Оценка задержки

Если рассмотреть эту (дискретную) систему, можно увидеть, что у нее на самом деле многомерное состояние.

Простой непараметрический способ определения наличия задержки в системе — по взаимной корреляции между входом и выходом. Для этого можно воспользоваться функцией crosscorplot:

График показывает, что между входом и выходом имеется незначительная (ниже пунктирных линий) корреляция для запаздываний короче 2 секунд, что в точности соответствует нашей задержке .

Другой способ определения задержки — оценка импульсной характеристики системы.

Оценка импульсных характеристик при наличии таких больших задержек является численно сложной задачей, поэтому для получения приемлемого результата потребовалась регуляризация . Таким образом, если набор данных небольшой, а предполагаемая задержка велика, рекомендуется использовать метод на основе взаимной корреляции, ведь на практике, если ожидаемая импульсная характеристика неизвестна, подстроить параметр регуляризации невозможно. Однако при небольших задержках и больших наборах данных метод на основе импульсной характеристики работает достаточно неплохо. Ниже в целях демонстрации показана оцененная импульсная характеристика для набора данных гораздо большего размера.

Третьим способом, возможно менее элегантным, является использование метода подбора модели для определения задержки. Можно предположить, что модели с порядком, меньшим задержки, будут показывать достаточно плохой результат. Это должно быть очевидно при попытке использовать модели различного порядка. Ниже используется функция find_nanb, которая пытается определить подходящий порядок для модели arx.

График показывает, что информационный критерий Акаике (AIC) оказывается минимальным при достижении nb значения 22, что равно количеству выборок задержки + количество параметров в числителе для системы без задержки.

Если известно, что имеется задержка, ее необходимо как-то учитывать при оценке модели. Самый примитивный способ — просто выбрать модель с достаточно высоким порядком и на этом все. Однако такой подход сопряжен с численными проблемами и, как правило, не рекомендуется. У некоторых методов есть специальный именованный аргумент inputdelay. Он позволяет указать известные входные задержки, которые будут учитываться методом автоматически. Если у метода нет такого аргумента, всегда можно устранить задержку, подвергнув данные предварительной обработке. Далее будет показано, как это делается.

На графике взаимной корреляции теперь видно, что задержка устранена. Имейте в виду, что задержка в одну выборку обычно является вполне естественной: действительно, реакция на выходе физической системы вряд ли может происходить одновременно с событием на входе. После оценки модели с набором данных, из которого устранена задержка, необходимо вернуть задержку в оцененную модель, например, так:

Приведенная выше оцененная модель должна быть очень близка к системе tf(1, [1, 0.5, 1]) (в числителе предполагаются небольшие члены более высокого порядка). Чтобы ввести задержку в эту модель, сделаем следующее:

Оцененная модель теперь должна весьма точно соответствовать подлинной системе, включая сильный спад по фазе при более высоких частотах вследствие задержки.

!!! warning "Internal delays" Если в системе есть внутренние задержки, на графике взаимной корреляции это может выглядеть так, как будто в системе есть задержка между входом и выходом, но в таком случае выполнять смещение данных, как было показано выше, может быть неуместно. При наличии внутренних задержек используйте вместо этого количество выборок в оцененной задержке в качестве нижней границы для модели. Примером внутренней задержки может служить замыкание контура управления вокруг канала задержки, показанное ниже.

В условиях дискретного времени задержка в одну выборку на входе или выходе выглядит как полюс в начальной точке. Однако, если задержка происходит внутри системы, обнаружить ее не так легко. Ниже производится замыкание контура вокруг приведенной выше системы с помощью ПИ-регулятора и строится новый набор данных, в котором вход связан с ПИ-регулятором, а не является непосредственно входом объекта.

Как видно на графике взаимной корреляции, реакция на выходе по-прежнему занимает более 2 секунд, но, исходя из графика подбора модели, для получения хорошего результата необходимо включить порядки до 23 и выше.

Можно также изучить схемы полюсов и нулей систем с разомкнутым и замкнутым контуром.

Из-за наличия обратной связи все полюсы задержек в исходной точке устранены (на графике слева имеется несколько полюсов, наложенных друг на друга).

В этом случае для точной регистрации процессов в системе необходимо оценить модель достаточно высокого порядка (23). Если сделать это, можно увидеть, что оцененная модель очень хорошо соответствует реальной системе (так как не было введено никаких возмещений).

На практике оценка модели такого высокого порядка может представлять сложность. Поэтому может быть целесообразно попытаться напрямую оценить систему с открытым контуром более низкого порядка , правильно учтя задержку, которая в этом случае будет происходить на входе, а не внутри системы.

При использовании одного из методов, поддерживающих именованный аргумент inputdelay, можно определить, возможно ли аппроксимировать систему с замкнутым контуром с помощью модели, имеющей задержку только на входе.

Мы видим, что модель порядка 3 (4 свободных параметра в знаменателе) в сочетании с заданной входной задержкой в 20 выборок на самом деле дает хорошую аппроксимацию системы с замкнутым контуром.

Если сравнить графики Боде реальной системы с замкнутым контуром с двумя указанными моделями, окажется, что они имеют высокую степень соответствия.

Таким образом, систему с внутренними задержками можно аппроксимировать с помощью модели, имеющей задержку только на входе.

Для полноты картины рассмотрим пример, в котором такой возможности нет. Систему в приведенном ниже примере можно представить как эхокамеру, в которой входной сигнал проходит через резонансный канал, прежде чем попасть на выход. 60 % выходной энергии поступает обратно на вход через тот же канал (эхо), из-за чего возникает интересная импульсная характеристика.

На графике подбора модели ниже видно, что для достижения хорошего соответствия требуются порядки модели до 24.

Попытка оценить модель 4-го порядка с входной задержкой в 20 выборок на этот раз совершенно не срабатывает, однако аппроксимация модели 24-го порядка дает результат, а аппроксимация модели 4-го порядка с использованием идентификации подпространства с долгим внутренним горизонтом прогнозирования также оказывается достаточно неплохой.

Имейте в виду, что при таком моделировании не вводится никаких возмущений, а оценка моделей 24-го порядка на практике, скорее всего, будет непростой задачей.