NLsolve.jl

Это наиболее эффективный метод, поскольку он минимизирует выделение памяти.

Далее предполагается, что вы определили функцию f!(F::AbstractVector, x::AbstractVector) или, в более общем случае, функцию f!(F::AbstractArray, x::AbstractArray), вычисляющую невязку системы в точке x и помещающую ее в аргумент F.

В свою очередь, существует три способа указания варианта вычисления якобиана:

Здесь предполагается, что у вас есть функция f(x::AbstractArray), которая возвращает только что выделенный вектор, содержащий невязки. Просто передайте его функции nlsolve, и она автоматически определит, определен ли f для одного или двух аргументов:

Обратите внимание, что это означает, что если у вас есть функция f с методом, принимающим один аргумент, и другим методом, принимающим два аргумента, то будет считаться, что версия с двумя аргументами является изменяемой f, как описано выше.

С помощью ключевого слова autodiff для вычисления якобиана в этом случае можно использовать как нахождение конечных разностей, так и автоматическое дифференцирование.

Если наряду с f(x::AbstractArray) имеется функция j(x::AbstractArray), возвращающая только что выделенную матрицу, содержащую якобиан, мы снова просто передаем их функции nlsolve:

Если наряду с f и j имеется функция fj, возвращающая кортеж только что выделенного вектора невязок и только что выделенную матрицу, содержащую якобиан, подход останется прежним:

Если у вас есть функция f(x::Float64, y::Float64, ...), которая принимает нужную точку в виде нескольких скаляров и возвращает вектор или кортеж, содержащий невязки, можно использовать вспомогательную функцию n_ary. Полный синтаксис выглядит следующим образом.

Для вычисления якобиана используется метод нахождения конечных разностей.

Если якобиан функции разрежен, можно настроить подпрограммы для работы с разреженными матрицами, а не полными, чтобы увеличить производительность в больших системах. Это означает, что необходимо обязательно указать соответствующий тип якобиана, чтобы решатель знал, что передавать функции j!.

Можно передать конструктору необязательную третью функцию fj!, как для случая с полным якобианом.

Обратите внимание, что матрица якобиана не сбрасывается при вызовах функции. В результате нужно быть внимательным и не забыть перезаписать все ненулевые элементы, которые могли быть инициализированы предыдущим вызовом функции. Если вы сомневаетесь, можете очистить разреженную матрицу в начале функции. Если J является разреженным якобианом, это можно сделать следующим образом.

Это хорошо известный метод решения, основанный на квадратичной аппроксимации задачи наименьших квадратов, которая считается действительной в компактной области с центром вокруг текущей итерации.

Этот метод выбирается следующим образом: method = :trust_region.

Метод принимает следующие пользовательские параметры.

Это классический алгоритм Ньютона с дополнительным линейным поиском.

Этот метод выбирается следующим образом: method = :newton.

Он принимает пользовательский параметр linesearch, который должен быть равен функции, вычисляющей линейный поиск. В настоящее время источником доступных значений является пакет LineSearches. По умолчанию линейный поиск не выполняется. Примечание. Предполагается, что переданная функция линейного поиска по крайней мере обновит вектор решения и вычислит функцию в новой точке.

Этот метод выбирается следующим образом: method = :anderson.

Он также известен как DIIS или смешение Пулая и основан на ускорении итерации с фиксированной точкой xₙ₊₁ = xₙ + beta*f(xₙ), где по умолчанию beta=1. Он не использует информацию якобиана или линейный поиск, но имеет историю, размер которой контролируется параметром m: m=0 соответствует простой итерации с фиксированной точкой, а более высокие значения используют больший размер истории для ускорения итераций. Большие значения m обычно увеличивают скорость сходимости, но повышают требования к хранению и вычислениям и могут привести к нестабильности. Этот метод полезен для ускорения итерации с фиксированной точкой xₙ₊₁ = g(xₙ) (в этом случае используйте этот решатель при f(x) = g(x) - x).

Справочные материалы: H. Walker, P. Ni, Anderson acceleration for fixed-point iterations, SIAM Journal on Numerical Analysis, 2011

Другими необязательными аргументами для nlsolve, доступными для всех алгоритмов, являются следующие.

Существует оболочка fixedpoint() вокруг nlsolve(), которая сопоставляет входную функцию F(x) с G(x) = F(x) - x, и то же самое для версии на месте. Это позволяет решать задачи с фиксированной точкой, например такие, которые часто встречаются в вычислительной экономике. Далее приведены некоторые примечания.

Примечание. Если вы предоставляете собственную производную, убедитесь, что она соответствующим образом преобразована (например, в настоящее время мы сопоставляем f -> f - x, но ждем стабилизации API, прежде чем сопоставлять J -> J - I, поэтому вам придется сделать это самостоятельно).