или матрицы на вектор . Результат сохраняется в C, перезаписывая его. Обратите внимание, что C не должен быть назначен псевдоним A или B.

Совместимость

Julia 1.3 Для mul! с пятью аргументами требуется версия Julia не ниже 1.3.

Примеры

julia> A = [1.0 2.0; 3.0 4.0]; B = [1.0 1.0; 1.0 1.0]; C = [1.0 2.0; 3.0 4.0];

julia> α, β = 100.0, 10.0;

julia> mul!(C, A, B, α, β) === C
true

julia> C
2×2 Matrix{Float64}:
 310.0  320.0
 730.0  740.0

julia> C_original = [1.0 2.0; 3.0 4.0]; # Копия исходного значения C

julia> C == A * B * α + C_original * β
true

# LinearAlgebra.lmul! — Function

lmul!(a::Number, B::AbstractArray)

Масштабирует массив B на скалярное значение a, перезаписывая B на месте. Для умножения скаляра справа используйте rmul!. В операции масштабирования учитывается семантика умножения * между a и элементом B. В частности, это также относится к умножению с использованием бесконечных чисел, таких как NaN и ±Inf.

Совместимость

Julia 1.1 До Julia 1.1 записи NaN и ±Inf в B обрабатывались непоследовательно.

Примеры

julia> B = [1 2; 3 4]
2×2 Matrix{Int64}:
 1  2
 3  4

julia> lmul!(2, B)
2×2 Matrix{Int64}:
 2  4
 6  8

julia> lmul!(0.0, [Inf])
1-element Vector{Float64}:
 NaN

lmul!(A, B)

Вычисляет произведение матриц , перезаписывая B, и возвращает результат. Здесь матрица A должна иметь особый тип, например Diagonal, UpperTriangular или LowerTriangular, либо некоторый ортогональный тип. См. QR.

Примеры

julia> B = [0 1; 1 0];

julia> A = UpperTriangular([1 2; 0 3]);

julia> lmul!(A, B);

julia> B
2×2 Matrix{Int64}:
 2  1
 3  0

julia> B = [1.0 2.0; 3.0 4.0];

julia> F = qr([0 1; -1 0]);

julia> lmul!(F.Q, B)
2×2 Matrix{Float64}:
 3.0  4.0
 1.0  2.0

# LinearAlgebra.rmul! — Function

rmul!(A::AbstractArray, b::Number)

Масштабирует массив A на скалярное значение b, перезаписывая A на месте. Для умножения скаляра слева используйте lmul!. В операции масштабирования учитывается семантика умножения * между элементом A и b. В частности, это также относится к умножению с использованием бесконечных чисел, таких как NaN и ±Inf.

Совместимость

Julia 1.1 До Julia 1.1 записи NaN и ±Inf в A обрабатывались непоследовательно.

Примеры

julia> A = [1 2; 3 4]
2×2 Matrix{Int64}:
 1  2
 3  4

julia> rmul!(A, 2)
2×2 Matrix{Int64}:
 2  4
 6  8

julia> rmul!([NaN], 0.0)
1-element Vector{Float64}:
 NaN

rmul!(A, B)

Вычисляет произведение матриц , перезаписывая A, и возвращает результат. Здесь матрица B должна иметь особый тип, например Diagonal, UpperTriangular или LowerTriangular, либо некоторый ортогональный тип. См. QR.

Примеры

julia> A = [0 1; 1 0];

julia> B = UpperTriangular([1 2; 0 3]);

julia> rmul!(A, B);

julia> A
2×2 Matrix{Int64}:
 0  3
 1  2

julia> A = [1.0 2.0; 3.0 4.0];

julia> F = qr([0 1; -1 0]);

julia> rmul!(A, F.Q)
2×2 Matrix{Float64}:
 2.0  1.0
 4.0  3.0

# LinearAlgebra.ldiv! — Function

ldiv!(Y, A, B) -> Y

Вычисляет A \ B на месте и сохраняет результат в Y, возвращая результат.

Аргумент A не должен быть матрицей. Он должен быть объектом разложения (например, созданным функцией factorize или cholesky). Это объясняется тем, что разложение само по себе является дорогостоящим и, как правило, требует выделения памяти (хотя это можно сделать и на месте, например, с помощью функции lu!), а для критических с точки зрения производительности ситуаций, требующих ldiv!, также обычно необходим и детальный контроль над разложением A.

Note Некоторые структурированные типы матриц, такие как Diagonal и UpperTriangular, допустимы, так как они уже имеют разложенную форму.

Примеры

julia> A = [1 2.2 4; 3.1 0.2 3; 4 1 2];

julia> X = [1; 2.5; 3];

julia> Y = zero(X);

julia> ldiv!(Y, qr(A), X);

julia> Y ≈ A\X
true

ldiv!(A, B)

Вычисляет A \ B на месте и перезаписывает B для сохранения результата.

Примеры

julia> A = [1 2.2 4; 3.1 0.2 3; 4 1 2];

julia> X = [1; 2.5; 3];

julia> Y = copy(X);

julia> ldiv!(qr(A), X);

julia> X ≈ A\Y
true

ldiv!(a::Number, B::AbstractArray)

Делит каждую запись в массиве B на скаляр a, перезаписывая B на месте. Для деления скаляра справа используйте rdiv!.

Примеры

julia> B = [1.0 2.0; 3.0 4.0]
2×2 Matrix{Float64}:
 1.0  2.0
 3.0  4.0

julia> ldiv!(2.0, B)
2×2 Matrix{Float64}:
 0.5  1.0
 1.5  2.0

ldiv!(A::Tridiagonal, B::AbstractVecOrMat) -> B

Вычисляет A \ B на месте методом гауссова исключения с частичным выбором ведущего элемента и сохраняет результат в B, возвращая результат. При этом диагонали A также перезаписываются.

Совместимость

Julia 1.11 Для использования ldiv! для Tridiagonal в левой части требуется версия Julia не ниже 1.11.

# LinearAlgebra.rdiv! — Function

rdiv!(A, B)

Вычисляет A / B на месте и перезаписывает A для сохранения результата.

Аргумент B не должен быть матрицей. Он должен быть объектом разложения (например, созданным функцией factorize или cholesky). Это объясняется тем, что разложение само по себе является дорогостоящим и, как правило, требует выделения памяти (хотя это можно сделать и на месте, например, с помощью функции lu!), а для критических с точки зрения производительности ситуаций, требующих rdiv!, также обычно необходим и детальный контроль над разложением B.

rdiv!(A::AbstractArray, b::Number)

Делит каждую запись в массиве A на скаляр b, перезаписывая A на месте. Для деления скаляра слева используйте ldiv!.

Примеры

julia> A = [1.0 2.0; 3.0 4.0]
2×2 Matrix{Float64}:
 1.0  2.0
 3.0  4.0

julia> rdiv!(A, 2.0)
2×2 Matrix{Float64}:
 0.5  1.0
 1.5  2.0

BLAS functions

In Julia (as in much of scientific computation), dense linear-algebra operations are based on the LAPACK library, which in turn is built on top of basic linear-algebra building-blocks known as the BLAS. There are highly optimized implementations of BLAS available for every computer architecture, and sometimes in high-performance linear algebra routines it is useful to call the BLAS functions directly.

LinearAlgebra.BLAS provides wrappers for some of the BLAS functions. Those BLAS functions that overwrite one of the input arrays have names ending in '!'. Usually, a BLAS function has four methods defined, for Float32, Float64, ComplexF32, and ComplexF64 arrays.

BLAS character arguments

Many BLAS functions accept arguments that determine whether to transpose an argument (trans), which triangle of a matrix to reference (uplo or ul), whether the diagonal of a triangular matrix can be assumed to be all ones (dA) or which side of a matrix multiplication the input argument belongs on (side). The possibilities are:

Multiplication order

side Meaning

'L'

The argument goes on the left side of a matrix-matrix operation.

'R'

The argument goes on the right side of a matrix-matrix operation.

Triangle referencing

uplo/ul Meaning

'U'

Only the upper triangle of the matrix will be used.

'L'

Only the lower triangle of the matrix will be used.

Transposition operation

trans/tX Meaning

'N'

The input matrix X is not transposed or conjugated.

'T'

The input matrix X will be transposed.

'C'

The input matrix X will be conjugated and transposed.

Unit diagonal

diag/dX Meaning

'N'

The diagonal values of the matrix X will be read.

'U'

The diagonal of the matrix X is assumed to be all ones.

# LinearAlgebra.BLAS — Module

Интерфейс для подпрограмм BLAS.

# LinearAlgebra.BLAS.set_num_threads — Function

set_num_threads(n::Integer)
set_num_threads(::Nothing)

Задает число потоков, которые должна использовать библиотека BLAS, равным n::Integer.

Также принимает nothing. В этом случае Julia пытается угадать количество потоков по умолчанию. Передача nothing не рекомендуется и существует в основном по историческим причинам.

# LinearAlgebra.BLAS.get_num_threads — Function

get_num_threads()

Получает число потоков, используемых библиотекой BLAS.

Совместимость

Julia 1.6 Для get_num_threads требуется версия Julia не ниже 1.6.

BLAS functions can be divided into three groups, also called three levels, depending on when they were first proposed, the type of input parameters, and the complexity of the operation.

Level 1 BLAS functions

The level 1 BLAS functions were first proposed in (Lawson, 1979) and define operations between scalars and vectors.

# LinearAlgebra.BLAS.rot! — Function

rot!(n, X, incx, Y, incy, c, s)

Перезаписывает X выражением c*X + s*Y, а Y — выражением -conj(s)*X + c*Y для первых n элементов массива X с шагом incx и первых n элементов массива Y с шагом incy. Возвращает X и Y.

