История вопроса

TaylorSeries.jl — это реализация автоматического дифференцирования высокого порядка, представленная в книге В. Такера (Tucker) [1]. Общая идея заключается в следующем.

Разложение в ряд Тейлора аналитической функции с одной независимой переменной вокруг можно записать в следующем виде:

где , а коэффициенты Тейлора  — это -е нормализованные производные при :

Таким образом, вычисление производных высшего порядка функции эквивалентно вычислению ее разложения по Тейлору.

При наличии множества независимых переменных справедливы те же утверждения, хотя ситуация становится не такой простой. Согласно подходу Алекса Харо (Alex Haro) [2], разложение по Тейлору представляет собой бесконечную сумму однородных многочленов по независимых переменных, , которая имеет следующий вид:

Здесь представляет собой мультииндекс однородного многочлена -го порядка, а являются независимыми переменными.

В обоих случаях разложение в ряд Тейлора может быть представлено вектором, содержащим его коэффициенты. Разница между случаями использования одной или нескольких независимых переменных заключается в том, что в первом случае коэффициенты являются вещественными или комплексными числами, а во втором — однородными многочленами. Это мотивирует к созданию типов Taylor1 и TaylorN.

Арифметические операции с рядами Тейлора можно выразить как операции с коэффициентами:

Рассмотрим функцию , подходящую для обыкновенного дифференциального уравнения , , где  — это независимая переменная. Записав и как многочлены Тейлора , подставив их в дифференциальное уравнение и приравняв равные степени независимой переменной, получаем рекуррентное отношение

Последнее уравнение и соответствующее начальное условие определяют рекуррентное отношение для коэффициентов Тейлора в окрестности .

Ниже приведены примеры таких рекуррентных отношений для некоторых элементарных функций.

Рекуррентные отношения для и зависят друг от друга. Это отражает тот факт, что они являются решениями дифференциального уравнения второго порядка.

Все эти соотношения справедливы для разложений по Тейлору по одной и более независимым переменным. В последнем случае коэффициенты Тейлора являются однородными многочленами степени ; см. [2].

[1] W. Tucker, Validated Numerics: A Short Introduction to Rigorous Computations, Princeton University Press (2011).

[2] A. Haro, Automatic differentiation methods in computational dynamical systems: Invariant manifolds and normal forms of vector fields at fixed points, preprint.