Начало работы с Symbolics.jl

Для определения символьных переменных используется макрос @variables:

После определения переменных как символьных с помощью выражений Julia можно генерировать символьные выражения, которые мы называем объектами istree. Например:

Здесь z — это дерево выражений для выражения «возвести в квадрат x и прибавить y». Чтобы создать массив символьных выражений, просто создайте массив символьных выражений:

Обратите внимание, что по умолчанию @variables возвращает объекты Sym или istree, заключенные в Num, чтобы они действовали как подтипы Real. Любая операция с этими объектами Num возвратит новый объект Num с заключенным в него результатом символьных вычислений с базовыми значениями.

Если вы выполняете действия из этого руководства в REPL Julia, A не будет отображаться с уравнениями LaTeX. Чтобы получить эти уравнения, можно использовать Latexify.jl. Symbolics.jl содержит шаблоны Latexify, поэтому он работает автоматически:

Обычные функции Julia работают с выражениями Symbolics, поэтому, если нужно создать разреженную версию A, следует просто вызвать sparse:

Таким образом, мы можем использовать обычные функции Julia в качестве генераторов разреженных выражений. Например, здесь мы определим следующее:

Или мы можем создать переменную массива и использовать ее для трассировки функции:

В символьной системе часто приходится вычислять производные. В Symbolics.jl производные «лениво» представлены с помощью операций, как и любые другие функции. Чтобы создать дифференциальный оператор, используйте Differential, как показано далее:

Это дифференциальный оператор . Мы можем сформировать дифференциальный оператор с помощью *, например Differential(t) * Differential(x) или Differential(t)^2. Теперь запишем производную некоторого выражения:

Заметьте, что это еще ничего не вычисляет: D — это ленивый оператор, так как позволяет символически представить «производную по », что полезно, например, при представлении дифференциальных уравнений. Однако если мы хотим разложить дифференциальный оператор, будем использовать expand_derivatives:

Доступ к переменной, по которой берется производная, осуществляется так:

Кроме того, можно использовать упрощенные функции для анализа функций многих переменных. Например, мы можем вычислить якобиан массива выражений следующим образом:

и точно так же можно поступать с гессианами, градиентами и определять любые другие производные.

Symbolics взаимодействует с SymbolicUtils.jl для упрощения символьных выражений. Для этого нужно просто выполнить команду simplify:

Ее можно применить к массивам, используя механизм трансляции Julia:

Затем с помощью substitute можно изменить значения выражения:

и это можно использовать его для интерактивной оценки выражений без генерации и компиляции функций Julia:

Где мы можем ссылаться на значения с помощью

Обратите внимание, что макросы предназначены для высокоуровневого случая, когда вы выполняете символьные вычисления в собственном коде. Чтобы проводить символьные вычисления в чужом коде, например в макросе, можно не выполнять @variables x, так как может потребоваться, чтобы имя «x» было взято из кода пользователя. Для таких случаев можно использовать оператор интерполяции, чтобы интерполировать значение среды выполнения x, т. е. @variables $x. Дополнительные сведения см. в документации по @variables.

Можно также использовать variable и variables. Дополнительные сведения см. в соответствующей документации.

Чтобы использовать их для генерации нового кода Julia, можно просто преобразовать вывод в Expr:

В определении

t имеет тип Sym{Real}, но имя x указывает на объект, который представляет Term x(t). Операцией этого выражения является сам объект Sym{FnType{Tuple{Real}, Real}}(:x). Тип Sym{FnType{...}} представляет вызываемый объект. В данном случае это функция, которая принимает 1 аргумент Real (обозначенный Tuple{Real}) и возвращает результат Real. Такой вызываемый Sym можно вызвать с помощью числового или символьного выражения допустимого типа.

Это выражение также определяет t как независимую переменную, тогда как x(t) и y(t) являются зависимыми переменными. Это учитывается при дифференцировании:

Поскольку x и y зависят от времени, они не исключаются из выражения автоматически, и поэтому операции D(x) и D(y) по-прежнему присутствуют в разложенных производных в целях корректности.

Мы также можем определить неограниченные функции:

Здесь g — это переменная, являющаяся функцией других переменных. Каждый раз, когда мы указываем g, мы должны использовать ее в качестве функции.

Одним из преимуществ одноязыкового символьного стека Julia является то, что все примитивы написаны на Julia и поэтому он тривиально расширяем из самого языка Julia. По умолчанию новые функции прослеживаются до примитивов, а символьные выражения записываются в примитивах. Однако можно расширить разрешенные примитивы, зарегистрировав новые функции. Например, зарегистрируем новую функцию h:

Когда мы используем h(x, y), оно представляет собой символьное выражение и не расширяется:

Чтобы использовать его в системе дифференцирования, нужно зарегистрировать его производные. Это можно сделать так.

и теперь оно работает с оставшейся частью системы:

Функцией для построения функций из символьных выражений является метко названная build_function. Первый аргумент — это символьное выражение или массив символьных выражений для компиляции, а последующие аргументы — это аргументы для функции. Например:

возвращает два кода. Первый представляет собой функцию f([x, y]), которая вычисляет и создает выходной вектор [x^2 + y, y^2 + x]. Поскольку этот инструмент был создан для всех специалистов, пишущих быстрый код на Julia, он специализирован для Julia и поддерживает такие функции, как StaticArrays. Например:

Вторая функция — это не поддерживающая выделение изменяемая функция на месте, которая изменяет свое первое значение. Поэтому мы используем ее следующим образом.

Чтобы сохранить символьные вычисления для использования в дальнейшем, мы можем взять это выражение и сохранить его в файл:

Обратите внимание, что если нужно избежать eval, например чтобы не допустить проблем с возрастом мира, можно сделать expression = Val{false}:

где будет использоваться RuntimeGeneratedFunctions.jl для создания функций Julia, исключающих возникновение проблем с возрастом мира.