Совместимость

Julia 1.5 Для rot! требуется версия Julia не ниже 1.5.

# LinearAlgebra.BLAS.scal! — Function

scal!(n, a, X, incx)
scal!(a, X)

Перезаписывает X выражением a*X для первых n элементов массива X с шагом incx. Возвращает X.

Если n и incx не указаны, используются length(X) и stride(X,1).

# LinearAlgebra.BLAS.scal — Function

scal(n, a, X, incx)
scal(a, X)

Возвращает X, масштабированный на a, для первых n элементов массива X с шагом incx.

Если n и incx не указаны, используются length(X) и stride(X,1).

# LinearAlgebra.BLAS.blascopy! — Function

blascopy!(n, X, incx, Y, incy)

Копирует n элементов массива X с шагом incx в массив Y с шагом incy. Возвращает Y.

# LinearAlgebra.BLAS.dot — Function

dot(n, X, incx, Y, incy)

Точечное произведение двух векторов, состоящих из n элементов массива X с шагом incx и n элементов массива Y с шагом incy.

Примеры

julia> BLAS.dot(10, fill(1.0, 10), 1, fill(1.0, 20), 2)
10.0

# LinearAlgebra.BLAS.dotu — Function

dotu(n, X, incx, Y, incy)

Точечная функция для двух комплексных векторов, состоящих из n элементов массива X с шагом incx и n элементов массива Y с шагом incy.

Примеры

julia> BLAS.dotu(10, fill(1.0im, 10), 1, fill(1.0+im, 20), 2)
-10.0 + 10.0im

# LinearAlgebra.BLAS.dotc — Function

dotc(n, X, incx, U, incy)

Точечная функция для двух комплексных векторов, состоящих из n элементов массива X с шагом incx и n элементов массива U с шагом incy, сопрягающая первый вектор.

Примеры

julia> BLAS.dotc(10, fill(1.0im, 10), 1, fill(1.0+im, 20), 2)
10.0 - 10.0im

# LinearAlgebra.BLAS.nrm2 — Function

nrm2(n, X, incx)

Вторая норма вектора, состоящего из n элементов массива X с шагом incx.

Примеры

julia> BLAS.nrm2(4, fill(1.0, 8), 2)
2.0

julia> BLAS.nrm2(1, fill(1.0, 8), 2)
1.0

# LinearAlgebra.BLAS.asum — Function

asum(n, X, incx)

Сумма величин первых n элементов массива X с шагом incx.

Для вещественного массива величина является абсолютным значением. Для комплексного массива величина представляет собой сумму абсолютного значения вещественной части и абсолютного значения мнимой части.

Примеры

julia> BLAS.asum(5, fill(1.0im, 10), 2)
5.0

julia> BLAS.asum(2, fill(1.0im, 10), 5)
2.0

# LinearAlgebra.BLAS.iamax — Function

iamax(n, dx, incx)
iamax(dx)

Находит индекс элемента dx с максимальным абсолютным значением. n является длиной dx, а incx — шагом. Если n и incx не указаны, предполагается, что используются значения по умолчанию n=length(dx) и incx=stride1(dx).

Level 2 BLAS functions

The level 2 BLAS functions were published in (Dongarra, 1988) and define matrix-vector operations.

return a vector

# LinearAlgebra.BLAS.gemv! — Function

gemv!(tA, alpha, A, x, beta, y)

Обновляет вектор y в виде alpha*A*x + beta*y или alpha*A’x + beta*y в соответствии с операцией tA. alpha и beta являются скалярами. Возвращает обновленное значение y.

# LinearAlgebra.BLAS.gemv — Method

gemv(tA, alpha, A, x)

Возвращает alpha*A*x или alpha*A’x в соответствии с tA. alpha является скаляром.

# LinearAlgebra.BLAS.gemv — Method

gemv(tA, A, x)

Возвращает A*x или A’x в соответствии с tA.

# LinearAlgebra.BLAS.gbmv! — Function

gbmv!(trans, m, kl, ku, alpha, A, x, beta, y)

Обновляет вектор y в виде alpha*A*x + beta*y или alpha*A'*x + beta*y в соответствии с операцией trans. Матрица A является общей ленточной матрицей измерения m размером size(A,2) с kl поддиагоналями и ku наддиагоналями. alpha и beta являются скалярами. Возвращает обновленное значение y.

# LinearAlgebra.BLAS.gbmv — Function

gbmv(trans, m, kl, ku, alpha, A, x)

Возвращает alpha*A*x или alpha*A'*x в соответствии с trans. Матрица A является общей ленточной матрицей измерения m размером size(A,2) с kl поддиагоналями и ku наддиагоналями, а alpha является скаляром.

# LinearAlgebra.BLAS.hemv! — Function

hemv!(ul, alpha, A, x, beta, y)

Обновляет вектор y в виде alpha*A*x + beta*y. Матрица A считается эрмитовой. Используется только треугольник ul матрицы A. alpha и beta являются скалярами. Возвращает обновленное значение y.

# LinearAlgebra.BLAS.hemv — Method

hemv(ul, alpha, A, x)

Возвращает alpha*A*x. Матрица A считается эрмитовой. Используется только треугольник ul матрицы A. alpha является скаляром.

# LinearAlgebra.BLAS.hemv — Method

hemv(ul, A, x)

Возвращает A*x. Матрица A считается эрмитовой. Используется только треугольник ul матрицы A.

# LinearAlgebra.BLAS.hpmv! — Function

hpmv!(uplo, α, AP, x, β, y)

Обновляет вектор y в виде α*A*x + β*y, где A — это эрмитова матрица, предоставленная в упакованном формате AP.

При uplo = 'U' массив AP должен содержать верхнетреугольную часть эрмитовой матрицы, упакованную последовательно по столбцам, так чтобы AP[1] содержало A[1, 1], AP[2] и AP[3] содержали соответственно A[1, 2] и A[2, 2] и так далее.

При uplo = 'L' массив AP должен содержать нижнетреугольную часть эрмитовой матрицы, упакованную последовательно по столбцам, так чтобы AP[1] содержало A[1, 1], AP[2] и AP[3] содержали соответственно A[2, 1] и A[3, 1] и так далее.

Скалярные входные элементы α и β должны быть комплексными или вещественными числами.

Входные массивы x, y и AP должны иметь тип ComplexF32 или ComplexF64.

Возвращает обновленное значение y.

Совместимость

Julia 1.5 Для hpmv! требуется версия Julia не ниже 1.5.

# LinearAlgebra.BLAS.symv! — Function

symv!(ul, alpha, A, x, beta, y)

Обновляет вектор y в виде alpha*A*x + beta*y. Матрица A считается симметричной. Используется только треугольник ul матрицы A. alpha и beta являются скалярами. Возвращает обновленное значение y.

# LinearAlgebra.BLAS.symv — Method

symv(ul, alpha, A, x)

Возвращает alpha*A*x. Матрица A считается симметричной. Используется только треугольник ul матрицы A. alpha является скаляром.

# LinearAlgebra.BLAS.symv — Method

symv(ul, A, x)

Возвращает A*x. Матрица A считается симметричной. Используется только треугольник ul матрицы A.

# LinearAlgebra.BLAS.sbmv! — Function

sbmv!(uplo, k, alpha, A, x, beta, y)

Обновляет вектор y в виде alpha*A*x + beta*y, где A — это симметричная ленточная матрица порядка size(A,2) с k наддиагоналями, хранящимися в аргументе A. Схема хранения для A описана в справочном модуле BLAS, BLAS уровня 2 по адресу https://www.netlib.org/lapack/explore-html/. Используется только треугольник uplo матрицы A.

Возвращает обновленное значение y.

# LinearAlgebra.BLAS.sbmv — Method

sbmv(uplo, k, alpha, A, x)

Возвращает alpha*A*x, где A — это симметричная ленточная матрица порядка size(A,2) с k наддиагоналями, хранящимися в аргументе A. Используется только треугольник uplo матрицы A.

# LinearAlgebra.BLAS.sbmv — Method

sbmv(uplo, k, A, x)

Возвращает A*x, где A — это симметричная ленточная матрица порядка size(A,2) с k наддиагоналями, хранящимися в аргументе A. Используется только треугольник uplo матрицы A.

# LinearAlgebra.BLAS.spmv! — Function

spmv!(uplo, α, AP, x, β, y)

Обновляет вектор y в виде α*A*x + β*y, где A — это симметричная матрица, предоставленная в упакованном формате AP.

При uplo = 'U' массив AP должен содержать верхнетреугольную часть симметричной матрицы, упакованную последовательно по столбцам, так чтобы AP[1] содержало A[1, 1], AP[2] и AP[3] содержали соответственно A[1, 2] и A[2, 2] и так далее.

При uplo = 'L' массив AP должен содержать нижнетреугольную часть симметричной матрицы, упакованную последовательно по столбцам, так чтобы AP[1] содержало A[1, 1], AP[2] и AP[3] содержали соответственно A[2, 1] и A[3, 1] и так далее.

Скалярные входные элементы α и β должны быть вещественными числами.

Входные массивы x, y и AP должны иметь тип Float32 или Float64.

Возвращает обновленное значение y.

Совместимость

Julia 1.5 Для spmv! требуется версия Julia не ниже 1.5.

# LinearAlgebra.BLAS.trmv! — Function

trmv!(ul, tA, dA, A, b)

Возвращает op(A)*b, где op определяется операцией tA. Используется только треугольник ul матрицы A. dA определяет, считываются ли диагональные значения или принимаются за единицы. Умножение на b выполняется на месте.

