Гиперкомплексная обработка сигналов: преобразование Фурье и алгебра оптических операций через октонионы

В современной цифровой обработке сигналов преобразование Фурье является фундаментальным инструментом. Но что если мы хотим анализировать не просто одномерные аудиосигналы или двумерные изображения, а сложные многомерные данные, где каждый элемент содержит информацию о цвете, поляризации, пространственных координатах и других параметрах? Причем нам может потребоваться изменять все параметры сигнала связанным, физически допустимым образом.

Здесь на помощь приходят октонионы - 8-мерные гиперкомплексные числа, позволяющие компактно представлять и анализировать такие сложные данные.

Что такое октонионы?

Октонионы (или октавы) - это расширение комплексных чисел и кватернионов. В отличие от кватернионов, которые имеют 4 компоненты, октонионы имеют 8 компонент и обладают свойством неассоциативности. В Julia мы можем работать с ними с помощью пакета Octonions.jl.

Pkg.add("Octonions")

Создадим анализируемый сигнал

Рассмотрим реализацию октонионного преобразования Фурье для обработки многомерных сигналов.

В отличие от обычного вектора, октонион (8-мерное гиперкомплексное число) может компактно кодировать:

Поляризацию (2 компоненты — линейная и круговая),
Цвет (3 компоненты — RGB или спектральные характеристики),
Фазовую информацию (1 компонента),
Пространственные координаты (2 компоненты — например, угол падения и глубину).

Такое представление сохраняет взаимосвязи между параметрами, которые теряются при раздельном анализе (представление в виде векторов).

using Octonions, FFTW, LinearAlgebra

# Создаем октонионный сигнал (8-канальный)
function create_octonion_signal(n)
    [Octonion(randn(8)...) for _ in 1:n]
end

create_octonion_signal (generic function with 1 method)

Октонионы здесь работают как «контейнеры», сохраняющие естественные соотношения между физическими параметрами света, что критично для точного анализа и обработки.

Но если разложить все октонионы на 8 скалярных компонент, то мы получим такую матрицу:

oc_to_vec(o) = [o.s, o.v1, o.v2, o.v3, o.v4, o.v5, o.v6, o.v7]
heatmap( hcat([oc_to_vec(o) for o in (create_octonion_signal(100))]... ) )

Октонионное преобразование Фурье

Дальше реализуем два метода - прямое и обратное преобразование Фурье для октонионов.

# Октонионное преобразование Фурье
function octonion_fft(signal)
    
    # Преобразуем вектор из октонионов в 8 векторов скаляров
    components = eachrow(hcat([oc_to_vec(o) for o in signal]...))
    
    # Применяем стандартное FFT к каждой компоненте
    transformed_components = [fft(c) for c in components]
    
    # Собираем действительную и мнимую часть в октонионы
    transformed_re = [Octonion([real(transformed_components[j][k]) for j in 1:8]...) for k in 1:n]
    transformed_im = [Octonion([imag(transformed_components[j][k]) for j in 1:8]...) for k in 1:n]
    return transformed_re, transformed_im
end

# Обратное преобразование
function octonion_ifft(signal_re, signal_im)
    complex_matrix = [[ Complex(si,sr) for (si,sr) in zip(oc_to_vec(vi),oc_to_vec(vr))] for (vi,vr) in zip(signal_re,signal_im)]
    components = eachrow(hcat(complex_matrix...))
    
    transformed_components = [ifft(c) for c in components]
    [Octonion([real(transformed_components[j][k]) for j in 1:8]...) for k in 1:n]
end

octonion_ifft (generic function with 1 method)

Теперь передадим в наши преобразования вектор из 256 октонионов, проведем преобразование в частотную область и обратно и посмотрим, какая ошибка у нас наберется от этих операций.

