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超复杂信号处理：傅立叶变换和通过八度的光学操作的代数

在现代数字信号处理中，傅立叶变换是一个基本工具。 但是，如果我们不仅要分析一维音频信号或二维图像，还要分析复杂的多维数据，其中每个元素都包含有关颜色，偏振，空间坐标和其他参数的信息呢？ 而且，我们可能需要以相关的、物理上可接受的方式改变所有信号参数。

这就是octonions来拯救的地方-8维hypercomplex数字，允许紧凑表示和分析这种复杂的数据。

什么是octonions？

八度（或八度）是复数和四元数的扩展。 与具有4个分量的四元数不同，八元数具有8个分量并且具有非缔合性的性质。 在Julia中，我们可以使用包与他们一起工作 Octonions.jl.

In [ ]: 
Pkg.add("Octonions")

让我们创建分析的信号

让我们考虑用于处理多维信号的octonion Fourier变换的实现。

与常规向量不同，octonion（一个8维超复合数）它可以紧凑地编码:

  1. 极化（2个分量—线性和圆形）,

  2. 颜色（3个分量—RGB或光谱特性）,

  3. 相位信息(1个组件),

  4. 空间坐标（2个分量—例如，入射角和深度）。

该表示保留了参数之间的关系，这些参数在单独分析期间丢失（以矢量形式表示）。

In [ ]: 
using Octonions, FFTW, LinearAlgebra

# Создаем октонионный сигнал (8-канальный)
function create_octonion_signal(n)
    [Octonion(randn(8)...) for _ in 1:n]
end
Out[0]:
create_octonion_signal (generic function with 1 method)

这里的八度子作为"容器"工作，保持光的物理参数之间的自然关系，这是准确分析和处理的关键。

但是如果我们将所有的八度子分解为8个标量分量，我们得到这样的矩阵:

In [ ]: 
oc_to_vec(o) = [o.s, o.v1, o.v2, o.v3, o.v4, o.v5, o.v6, o.v7]
heatmap( hcat([oc_to_vec(o) for o in (create_octonion_signal(100))]... ) )
Out[0]:

辛子傅立叶变换

接下来，我们将实现两种方法-正向和反向傅立叶变换的辛子。

In [ ]: 
# Октонионное преобразование Фурье
function octonion_fft(signal)
    
    # Преобразуем вектор из октонионов в 8 векторов скаляров
    components = eachrow(hcat([oc_to_vec(o) for o in signal]...))
    
    # Применяем стандартное FFT к каждой компоненте
    transformed_components = [fft(c) for c in components]
    
    # Собираем действительную и мнимую часть в октонионы
    transformed_re = [Octonion([real(transformed_components[j][k]) for j in 1:8]...) for k in 1:n]
    transformed_im = [Octonion([imag(transformed_components[j][k]) for j in 1:8]...) for k in 1:n]
    return transformed_re, transformed_im
end

# Обратное преобразование
function octonion_ifft(signal_re, signal_im)
    complex_matrix = [[ Complex(si,sr) for (si,sr) in zip(oc_to_vec(vi),oc_to_vec(vr))] for (vi,vr) in zip(signal_re,signal_im)]
    components = eachrow(hcat(complex_matrix...))
    
    transformed_components = [ifft(c) for c in components]
    [Octonion([real(transformed_components[j][k]) for j in 1:8]...) for k in 1:n]
end
Out[0]:
octonion_ifft (generic function with 1 method)

现在让我们将一个256个八度的向量转移到我们的变换中，执行到频域的转换，反之亦然，看看我们从这些操作中得到了什么错误。

In [ ]: 
# Пример использования
n = 256
signal = create_octonion_signal(n)
(transformed_re, transformed_im) = octonion_fft(signal)
reconstructed = octonion_ifft(transformed_re, transformed_im)

# Проверка точности восстановления
recovery_err = norm([signal[i] - reconstructed[i] for i in 1:n])
println("Ошибка восстановления: ", recovery_err)

Ошибка восстановления: 1.0585794976561941e-14

用傅里叶逆变换（ifft）我们正在处理复杂的信号频谱，但最终重建的信号必须是真实的（因为初始数据是物理测量，如光强度或波幅）。

实际应用

这种方法可用于:

  1. 具有附加特性（深度，偏振）的彩色图像的处理

  2. 分析多维物理数据（例如气象测量）

  3. 压缩复杂信号，同时保留组件之间的关系

用于分析的信号的示例可以包括来自以下设备的信息:

  1. 偏振相机-关于场景中光偏振分布的数据，其中每个像素包含有关偏振的角度和椭圆度的信息。

  2. 高光谱图像-数百个光谱通道，可压缩为8个关键分量。

  3. 激光雷达数据-自动驾驶汽车反射信号的距离、强度和极化。

  4. 全息术-重建3D物体的光波的振幅和相位。

辛子在光学中的用途

八元数不仅仅是8D向量，而是具有非交换和非关联乘法的代数结构。 在光学中，这允许:

  1. 编码相互依赖的参数
    例如，极化（线性/圆形）在数学上与波传播的相位和方向相关。 在矢量表示中，这些连接丢失了，但在octonion代数中，它们通过基本单位乘法的规则得以保留。 e₁...e₇.

  2. 考虑非线性效应
    Octonion乘法自动模拟:

    *晶体中极化平面的旋转

    *折射过程中的相移

    *光谱成分的相互作用

  3. 压缩视图
    8D-octonion比相同参数的张量描述更紧凑（例如，用于偏振+和RGB+相位的Jones-Muller矩阵）。

如果需要，可以创建基于八度的光学操作的代数，其具有上面概述的所有优点。

下面的程序显示了对圆偏振光束应用偏振如何立即改变输入信号的振幅、相位和偏振。

In [ ]: 
using Octonions

struct OpticalField
    oct::Octonion{Float64}
end

# Оператор прохождения через поляризатор
function apply_polarizer(field::OpticalField, angle::Float64)
    # Поляризатор как октонион с e₂ (линейная поляризация)
    pol = Octonion(1.0, cos(2angle), sin(2angle), 0, 0, 0, 0, 0)
    OpticalField(field.oct * pol / 2)
end

# Пример: свет с круговой поляризацией (e₄)
input = OpticalField(Octonion(0, 0, 0, 1.0, 0, 0, 0, 0))
output = apply_polarizer(input, π/4)  # Поляризатор под 45°

# Результат содержит корректную связь амплитуды/фазы/поляризации
println(output.oct)  # Компоненты e₂ и e₃ теперь не нулевые

OctonionF64(0.0, -0.5, 3.061616997868383e-17, 0.5, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0)

正因为它们的代数结构，八度子给出了光场的自然表示。 与矢量不同，它们是:

  1. 禁止物理上不可能的操作（例如，独立的相位和极化变化）

  2. *降低计算复杂度—-一个八元数运算取代了一系列矩阵变换

  3. 自动保留几何不变量，无需手动检查条件。

结论

虽然octonion傅立叶变换比经典的需要更多的计算，但它为分析复杂的多维数据开辟了新的可能性。 未来，随着量子计算和专用处理器的发展，此类方法可能成为信号处理中的标准工具。

在光学中，正因为它们的代数结构，辛子提供了光学场的自然表示。

Julia具有处理抽象数据类型的性能和便利性，非常适合试验超复杂数字并基于它们开发新算法。