# LinearAlgebra.BLAS.trmv — Function

trmv(ul, tA, dA, A, b)

# LinearAlgebra.BLAS.trsv! — Function

trsv!(ul, tA, dA, A, b)

Перезаписывает b решением A*x = b или одним из других двух вариантов, определенных с помощью tA и ul. dA определяет, считываются ли диагональные значения или принимаются за единицы. Возвращает обновленное значение b.

# LinearAlgebra.BLAS.trsv — Function

trsv(ul, tA, dA, A, b)

Возвращает решение для A*x = b или одного из других двух вариантов, определенных с помощью tA и ul. dA определяет, считываются ли диагональные значения или принимаются за единицы.

return a matrix

# LinearAlgebra.BLAS.ger! — Function

ger!(alpha, x, y, A)

Обновление ранга 1 матрицы A с векторами x и y в виде alpha*x*y' + A.

# LinearAlgebra.BLAS.geru! — Function

geru!(alpha, x, y, A)

Rank-1 update of the matrix A with vectors x and y as alpha*x*transpose(y) + A.

# LinearAlgebra.BLAS.her! — Function

her!(uplo, alpha, x, A)

Методы только для комплексных массивов. Обновление ранга 1 эрмитовой матрицы A с вектором x в виде alpha*x*x' + A. Функция uplo управляет тем, какой треугольник матрицы A обновляется. Возвращает A.

# LinearAlgebra.BLAS.syr! — Function

syr!(uplo, alpha, x, A)

Обновление ранга 1 симметричной матрицы A с вектором x в виде alpha*x*transpose(x) + A. Функция uplo управляет тем, какой треугольник матрицы A обновляется. Возвращает A.

# LinearAlgebra.BLAS.spr! — Function

spr!(uplo, α, x, AP)

Обновляет матрицу A в виде A+α*x*x', где A — это симметричная матрица, предоставленная в упакованном формате AP, а x — вектор.

Скалярный входной элемент α должен быть вещественным числом.

Входные массивы x и AP должны иметь тип Float32 или Float64. Возвращает обновленное значение AP.

Совместимость

Julia 1.8 Для spr! требуется версия Julia не ниже 1.8.

Level 3 BLAS functions

The level 3 BLAS functions were published in (Dongarra, 1990) and define matrix-matrix operations.

# LinearAlgebra.BLAS.gemmt! — Function

gemmt!(uplo, tA, tB, alpha, A, B, beta, C)

Обновляет нижне- или верхнетреугольную часть C, указанную в uplo, в виде alpha*A*B + beta*C или другого варианта в соответствии с tA и tB. Возвращает обновленное значение C.

Совместимость

Julia 1.11 Для gemmt! требуется версия Julia не ниже 1.11.

# LinearAlgebra.BLAS.gemmt — Method

gemmt(uplo, tA, tB, alpha, A, B)

Возвращает нижне- или верхнетреугольную часть A*B, указанную в uplo, или другие три варианта в соответствии с tA и tB.

Совместимость

Julia 1.11 Для gemmt требуется версия Julia не ниже 1.11.

# LinearAlgebra.BLAS.gemmt — Method

gemmt(uplo, tA, tB, A, B)

Совместимость

Julia 1.11 Для gemmt требуется версия Julia не ниже 1.11.

# LinearAlgebra.BLAS.gemm! — Function

gemm!(tA, tB, alpha, A, B, beta, C)

Обновляет C в виде alpha*A*B + beta*C или других трех вариантов в соответствии с tA и tB. Возвращает обновленное значение C.

# LinearAlgebra.BLAS.gemm — Method

gemm(tA, tB, alpha, A, B)

Возвращает alpha*A*B или другие три варианта в соответствии с tA и tB.

# LinearAlgebra.BLAS.gemm — Method

gemm(tA, tB, A, B)

Возвращает A*B или другие три варианта в соответствии с tA и tB.

# LinearAlgebra.BLAS.symm! — Function

symm!(side, ul, alpha, A, B, beta, C)

Обновляет C в виде alpha*A*B + beta*C или alpha*B*A + beta*C в соответствии с side. Матрица A считается симметричной. Используется только треугольник ul матрицы A. Возвращает обновленное значение C.

# LinearAlgebra.BLAS.symm — Method

symm(side, ul, alpha, A, B)

Возвращает alpha*A*B или alpha*B*A в соответствии с side. Матрица A считается симметричной. Используется только треугольник ul матрицы A.

# LinearAlgebra.BLAS.symm — Method

symm(side, ul, A, B)

Возвращает A*B или B*A в соответствии с side. Матрица A считается симметричной. Используется только треугольник ul матрицы A.

# LinearAlgebra.BLAS.hemm! — Function

hemm!(side, ul, alpha, A, B, beta, C)

Обновляет C в виде alpha*A*B + beta*C или alpha*B*A + beta*C в соответствии с side. Матрица A считается эрмитовой. Используется только треугольник ul матрицы A. Возвращает обновленное значение C.

# LinearAlgebra.BLAS.hemm — Method

hemm(side, ul, alpha, A, B)

Возвращает alpha*A*B или alpha*B*A в соответствии с side. Матрица A считается эрмитовой. Используется только треугольник ul матрицы A.

# LinearAlgebra.BLAS.hemm — Method

hemm(side, ul, A, B)

Возвращает A*B или B*A в соответствии с side. Матрица A считается эрмитовой. Используется только треугольник ul матрицы A.

# LinearAlgebra.BLAS.syrk! — Function

syrk!(uplo, trans, alpha, A, beta, C)

Обновление ранга k симметричной матрицы C в виде alpha*A*transpose(A) + beta*C или alpha*transpose(A)*A + beta*C в соответствии с trans. Используется только треугольник uplo матрицы C. Возвращает C.

# LinearAlgebra.BLAS.syrk — Function

syrk(uplo, trans, alpha, A)

Возвращает либо верхний, либо нижний треугольник матрицы A в соответствии с uplo, alpha*A*transpose(A) или alpha*transpose(A)*A в соответствии с trans.

# LinearAlgebra.BLAS.herk! — Function

herk!(uplo, trans, alpha, A, beta, C)

Методы только для комплексных массивов. Обновление ранга k эрмитовой матрицы C в виде alpha*A*A' + beta*C или alpha*A'*A + beta*C в соответствии с trans. Обновляется только треугольник uplo матрицы C. Возвращает C.

# LinearAlgebra.BLAS.herk — Function

herk(uplo, trans, alpha, A)

Методы только для комплексных массивов. Возвращает треугольник uplo для alpha*A*A' или alpha*A'*A в соответствии с trans.

# LinearAlgebra.BLAS.syr2k! — Function

syr2k!(uplo, trans, alpha, A, B, beta, C)

Обновление ранга 2k симметричной матрицы C в виде alpha*A*transpose(B) + alpha*B*transpose(A) + beta*C или alpha*transpose(A)*B + alpha*transpose(B)*A + beta*C в соответствии с trans. Используется только треугольник uplo матрицы C. Возвращает C.

# LinearAlgebra.BLAS.syr2k — Function

syr2k(uplo, trans, alpha, A, B)

Возвращает треугольник uplo для alpha*A*transpose(B) + alpha*B*transpose(A) или alpha*transpose(A)*B + alpha*transpose(B)*A в соответствии с trans.

syr2k(uplo, trans, A, B)

Возвращает треугольник uplo для A*transpose(B) + B*transpose(A) или transpose(A)*B + transpose(B)*A в соответствии с trans.

# LinearAlgebra.BLAS.her2k! — Function

her2k!(uplo, trans, alpha, A, B, beta, C)

Обновление ранга 2k эрмитовой матрицы C в виде alpha*A*B' + alpha*B*A' + beta*C или alpha*A'*B + alpha*B'*A + beta*C в соответствии с trans. Скаляр beta должен быть вещественным. Используется только треугольник uplo матрицы C. Возвращает C.

# LinearAlgebra.BLAS.her2k — Function

her2k(uplo, trans, alpha, A, B)

Возвращает треугольник uplo для alpha*A*B' + alpha*B*A' или alpha*A'*B + alpha*B'*A в соответствии с trans.

her2k(uplo, trans, A, B)

Возвращает треугольник uplo для A*B' + B*A' или A'*B + B'*A в соответствии с trans.

# LinearAlgebra.BLAS.trmm! — Function

trmm!(side, ul, tA, dA, alpha, A, B)

Обновляет B в виде alpha*A*B или одного из других трех вариантов, определенных с помощью side и tA. Используется только треугольник ul матрицы A. dA определяет, считываются ли диагональные значения или принимаются за единицы. Возвращает обновленное значение B.

# LinearAlgebra.BLAS.trmm — Function

trmm(side, ul, tA, dA, alpha, A, B)

Возвращает alpha*A*B или один из других трех вариантов, определенных с помощью side и tA. Используется только треугольник ul матрицы A. dA определяет, считываются ли диагональные значения или принимаются за единицы.

# LinearAlgebra.BLAS.trsm! — Function

trsm!(side, ul, tA, dA, alpha, A, B)

Перезаписывает B решением A*X = alpha*B или одним из других трех вариантов, определенных с помощью side и tA. Используется только треугольник ul матрицы A. dA определяет, считываются ли диагональные значения или принимаются за единицы. Возвращает обновленную матрицу B.

