Аппроксимация временной задержки в непрерывной модели с разомкнутым контуром
В этом примере показано, как аппроксимировать задержки в разомкнутой системе непрерывного времени с помощью pade.
Приближение Паде полезно при использовании инструментов анализа или проектирования, которые не поддерживают временные задержки. Использование слишком высокого порядка приближения может привести к численным ошибкам и, возможно, к нестабильным полюсам. Поэтому избегайте приближений Паде с порядком .
Постановка задачи
Создайте образец системы с разомкнутым контуром с задержкой вывода.

Pkg.add(["ControlSystems"])
using ControlSystems
По умолчанию задержка равна 2.6, но вы можете задать свой параметрю. В результате вы получите P - объект в виде пространства состояний (ss) с временной задержкой 2.6 c.
s = tf('s');
L = 2.6 # @param {type:"slider", min:0, max:9, step:0.1}
P = exp(-L*s)/(s^2+0.9*s+1)
Аппроксимация первого порядка
Вычислите аппроксимацию Паде первого порядка для P.
Pnd1 = pade(P,1)
Эта команда заменяет все временные задержки в P на аппроксимацию первого порядка. Таким образом, Pnd1 — это система третьего порядка без задержек.
Сравните частотную характеристику исходной и приблизительной моделей с помощью bodeplot
.
bodeplot([P, Pnd1], label = ["P" "Pnd1"])
Амплитудные характеристики P и Pnd1 совпадают в точности. Однако фаза Pnd1 отличается от фазы P примерно на 1 рад/с.
Аппроксимация третьего порядка
Увеличте порядок аппроксимации Паде, чтобы расширить диапазон частот, для которых фазовая аппроксимация является хорошей.
Pnd3 = pade(P,3);
Сравните частотные характеристики P, Pnd1 и Pnd3.
bodeplot([P, Pnd1, Pnd3], label = ["P" "Pnd1" "Pnd3"])
Погрешность фазавой характеристики уменьшается при использовании приближения Паде третьего порядка.
Сравните переходные характеристики исходной и аппроксимированной систем во временной области с помощью step
.
plot(
[step(P), step(Pnd1), step(Pnd3)],
label = ["P" "Pnd1" "Pnd3"]
)
Выводы
Использование аппроксимации Паде приводит к появлению неминимальной фазы в начальном переходном процессе. Этот эффект довольно выражен в аппроксимации первого порядка, которая значительно опускается ниже нуля перед сменой направления. В аппроксимации более высокого порядка этот эффект снижается, и она лучше соответствует точному отклику системы.