# Пример использования
n = 256
signal = create_octonion_signal(n)
(transformed_re, transformed_im) = octonion_fft(signal)
reconstructed = octonion_ifft(transformed_re, transformed_im)

# Проверка точности восстановления
recovery_err = norm([signal[i] - reconstructed[i] for i in 1:n])
println("Ошибка восстановления: ", recovery_err)

Ошибка восстановления: 1.0585794976561941e-14

При обратном преобразовании Фурье (ifft) мы работаем с комплексным спектром сигнала, но итоговый восстановленный сигнал должен быть вещественным (поскольку исходные данные — это физические измерения, такие как интенсивность света или амплитуда волны).

Практическое применение

Такой подход может быть полезен для:

Обработки цветных изображений с дополнительными характеристиками (глубина, поляризация)
Анализа многомерных физических данных (например, метеорологических измерений)
Сжатия сложных сигналов с сохранением взаимосвязей между компонентами

Примеры сигналов для анализа могут включать информацию со следующих устройств:

Поляризационная камера — данные о распределении поляризации света в сцене, где каждый пиксель содержит информацию об угле и эллиптичности поляризации.
Гиперспектральные изображения — сотни спектральных каналов, которые можно сжать до 8 ключевых компонент.
Лидарные данные — расстояние, интенсивность и поляризация отраженного сигнала для автономных автомобилей.
Голография — амплитуда и фаза световой волны, восстанавливающей 3D-объект.

Применение октонионов в оптике

Октонионы — это не просто 8D-векторы, а алгебраическая структура с некоммутативным и неассоциативным умножением. В оптике это позволяет:

Кодировать взаимозависимые параметры
Например, поляризация (линейная/круговая) математически связана с фазой и направлением распространения волны. В векторном представлении эти связи теряются, а в октонионной алгебре сохраняются через правила умножения базисных единиц e₁...e₇.
Учитывать нелинейные эффекты
Умножение октонионов автоматически моделирует:
- Вращение плоскости поляризации в кристаллах
- Фазовые сдвиги при преломлении
- Взаимодействие спектральных компонент
Сжимать представление
8D-октонион компактнее тензорного описания тех же параметров (например, матриц Джонса-Мюллера для поляризации + отдельно RGB + фаза).

При желании можно создать алгебру оптических операций, базирующуюся на октонионах, имеющею все обозначенные выше преимущества.

Следующая программа показывает, как применение поляризации к пучку света с круговой поляризацией меняет сразу амплитуду, фазу и поляризацию входного сигнала.

using Octonions

struct OpticalField
    oct::Octonion{Float64}
end

# Оператор прохождения через поляризатор
function apply_polarizer(field::OpticalField, angle::Float64)
    # Поляризатор как октонион с e₂ (линейная поляризация)
    pol = Octonion(1.0, cos(2angle), sin(2angle), 0, 0, 0, 0, 0)
    OpticalField(field.oct * pol / 2)
end

# Пример: свет с круговой поляризацией (e₄)
input = OpticalField(Octonion(0, 0, 0, 1.0, 0, 0, 0, 0))
output = apply_polarizer(input, π/4)  # Поляризатор под 45°

# Результат содержит корректную связь амплитуды/фазы/поляризации
println(output.oct)  # Компоненты e₂ и e₃ теперь не нулевые

OctonionF64(0.0, -0.5, 3.061616997868383e-17, 0.5, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0)

Октонионы дают естественное представление оптических полей именно благодаря своей алгебраической структуре. В отличие от векторов, они:

Запрещают физически невозможные операции (например, независимое изменение фазы и поляризации)
Сокращают вычислительную сложность — одна октонионная операция заменяет серию матричных преобразований
Сохранют геометрические инварианты автоматически, без ручной проверки условий.

Заключение

Хотя октонионное преобразование Фурье требует больше вычислений, чем классическое, оно открывает новые возможности для анализа сложных многомерных данных. В будущем, с развитием квантовых вычислений и специализированных процессоров, такие методы могут стать стандартным инструментом в обработке сигналов.

В оптике октонионы дают естественное представление оптических полей именно благодаря своей алгебраической структуре.

Julia с ее производительностью и удобством работы с абстрактными типами данных идеально подходит для экспериментов с гиперкомплексными числами и разработки новых алгоритмов на их основе.