# LinearAlgebra.BLAS.trsm — Function

trsm(side, ul, tA, dA, alpha, A, B)

Возвращает решение для A*X = alpha*B или одного из других трех вариантов, определенных с помощью side и tA. Используется только треугольник ul матрицы A. dA определяет, считываются ли диагональные значения или принимаются за единицы.

LAPACK functions

LinearAlgebra.LAPACK provides wrappers for some of the LAPACK functions for linear algebra. Those functions that overwrite one of the input arrays have names ending in '!'.

Usually a function has 4 methods defined, one each for Float64, Float32, ComplexF64 and ComplexF32 arrays.

Note that the LAPACK API provided by Julia can and will change in the future. Since this API is not user-facing, there is no commitment to support/deprecate this specific set of functions in future releases.

# LinearAlgebra.LAPACK — Module

Интерфейсы для подпрограмм LAPACK.

# LinearAlgebra.LAPACK.gbtrf! — Function

gbtrf!(kl, ku, m, AB) -> (AB, ipiv)

Вычисляет LU-разложение ленточной матрицы AB. kl — это первая поддиагональ, содержащая ленту ненулевых элементов, ku — последняя наддиагональ, содержащая такую ленту, а m — первое измерение матрицы AB. Возвращает LU-разложение на месте и ipiv, вектор используемых главных элементов.

# LinearAlgebra.LAPACK.gbtrs! — Function

gbtrs!(trans, kl, ku, m, AB, ipiv, B)

Решает уравнение AB * X = B. trans определяет ориентацию матрицы AB. Она может иметь значение N (без транспонирования), T (транспонирование) или C (сопряженное транспонирование). kl — это первая поддиагональ, содержащая ленту ненулевых элементов, ku — последняя наддиагональ, содержащая такую ленту, а m — первое измерение матрицы AB. ipiv является вектором главных элементов, возвращаемых из gbtrf!. Возвращает вектор или матрицу X, перезаписывая B на месте.

# LinearAlgebra.LAPACK.gebal! — Function

gebal!(job, A) -> (ilo, ihi, scale)

Балансирует матрицу A перед вычислением ее собственной системы или разложения Шура. job может быть N (A не будет переставляться или масштабироваться), P (A будет только переставляться), S (A будет только масштабироваться) или B (A будет и переставляться, и масштабироваться). Изменяет A на месте и возвращает ilo, ihi и scale. Если перестановка была включена, A[i,j] = 0, если j > i и 1 < j < ilo или j > ihi. scale содержит информацию о выполненных масштабированиях или перестановках.

# LinearAlgebra.LAPACK.gebak! — Function

gebak!(job, side, ilo, ihi, scale, V)

Преобразует собственные векторы V матрицы, сбалансированной с помощью gebal!, в немасштабированные или неперестановленные собственные векторы исходной матрицы. Изменяет V на месте. side может быть L (преобразуются левые собственные векторы) или R (преобразуются правые собственные векторы).

# LinearAlgebra.LAPACK.gebrd! — Function

gebrd!(A) -> (A, d, e, tauq, taup)

Приводит A на месте к двухдиагональной форме A = QBP'. Возвращает матрицу A, содержащую двухдиагональную матрицу B; d, содержащий диагональные элементы матрицы B; e, содержащий внедиагональные элементы матрицы B; tauq, содержащий элементарные отражатели, представляющие Q; и taup, содержащий элементарные отражатели, представляющие P.

# LinearAlgebra.LAPACK.gelqf! — Function

gelqf!(A, tau)

Вычисляет LQ-разложение A, A = LQ. tau содержит скаляры, которые параметризуют элементарные отражатели разложения. Длина tau должна быть больше или равна наименьшему измерению A.

Возвращает измененные на месте A и tau.

gelqf!(A) -> (A, tau)

Вычисляет LQ-разложение A, A = LQ.

Возвращает измененную на месте матрицу A и tau, содержащий скаляры, которые параметризуют элементарные отражатели разложения.

# LinearAlgebra.LAPACK.geqlf! — Function

geqlf!(A, tau)

Вычисляет QL-разложение A, A = QL. tau содержит скаляры, которые параметризуют элементарные отражатели разложения. Длина tau должна быть больше или равна наименьшему измерению A.

Возвращает измененные на месте A и tau.

geqlf!(A) -> (A, tau)

Вычисляет QL-разложение A, A = QL.

# LinearAlgebra.LAPACK.geqrf! — Function

geqrf!(A, tau)

Вычисляет QR-разложение A, A = QR. tau содержит скаляры, которые параметризуют элементарные отражатели разложения. Длина tau должна быть больше или равна наименьшему измерению A.

Возвращает измененные на месте A и tau.

geqrf!(A) -> (A, tau)

Вычисляет QR-разложение A, A = QR.

# LinearAlgebra.LAPACK.geqp3! — Function

geqp3!(A, [jpvt, tau]) -> (A, tau, jpvt)

Вычисляет QR-разложение матрицы A с выбранным главным элементом, AP = QR, используя BLAS уровня 3. P является матрицей с выбором главного элемента, представленной аргументом jpvt. В tau хранятся элементарные отражатели. Аргументы jpvt и tau являются необязательными и позволяют передавать предварительно выделенные массивы. При передаче jpvt должен иметь длину, большую или равную n, если A является матрицей (m x n), а tau должен иметь длину, большую или равную наименьшему измерению матрицы A. При вводе, если jpvt[j] не равно нулю, то j-й столбец матрицы A переставляется перед AP.

A, jpvt и tau изменяются на месте.

# LinearAlgebra.LAPACK.gerqf! — Function

gerqf!(A, tau)

Вычисляет RQ-разложение A, A = RQ. tau содержит скаляры, которые параметризуют элементарные отражатели разложения. Длина tau должна быть больше или равна наименьшему измерению A.

Возвращает измененные на месте A и tau.

gerqf!(A) -> (A, tau)

Вычисляет RQ-разложение A, A = RQ.

# LinearAlgebra.LAPACK.geqrt! — Function

geqrt!(A, T)

Вычисляет блочное QR-разложение A, A = QR. T содержит верхние треугольные блочные отражатели, которые параметризуют элементарные отражатели разложения. Первое измерение T задает размер блока, и его значение должно быть в диапазоне от 1 до n. Второе измерение T должно быть равно наименьшему измерению A.

Возвращает измененные на месте A и T.

geqrt!(A, nb) -> (A, T)

Вычисляет блочное QR-разложение A, A = QR. nb задает размер блока, и его значение должно быть в диапазоне от 1 до n, второе измерение A.

Возвращает измененную на месте матрицу A и T, содержащий верхние треугольные блочные отражатели, которые параметризуют элементарные отражатели разложения.

# LinearAlgebra.LAPACK.geqrt3! — Function

geqrt3!(A, T)

Рекурсивно вычисляет блочное QR-разложение A, A = QR. T содержит верхние треугольные блочные отражатели, которые параметризуют элементарные отражатели разложения. Первое измерение T задает размер блока, и его значение должно быть в диапазоне от 1 до n. Второе измерение T должно быть равно наименьшему измерению A.

Возвращает измененные на месте A и T.

geqrt3!(A) -> (A, T)

Рекурсивно вычисляет блочное QR-разложение A, A = QR.

# LinearAlgebra.LAPACK.getrf! — Function

getrf!(A, ipiv) -> (A, ipiv, info)

Вычисляет LU-разложение матрицы A с выбором главного элемента, A = LU. ipiv содержит сведения о выборе главного элемента и код info, который означает успешное выполнение (info = 0), сингулярное значение в U (info = i, в этом случае U[i,i] является сингулярным) или код ошибки (info < 0).

getrf!(A) -> (A, ipiv, info)

Вычисляет LU-разложение матрицы A с выбором главного элемента, A = LU.

Возвращает измененную на месте матрицу A, ipiv, сведения о выборе главного элемента и код info, который означает успешное выполнение (info = 0), сингулярное значение в U (info = i, в этом случае U[i,i] является сингулярным) или код ошибки (info < 0).

# LinearAlgebra.LAPACK.tzrzf! — Function

tzrzf!(A) -> (A, tau)

Преобразует верхнюю трапецеидальную матрицу A в верхнетреугольную форму на месте. Возвращает A и tau, скалярные параметры для элементарных отражателей преобразования.

# LinearAlgebra.LAPACK.ormrz! — Function

ormrz!(side, trans, A, tau, C)

Умножает матрицу C на Q из преобразования, предоставленного tzrzf!. В зависимости от side или trans умножение может быть левосторонним (side = L, Q*C) или правосторонним (side = R, C*Q), а Q может быть неизмененным (trans = N), транспонированным (trans = T) или сопряженно транспонированным (trans = C). Возвращает матрицу C, измененную на месте, с результатом умножения.

# LinearAlgebra.LAPACK.gels! — Function

gels!(trans, A, B) -> (F, B, ssr)

Решает линейное уравнение A * X = B, transpose(A) * X = B или adjoint(A) * X = B с использованием QR- или LQ-разложения. Изменяет матрицу или вектор B на месте с помощью решения. A перезаписывается QR- или LQ-разложением. trans может иметь одно из значений: N (без изменения), T (транспонирование) или C (сопряженное транспонирование). gels! ищет решение по методу минимальной нормы/наименьших квадратов. Матрица A может быть недостаточно или чрезмерно определенной. Решение возвращается в матрице B.

# LinearAlgebra.LAPACK.gesv! — Function

gesv!(A, B) -> (B, A, ipiv)

Решает линейное уравнение A * X = B, где A является квадратной матрицей, с помощью LU-разложения матрицы A. A перезаписывается LU-разложением, а B — решением X. ipiv содержит информацию о выборе главного элемента для LU-разложения матрицы A.

# LinearAlgebra.LAPACK.getrs! — Function

getrs!(trans, A, ipiv, B)

Решает линейное уравнение A * X = B, transpose(A) * X = B или adjoint(A) * X = B для квадратной матрицы A. Изменяет матрицу или вектор B на месте с помощью решения. A является LU-разложением из getrf!, с ipiv, содержащим информацию о выборе главного элемента. trans может иметь одно из значений: N (без изменения), T (транспонирование) или C (сопряженное транспонирование).

# LinearAlgebra.LAPACK.getri! — Function

getri!(A, ipiv)

Вычисляет обратный эквивалент матрицы A, используя ее LU-разложение, определенное с помощью getrf!. ipiv содержит информацию о выборе главного элемента, а A содержит LU-разложение матрицы getrf!. Матрица A перезаписывается своим обратным эквивалентом.

# LinearAlgebra.LAPACK.gesvx! — Function

gesvx!(fact, trans, A, AF, ipiv, equed, R, C, B) -> (X, equed, R, C, B, rcond, ferr, berr, work)

Решает линейное уравнение A * X = B (trans = N), transpose(A) * X = B (trans = T) или adjoint(A) * X = B (trans = C) с использованием LU-разложения матрицы A. fact может иметь значение E, в этом случае матрица A будет уравновешена и скопирована в AF; F, в этом случае AF и ipiv из предыдущего LU-разложения являются входными данными; или N, в этом случае матрица A будет скопирована в AF и затем разложена. Если fact = F, equed может иметь значение N, означающее, что матрица A не была уравновешена; R, означающее, что матрица A была умножена на Diagonal(R) слева; C, означающее, что матрица A была умножена на Diagonal(C) справа, или B, означающее, что матрица A была умножена на Diagonal(R) слева и на Diagonal(C) справа. Если fact = F и equed = R или B, все элементы R должны быть положительными. Если fact = F и equed = C или B, все элементы C должны быть положительными.

Возвращает решение X; equed, которое является выходными данными, если fact не является N, и описывает проведенное уравновешивание; R — диагональ строчного уравновешивания; C — диагональ столбцового уравновешивания; B, которая может быть перезаписана ее уравновешенной формой Diagonal(R)*B (если trans = N и equed = R,B) или Diagonal(C)*B (если trans = T,C и equed = C,B); rcond — взаимно обратное число обусловленности A после уравновешивания; ferr — граница прямой погрешности для каждого вектора решения в X; berr — граница прямой погрешности для каждого вектора решения в X; и work — взаимно обратный коэффициент роста с выбором главного элемента.

gesvx!(A, B)

Неуравновешивающее, нетранспонирующее упрощение gesvx!.

# LinearAlgebra.LAPACK.gelsd! — Function

gelsd!(A, B, rcond) -> (B, rnk)

Вычисляет решение наименьшей нормы A * X = B путем определения SVD-разложения матрицы A и последующего использования подхода «разделяй и властвуй». B перезаписывается решением X. Сингулярные значения ниже rcond будут интерпретироваться как нуль. Возвращает решение в матрице B и действующий ранг A в rnk.

# LinearAlgebra.LAPACK.gelsy! — Function

gelsy!(A, B, rcond) -> (B, rnk)

Вычисляет решение наименьшей нормы A * X = B путем определения полного QR-разложения матрицы A и последующего использования подхода «разделяй и властвуй». B перезаписывается решением X. Сингулярные значения ниже rcond будут интерпретироваться как нуль. Возвращает решение в матрице B и действующий ранг A в rnk.

# LinearAlgebra.LAPACK.gglse! — Function

gglse!(A, c, B, d) -> (X,res)

Решает уравнение A * x = c, где x подчиняется ограничению равенства B * x = d. Использует для решения формулу ||c - A*x||^2 = 0. Возвращает X и остаточную сумму квадратов.

# LinearAlgebra.LAPACK.geev! — Function

geev!(jobvl, jobvr, A) -> (W, VL, VR)

Находит собственную систему матрицы A. Если jobvl = N, левые собственные векторы матрицы A не вычисляются. Если jobvr = N, правые собственные векторы матрицы A не вычисляются. Если jobvl = V или jobvr = V, вычисляются соответствующие собственные векторы. Возвращает собственные значения в W, правые собственные векторы в VR и левые собственные векторы в VL.

# LinearAlgebra.LAPACK.gesdd! — Function

gesdd!(job, A) -> (U, S, VT)

Находит разложение сингулярного значения матрицы A, A = U * S * V', с использованием подхода по принципу «разделяй и властвуй». Если job = A, вычисляются все столбцы U и строки V'. Если job = N, столбцы U или строки V' не вычисляются. Если job = O, A перезаписывается столбцами (тонкого) U и строками (тонкого) V'. Если job = S, столбцы (тонкого) U и строки (тонкого) V' вычисляются и возвращаются по отдельности.

# LinearAlgebra.LAPACK.gesvd! — Function

gesvd!(jobu, jobvt, A) -> (U, S, VT)

Находит разложение сингулярного значения матрицы A, A = U * S * V'. Если jobu = A, вычисляются все столбцы U. Если jobvt = A, вычисляются все строки V'. Если jobu = N, столбцы U не вычисляются. Если jobvt = N, строки V' не вычисляются. Если jobu = O, A перезаписывается столбцами (тонкого) U. Если jobvt = O, A перезаписывается строками (тонкого) V'. Если jobu = S, столбцы (тонкого) U вычисляются и возвращаются по отдельности. Если jobvt = S, строки (тонкого) V' вычисляются и возвращаются по отдельности. jobu и jobvt не могут одновременно иметь значение O.

Возвращает U, S и Vt, где S — это сингулярные значения A.

# LinearAlgebra.LAPACK.ggsvd! — Function

ggsvd!(jobu, jobv, jobq, A, B) -> (U, V, Q, alpha, beta, k, l, R)

Находит обобщенное разложение сингулярного значения матриц A и B, U'*A*Q = D1*R и V'*B*Q = D2*R. На диагонали D1 находится alpha, а на диагонали D2 — beta. Если jobu = U, вычисляется ортогональная или унитарная матрица U. Если jobv = V, вычисляется ортогональная или унитарная матрица V. Если jobq = Q, вычисляется ортогональная или унитарная матрица Q. Если jobu, jobv или jobq имеет значение N, эта матрица не вычисляется. Эта функция доступна только в версиях LAPACK, предшествующих 3.6.0.

# LinearAlgebra.LAPACK.ggsvd3! — Function

ggsvd3!(jobu, jobv, jobq, A, B) -> (U, V, Q, alpha, beta, k, l, R)

Находит обобщенное разложение сингулярного значения матриц A и B, U'*A*Q = D1*R и V'*B*Q = D2*R. На диагонали D1 находится alpha, а на диагонали D2 — beta. Если jobu = U, вычисляется ортогональная или унитарная матрица U. Если jobv = V, вычисляется ортогональная или унитарная матрица V. Если jobq = Q, вычисляется ортогональная или унитарная матрица Q. Если jobu, jobv или jobq имеет значение N, эта матрица не вычисляется. Для этой функции требуется LAPACK 3.6.0.

# LinearAlgebra.LAPACK.geevx! — Function

geevx!(balanc, jobvl, jobvr, sense, A) -> (A, w, VL, VR, ilo, ihi, scale, abnrm, rconde, rcondv)

Находит собственную систему матрицы A с балансировкой матрицы. Если jobvl = N, левые собственные векторы матрицы A не вычисляются. Если jobvr = N, правые собственные векторы матрицы A не вычисляются. Если jobvl = V или jobvr = V, вычисляются соответствующие собственные векторы. Если balanc = N, балансировка не выполняется. Если balanc = P, матрица A переставляется, но не масштабируется. Если balanc = S, матрица A масштабируется, но не переставляется. Если balanc = B, матрица A переставляется и масштабируется. Если sense = N, взаимно обратные числа обусловленности не вычисляются. Если sense = E, взаимно обратные числа обусловленности вычисляются только для собственных значений. Если sense = V, взаимно обратные числа обусловленности вычисляются только для правых собственных векторов. Если sense = B, взаимно обратные числа обусловленности вычисляются только для правых собственных векторов и собственных векторов. Если sense = E,B, должны быть вычислены правые и левые собственные векторы.

# LinearAlgebra.LAPACK.ggev! — Function

ggev!(jobvl, jobvr, A, B) -> (alpha, beta, vl, vr)

Находит обобщенное разложение матриц A и B на основе собственных векторов. Если jobvl = N, левые собственные векторы не вычисляются. Если jobvr = N, правые собственные векторы не вычисляются. Если jobvl = V или jobvr = V, вычисляются соответствующие собственные векторы.

# LinearAlgebra.LAPACK.ggev3! — Function

ggev3!(jobvl, jobvr, A, B) -> (alpha, beta, vl, vr)

Находит обобщенное разложение матриц A и B на основе собственных векторов, используя блочный алгоритм. Если jobvl = N, левые собственные векторы не вычисляются. Если jobvr = N, правые собственные векторы не вычисляются. Если jobvl = V или jobvr = V, вычисляются соответствующие собственные векторы. Для этой функции требуется LAPACK 3.6.0.

# LinearAlgebra.LAPACK.gtsv! — Function

gtsv!(dl, d, du, B)

Решает уравнение A * X = B, где A является трехдиагональной матрицей с dl на ее поддиагонали, d на диагонали и du на наддиагонали.

Перезаписывает B решением X и возвращает его.

# LinearAlgebra.LAPACK.gttrf! — Function

gttrf!(dl, d, du) -> (dl, d, du, du2, ipiv)

Находит LU-разложение трехдиагональной матрицы с dl на ее поддиагонали, d на диагонали и du на наддиагонали.

Изменяет dl, d и du на месте и возвращает их и вторую наддиагональ du2 и вектор с выбором главного элемента ipiv.

# LinearAlgebra.LAPACK.gttrs! — Function

gttrs!(trans, dl, d, du, du2, ipiv, B)

Решает уравнение A * X = B (trans = N), transpose(A) * X = B (trans = T) или adjoint(A) * X = B (trans = C) с использованием LU-разложения, вычисленного с помощью gttrf!. B перезаписывается решением X.

# LinearAlgebra.LAPACK.orglq! — Function

orglq!(A, tau, k = length(tau))

Явным образом находит матрицу Q LQ-разложения после вызова gelqf! для A. Использует выходные данные gelqf!. Матрица A перезаписывается Q.

# LinearAlgebra.LAPACK.orgqr! — Function

orgqr!(A, tau, k = length(tau))

Явным образом находит матрицу Q QR-разложения после вызова geqrf! для A. Использует выходные данные geqrf!. Матрица A перезаписывается Q.

# LinearAlgebra.LAPACK.orgql! — Function

orgql!(A, tau, k = length(tau))

Явным образом находит матрицу Q QL-разложения после вызова geqlf! для A. Использует выходные данные geqlf!. Матрица A перезаписывается Q.

# LinearAlgebra.LAPACK.orgrq! — Function

orgrq!(A, tau, k = length(tau))

Явным образом находит матрицу Q RQ-разложения после вызова gerqf! для A. Использует выходные данные gerqf!. Матрица A перезаписывается Q.

# LinearAlgebra.LAPACK.ormlq! — Function

ormlq!(side, trans, A, tau, C)

Вычисляет Q * C (trans = N), transpose(Q) * C (trans = T), adjoint(Q) * C (trans = C) для side = L или эквивалентного правостороннего умножения для side = R с использованием Q из LQ-разложения матрицы A, вычисленного с помощью gelqf!. C перезаписывается.

# LinearAlgebra.LAPACK.ormqr! — Function

ormqr!(side, trans, A, tau, C)

Вычисляет Q * C (trans = N), transpose(Q) * C (trans = T), adjoint(Q) * C (trans = C) для side = L или эквивалентного правостороннего умножения для side = R с использованием Q из QR-разложения матрицы A, вычисленного с помощью geqrf!. C перезаписывается.

# LinearAlgebra.LAPACK.ormql! — Function

ormql!(side, trans, A, tau, C)

Вычисляет Q * C (trans = N), transpose(Q) * C (trans = T), adjoint(Q) * C (trans = C) для side = L или эквивалентного правостороннего умножения для side = R с использованием Q из QL-разложения матрицы A, вычисленного с помощью geqlf!. C перезаписывается.

# LinearAlgebra.LAPACK.ormrq! — Function

ormrq!(side, trans, A, tau, C)

Вычисляет Q * C (trans = N), transpose(Q) * C (trans = T), adjoint(Q) * C (trans = C) для side = L или эквивалентного правостороннего умножения для side = R с использованием Q из RQ-разложения матрицы A, вычисленного с помощью gerqf!. C перезаписывается.

# LinearAlgebra.LAPACK.gemqrt! — Function

gemqrt!(side, trans, V, T, C)

Вычисляет Q * C (trans = N), transpose(Q) * C (trans = T), adjoint(Q) * C (trans = C) для side = L или эквивалентного правостороннего умножения для side = R с использованием Q из QR-разложения матрицы A, вычисленного с помощью geqrt!. C перезаписывается.

# LinearAlgebra.LAPACK.posv! — Function

posv!(uplo, A, B) -> (A, B)

Находит решение для A * X = B, где A является симметричной или эрмитовой положительно определенной матрицей. Если uplo = U, вычисляется разложение Холецкого матрицы A. Если uplo = L, вычисляется нижнее разложение Холецкого матрицы A. Матрица A перезаписывается ее разложением Холецкого. B перезаписывается решением X.

# LinearAlgebra.LAPACK.potrf! — Function

potrf!(uplo, A)

Вычисляет разложение Холецкого (верхнее, если uplo = U, нижнее, если uplo = L) положительно определенной матрицы A. A перезаписывается и возвращается с кодом информации.

# LinearAlgebra.LAPACK.potri! — Function

potri!(uplo, A)

Вычисляет обратный эквивалент положительно определенной матрицы A после вызова potrf! для определения разложения Холецкого (верхнего, если uplo = U, нижнего, если uplo = L).

Матрица A перезаписывается своим обратным эквивалентом и возвращается.

# LinearAlgebra.LAPACK.potrs! — Function

potrs!(uplo, A, B)

Находит решение для A * X = B, где A является симметричной или эрмитовой положительно определенной матрицей, разложение Холецкого которой было вычислено с помощью potrf!. Если uplo = U, было вычислено верхнее разложение Холецкого матрицы A . Если uplo = L, было вычислено нижнее разложение Холецкого матрицы A . B перезаписывается решением X.

# LinearAlgebra.LAPACK.pstrf! — Function

pstrf!(uplo, A, tol) -> (A, piv, rank, info)

Вычисляет разложение Холецкого (верхнее, если uplo = U, нижнее, если uplo = L) с выбранным главным элементом для положительно определенной матрицы A с заданным пользователем допуском tol. Матрица A перезаписывается ее разложением Холецкого.

Возвращает A, главные элементы piv, ранг матрицы A и код info. Если info = 0, разложение выполнено успешно. Если info = i > 0, матрица A является неопределенной или матрицей неполного ранга.

# LinearAlgebra.LAPACK.ptsv! — Function

ptsv!(D, E, B)

Решает A * X = B для положительно определенной трехдиагональной матрицы A. D является диагональю A, а E — внедиагональю. B перезаписывается решением X и возвращается.

# LinearAlgebra.LAPACK.pttrf! — Function

pttrf!(D, E)

Вычисляет LDLt-разложение положительно определенной треугольной матрицы с D в качестве диагонали и E в качестве внедиагонали. D и E перезаписываются и возвращаются.

# LinearAlgebra.LAPACK.pttrs! — Function

pttrs!(D, E, B)

Решает A * X = B для положительно определенной трехдиагональной матрицы A с D в качестве диагонали и E в качестве внедиагонали после вычисления LDLt-разложения матрицы A с помощью pttrf!. B перезаписывается решением X.

# LinearAlgebra.LAPACK.trtri! — Function

trtri!(uplo, diag, A)

Определяет обратный эквивалент треугольной матрицы A (верхней, если uplo = U, нижней, если uplo = L). Если diag = N, матрица A имеет неединичные диагональные элементы. Если diag = U, все диагональные элементы матрицы A равны единице. Матрица A перезаписывается своим обратным эквивалентом.

# LinearAlgebra.LAPACK.trtrs! — Function

trtrs!(uplo, trans, diag, A, B)

Решает A * X = B (trans = N), transpose(A) * X = B (trans = T) или adjoint(A) * X = B (trans = C) для треугольной матрицы A (верхней, если uplo = U, нижней, если uplo = L). Если diag = N, матрица A имеет неединичные диагональные элементы. Если diag = U, все диагональные элементы матрицы A равны единице. B перезаписывается решением X.

# LinearAlgebra.LAPACK.trcon! — Function

trcon!(norm, uplo, diag, A)

Находит взаимно обратное число обусловленности треугольной матрицы A (верхней, если uplo = U, нижней, если uplo = L). Если diag = N, матрица A имеет неединичные диагональные элементы. Если diag = U, все диагональные элементы матрицы A равны единице. Если norm = I, число обусловленности будет найдено в бесконечной норме. Если norm = O или 1, число обусловленности будет найдено в единичной норме.

# LinearAlgebra.LAPACK.trevc! — Function

trevc!(side, howmny, select, T, VL = similar(T), VR = similar(T))

Находит собственную систему верхней треугольной матрицы T. Если side = R, вычисляются правые собственные векторы. Если side = L, вычисляются левые собственные векторы. Если side = B, вычисляются оба набора. Если howmny = A, будут найдены все собственные векторы. Если howmny = B, будут найдены все собственные векторы и они будут обратно преобразованы с помощью VL и VR. Если howmny = S, вычисляются только собственные векторы, соответствующие значениям в select.

# LinearAlgebra.LAPACK.trrfs! — Function

trrfs!(uplo, trans, diag, A, B, X, Ferr, Berr) -> (Ferr, Berr)

Оценивает погрешность в решении для A * X = B (trans = N), transpose(A) * X = B (trans = T), adjoint(A) * X = B (trans = C) для side = L или эквивалентных уравнений правосторонней side = R X * A после вычисления X с помощью trtrs!. Если uplo = U, матрица A является верхнетреугольной. Если uplo = L, матрица A является нижнетреугольной. Если diag = N, матрица A имеет неединичные диагональные элементы. Если diag = U, все диагональные элементы матрицы A равны единице. Ferr и Berr являются дополнительными входными данными. Ferr — это прямая погрешность, а Berr — обратная погрешность, каждая является покомпонентной.

# LinearAlgebra.LAPACK.stev! — Function

stev!(job, dv, ev) -> (dv, Zmat)

Вычисляет собственную систему для симметричной трехдиагональной матрицы с dv как диагональным и ev как внедиагональным. Если job = N, будут найдены только собственные значения и возвращены в dv. Если job = V, также будут найдены собственные векторы и возвращены в Zmat.

# LinearAlgebra.LAPACK.stebz! — Function

stebz!(range, order, vl, vu, il, iu, abstol, dv, ev) -> (dv, iblock, isplit)

Вычисляет собственные значения для симметричной трехдиагональной матрицы с dv как диагональным и ev как внедиагональным. Если range = A, будут найдены все собственные значения. Если range = V, будут найдены собственные значения в полуоткрытом интервале (vl, vu]. Если range = I, будут найдены собственные значения с индексами между il и iu . Если order = B, собственные значения упорядочиваются в рамках блока. Если order = E, они упорядочиваются во всех блоках. abstol можно задать как допуск на сходимость.

# LinearAlgebra.LAPACK.stegr! — Function

stegr!(jobz, range, dv, ev, vl, vu, il, iu) -> (w, Z)

Вычисляет собственные значения (jobz = N) или собственные значения и собственные векторы (jobz = V) для симметричной трехдиагональной матрицы с dv как диагональным и ev как внедиагональным. Если range = A, будут найдены все собственные значения. Если range = V, будут найдены собственные значения в полуоткрытом интервале (vl, vu]. Если range = I, будут найдены собственные значения с индексами между il и iu . Собственные значения возвращаются в w, а собственные векторы — в Z.

# LinearAlgebra.LAPACK.stein! — Function

stein!(dv, ev_in, w_in, iblock_in, isplit_in)

Вычисляет собственные векторы для симметричной трехдиагональной матрицы с dv как диагональным и ev_in как внедиагональным. w_in задает входные собственные значения, для которых нужно найти собственные векторы. iblock_in задает подматрицы, соответствующие собственным значениям в w_in. isplit_in задает точки разделения между блоками подматрицы.

# LinearAlgebra.LAPACK.syconv! — Function

syconv!(uplo, A, ipiv) -> (A, work)

Преобразует симметричную матрицу A (которая была разложена на треугольную матрицу) в две матрицы L и D. Если uplo = U, матрица A является верхнетреугольной. Если uplo = L, она является нижнетреугольной. ipiv является вектором главного элемента из треугольного разложения. Матрица A перезаписывается L и D.

# LinearAlgebra.LAPACK.sysv! — Function

sysv!(uplo, A, B) -> (B, A, ipiv)

Находит решение для A * X = B для симметричной матрицы A. Если uplo = U, сохраняется верхняя половина A. Если uplo = L, сохраняется нижняя половина. Матрица B перезаписывается решением X. Матрица A перезаписывается ее разложением Банча-Кауфмана. ipiv содержит информацию о разложении.

# LinearAlgebra.LAPACK.sytrf! — Function

sytrf!(uplo, A) -> (A, ipiv, info)

Вычисляет разложение Банча-Кауфмана симметричной матрицы A. Если uplo = U, сохраняется верхняя половина A. Если uplo = L, сохраняется нижняя половина.

Возвращает матрицу A, перезаписанную разложением, вектор главного элемента ipiv и код ошибки info в виде неотрицательного целого числа. Если info имеет положительное значение, матрица сингулярна и диагональная часть разложения в точности равна нулю в позиции info.

sytrf!(uplo, A, ipiv) -> (A, ipiv, info)

# LinearAlgebra.LAPACK.sytri! — Function

sytri!(uplo, A, ipiv)

Вычисляет обратный эквивалент симметричной матрицы A с использованием результатов sytrf!. Если uplo = U, сохраняется верхняя половина A. Если uplo = L, сохраняется нижняя половина. Матрица A перезаписывается своим обратным эквивалентом.

# LinearAlgebra.LAPACK.sytrs! — Function

sytrs!(uplo, A, ipiv, B)

Решает уравнение A * X = B для симметричной матрицы A с использованием результатов sytrf!. Если uplo = U, сохраняется верхняя половина A. Если uplo = L, сохраняется нижняя половина. Матрица B перезаписывается решением X.

# LinearAlgebra.LAPACK.hesv! — Function

hesv!(uplo, A, B) -> (B, A, ipiv)

Находит решение для A * X = B для эрмитовой матрицы A. Если uplo = U, сохраняется верхняя половина A. Если uplo = L, сохраняется нижняя половина. Матрица B перезаписывается решением X. Матрица A перезаписывается ее разложением Банча-Кауфмана. ipiv содержит информацию о разложении.

# LinearAlgebra.LAPACK.hetrf! — Function

hetrf!(uplo, A) -> (A, ipiv, info)

Вычисляет разложение Банча-Кауфмана эрмитовой матрицы A. Если uplo = U, сохраняется верхняя половина A. Если uplo = L, сохраняется нижняя половина.

hetrf!(uplo, A, ipiv) -> (A, ipiv, info)

# LinearAlgebra.LAPACK.hetri! — Function

hetri!(uplo, A, ipiv)

Вычисляет обратный эквивалент эрмитовой матрицы A с использованием результатов sytrf!. Если uplo = U, сохраняется верхняя половина A. Если uplo = L, сохраняется нижняя половина. Матрица A перезаписывается своим обратным эквивалентом.

# LinearAlgebra.LAPACK.hetrs! — Function

hetrs!(uplo, A, ipiv, B)

Решает уравнение A * X = B для эрмитовой матрицы A с использованием результатов sytrf!. Если uplo = U, сохраняется верхняя половина A. Если uplo = L, сохраняется нижняя половина. Матрица B перезаписывается решением X.

# LinearAlgebra.LAPACK.syev! — Function

syev!(jobz, uplo, A)

# LinearAlgebra.LAPACK.syevr! — Function

syevr!(jobz, range, uplo, A, vl, vu, il, iu, abstol) -> (W, Z)

Находит собственные значения (jobz = N) или собственные значения и собственные векторы (jobz = V) симметричной матрицы A. Если uplo = U, используется верхний треугольник матрицы A. Если uplo = L, используется нижний треугольник матрицы A. Если range = A, будут найдены все собственные значения. Если range = V, будут найдены собственные значения в полуоткрытом интервале (vl, vu]. Если range = I, будут найдены собственные значения с индексами между il и iu . abstol можно задать как допуск на сходимость.

Собственные значения возвращаются в W, а собственные векторы — в Z.

# LinearAlgebra.LAPACK.syevd! — Function

syevd!(jobz, uplo, A)

Используйте метод «разделяй и властвуй» вместо итерации QR, применяемой syev!, или нескольких относительно надежных представлений, применяемых syevr!. Сравнение точности и производительности различных методов см. в работе James W. Demmel et al, SIAM J. Sci. Comput. 30, 3, 1508 (2008).

# LinearAlgebra.LAPACK.sygvd! — Function

sygvd!(itype, jobz, uplo, A, B) -> (w, A, B)

Находит обобщенные собственные значения (jobz = N) или собственные значения и собственные векторы (jobz = V) симметричной матрицы A и симметричной положительно определенной матрицы B. Если uplo = U, используются верхние треугольники матриц A и B. Если uplo = L, используются нижние треугольники матриц A и B. Если itype = 1, нужно решить задачу A * x = lambda * B * x. Если itype = 2, нужно решить задачу A * B * x = lambda * x. Если itype = 3, нужно решить задачу B * A * x = lambda * x.

# LinearAlgebra.LAPACK.bdsqr! — Function

bdsqr!(uplo, d, e_, Vt, U, C) -> (d, Vt, U, C)

Вычисляет разложение сингулярного значения двухдиагональной матрицы с d на диагонали и e_ вне диагонали. Если uplo = U, e_ является наддиагональю. Если uplo = L, e_ является поддиагональю. При необходимости может также вычислять произведение Q' * C.

Возвращает сингулярные значения в d, и матрица C перезаписывается Q' * C.

# LinearAlgebra.LAPACK.bdsdc! — Function

bdsdc!(uplo, compq, d, e_) -> (d, e, u, vt, q, iq)

Вычисляет разложение сингулярного значения двухдиагональной матрицы с d на диагонали и e_ вне диагонали с использованием подхода по принципу «разделяй и властвуй». Если uplo = U, e_ является наддиагональю. Если uplo = L, e_ является поддиагональю. Если compq = N, будут найдены только сингулярные значения. Если compq = I, будут найдены сингулярные значения и векторы. Если compq = P, сингулярные значения и векторы будут найдены в компактной форме. Работает только для вещественных типов.

Возвращает сингулярные значения в d, а если compq = P — компактные сингулярные векторы в iq.

# LinearAlgebra.LAPACK.gecon! — Function

gecon!(normtype, A, anorm)

Находит взаимно обратное число обусловленности матрицы A. Если normtype = I, число обусловленности будет найдено в бесконечной норме. Если normtype = O или 1, число обусловленности будет найдено в единичной норме. Матрица A должна быть результатом функции getrf!, а anorm является нормой матрицы A в связанной норме.

# LinearAlgebra.LAPACK.gehrd! — Function

gehrd!(ilo, ihi, A) -> (A, tau)

Преобразует матрицу A в матрицу Хессенберга. Если A балансируется с помощью функции gebal!, то ilo и ihi являются выходными данными gebal!. В противном случае они должны быть следующими: ilo = 1 и ihi = size(A,2). tau содержит элементарные отражатели разложения.

# LinearAlgebra.LAPACK.orghr! — Function

orghr!(ilo, ihi, A, tau)

Явным образом находит Q, ортогональную или унитарную матрицу из функции gehrd!. ilo, ihi, A и tau должны соответствовать входным или выходным данным функции gehrd!.

# LinearAlgebra.LAPACK.gees! — Function

gees!(jobvs, A) -> (A, vs, w)

Вычисляет собственные значения (jobvs = N) или собственные значения и векторы Шура (jobvs = V) матрицы A. Матрица A перезаписывается своей формой Шура.

Возвращает матрицу A, vs, содержащий векторы Шура, и w, содержащий собственные значения.

# LinearAlgebra.LAPACK.gges! — Function

gges!(jobvsl, jobvsr, A, B) -> (A, B, alpha, beta, vsl, vsr)

Вычисляет обобщенные собственные значения, обобщенную форму Шура, левые векторы Шура (jobsvl = V) или правые векторы Шура (jobvsr = V) матриц A и B.

Обобщенные собственные значения возвращаются в alpha и beta. Левые векторы Шура возвращаются в vsl, а правые векторы Шура — в vsr.

# LinearAlgebra.LAPACK.gges3! — Function

gges3!(jobvsl, jobvsr, A, B) -> (A, B, alpha, beta, vsl, vsr)

Вычисляет обобщенные собственные значения, обобщенную форму Шура, левые векторы Шура (jobsvl = V) или правые векторы Шура (jobvsr = V) матриц A и B, используя блочный алгоритм. Для этой функции требуется LAPACK 3.6.0.

# LinearAlgebra.LAPACK.trexc! — Function

trexc!(compq, ifst, ilst, T, Q) -> (T, Q)
trexc!(ifst, ilst, T, Q) -> (T, Q)

Переупорядочивает разложение Шура T матрицы так, что диагональный блок T с индексом строки ifst перемещается в индекс строки ilst. Если compq = V, векторы Шура Q переупорядочиваются. Если compq = N, они не изменяются. Метод с четырьмя аргументами вызывает метод с пятью аргументами с compq = V.

# LinearAlgebra.LAPACK.trsen! — Function

trsen!(job, compq, select, T, Q) -> (T, Q, w, s, sep)
trsen!(select, T, Q) -> (T, Q, w, s, sep)

Переупорядочивает разложение Шура матрицы и при необходимости находит взаимно обратные числа обусловленности. Если job = N, числа обусловленности найдены не будут. Если job = E, будет найдено только число обусловленности для этого кластера собственных значений. Если job = V, будет найдено только число обусловленности для инвариантного подпространства. Если job = B, будут найдены числа обусловленности для кластера и подпространства. Если compq = V, векторы Шура Q обновляются. Если compq = N, векторы Шура не изменяются. select определяет, какие собственные значения находятся в кластере. Метод с тремя аргументами вызывает метод с пятью аргументами с job = N и compq = V.

Возвращает T, Q, переупорядоченные собственные значения в w, число обусловленности кластера собственных значений s и число обусловленности инвариантного подпространства sep.

# LinearAlgebra.LAPACK.tgsen! — Function

tgsen!(select, S, T, Q, Z) -> (S, T, alpha, beta, Q, Z)

Переупорядочивает векторы обобщенного разложения Шура. select задает собственные значения в каждом кластере.

# LinearAlgebra.LAPACK.trsyl! — Function

trsyl!(transa, transb, A, B, C, isgn=1) -> (C, scale)

Решает матричное уравнение Сильвестра A * X +/- X * B = scale*C, где A и B являются квазиверхнетреугольными. Если transa = N, матрица A не изменяется. Если transa = T, матрица A транспонируется. Если transa = C, матрица A сопряженно транспонируется. То же самое действует для transb и B. Если isgn = 1, решается уравнение A * X + X * B = scale * C. Если isgn = -1, решается уравнение A * X - X * B = scale * C.

Возвращает X (перезаписывая C) и scale.

# LinearAlgebra.LAPACK.hseqr! — Function

hseqr!(job, compz, ilo, ihi, H, Z) -> (H, Z, w)

Вычисляет все собственные значения и (необязательно) разложение Шура матрицы, приведенной к форме Хессенберга. Если H балансируется с помощью функции gebal!, то ilo и ihi являются выходными данными gebal!. В противном случае они должны быть следующими: ilo = 1 и ihi = size(H,2). tau содержит элементарные отражатели разложения.

Developer Documentation

# LinearAlgebra.matprod_dest — Function

matprod_dest(A, B, T)

Return an appropriate AbstractArray with element type T that may be used to store the result of A * B.

Совместимость

Compat This function requires at least Julia 1.11

# LinearAlgebra.haszero — Function

haszero(T::Type)

Return whether a type T has a unique zero element defined using zero(T). If a type M specializes zero(M), it may also choose to set haszero(M) to true. By default, haszero is assumed to be false, in which case the zero elements are deduced from values rather than the type.

Note haszero is a conservative check that is used to dispatch to optimized paths. Extending it is optional, but encouraged.

1. Davis, Timothy A. (2004b). Algorithm 832: UMFPACK V4.3---an Unsymmetric-Pattern Multifrontal Method. ACM Trans. Math. Softw., 30(2), 196—199. doi:10.1145/992200.992206

2. Chen, Y., Davis, T. A., Hager, W. W., & Rajamanickam, S. (2008). Algorithm 887: CHOLMOD, Supernodal Sparse Cholesky Factorization and Update/Downdate. ACM Trans. Math. Softw., 35(3). doi:10.1145/1391989.1391995

3. Davis, Timothy A., & Hager, W. W. (2009). Dynamic Supernodes in Sparse Cholesky Update/Downdate and Triangular Solves. ACM Trans. Math. Softw., 35(4). doi:10.1145/1462173.1462176

4. R Schreiber and C Van Loan, A storage-efficient WY representation for products of Householder transformations, SIAM J Sci Stat Comput 10 (1989), 53-57. doi:10.1137/0910005

5. Foster, L. V., & Davis, T. A. (2013). Algorithm 933: Reliable Calculation of Numerical Rank, Null Space Bases, Pseudoinverse Solutions, and Basic Solutions Using SuitesparseQR. ACM Trans. Math. Softw., 40(1). doi:10.1145/2513109.2513116

6. J R Bunch and L Kaufman, Some stable methods for calculating inertia and solving symmetric linear systems, Mathematics of Computation 31:137 (1977), 163-179. url.

7. Issue 8859, Fix least squares, https://github.com/JuliaLang/julia/pull/8859

8. Åke Björck, Numerical Methods for Least Squares Problems, SIAM Press, Philadelphia, 1996, Other Titles in Applied Mathematics, Vol. 51. doi:10.1137/1.9781611971484

9. G. W. Stewart, Rank Degeneracy, SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, 5(2), 1984, 403-413. doi:10.1137/0905030

10. Konstantinos Konstantinides and Kung Yao, Statistical analysis of effective singular values in matrix rank determination, IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing, 36(5), 1988, 757-763. doi:10.1109/29.1585

11. Nicholas J. Higham, The squaring and scaling method for the matrix exponential revisited, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 26(4), 2005, 1179-1193. doi:10.1137/090768539

12. Awad H. Al-Mohy and Nicholas J. Higham, Improved inverse scaling and squaring algorithms for the matrix logarithm, SIAM Journal on Scientific Computing, 34(4), 2012, C153-C169. doi:10.1137/110852553

13. Awad H. Al-Mohy, Nicholas J. Higham and Samuel D. Relton, Computing the Fréchet derivative of the matrix logarithm and estimating the condition number, SIAM Journal on Scientific Computing, 35(4), 2013, C394-C410. doi:10.1137/120885991

14. Åke Björck and Sven Hammarling, A Schur method for the square root of a matrix, Linear Algebra and its Applications, 52-53, 1983, 127-140. doi:10.1016/0024-3795(83)80010-X

15. Nicholas J. Higham, Computing real square roots of a real matrix, Linear Algebra and its Applications, 88-89, 1987, 405-430. doi:10.1016/0024-3795(87)90118-2

16. Matthew I. Smith, A Schur Algorithm for Computing Matrix pth Roots, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, vol. 24, 2003, pp. 971—989. doi:10.1137/S0895479801392697

17. Mary Aprahamian and Nicholas J. Higham, Matrix Inverse Trigonometric and Inverse Hyperbolic Functions: Theory and Algorithms, MIMS EPrint: 2016.4. https://doi.org/10.1137/16M1057577

18. Mary Aprahamian and Nicholas J. Higham, Matrix Inverse Trigonometric and Inverse Hyperbolic Functions: Theory and Algorithms, MIMS EPrint: 2016.4. https://doi.org/10.1137/16M1057577

19. Mary Aprahamian and Nicholas J. Higham, Matrix Inverse Trigonometric and Inverse Hyperbolic Functions: Theory and Algorithms, MIMS EPrint: 2016.4. https://doi.org/10.1137/16M1057577

20. Mary Aprahamian and Nicholas J. Higham, Matrix Inverse Trigonometric and Inverse Hyperbolic Functions: Theory and Algorithms, MIMS EPrint: 2016.4. https://doi.org/10.1137/16M1057577

21. Mary Aprahamian and Nicholas J. Higham, Matrix Inverse Trigonometric and Inverse Hyperbolic Functions: Theory and Algorithms, MIMS EPrint: 2016.4. https://doi.org/10.1137/16M1057577

Linear Algebra

Special matrices

Elementary operations

Matrix factorizations

The uniform scaling operator

Matrix factorizations

Orthogonal matrices (AbstractQ)

Pivoting Strategies

Standard functions

Low-level matrix operations

BLAS functions

BLAS character arguments

Multiplication order

Triangle referencing

Transposition operation

Unit diagonal

Level 1 BLAS functions

Level 2 BLAS functions

Level 3 BLAS functions

LAPACK functions

Developer Documentation

Orthogonal matrices (`AbstractQ`)