Дробная задержка с фильтром Фарроу¶

Фильтр Фарроу — это цифровой интерполяционный фильтр, который может быть использован для передискретизации (изменения частоты дискретизации) сигналов с нецелым коэффициентом. Он был предложен Крисом Фарроу (Chris Farrow) в 1988 году.

Как работает фильтр Фарроу?¶

Входной сигнал разбивается на отрезки (обычно по 4 отсчёта для кубической интерполяции).
Для каждого нового значения между отсчётами вычисляется полиномиальная аппроксимация.
Положение нового отсчёта определяется дробным задержкой (например, между x[n] и x[n+1]).
На выходе получается сигнал с новой частотой дискретизации.

В этом примере мы рассмотрим применение фильтра Фарроу для реализации дробной задержки сигналов, что особенно полезно в цифровой обработке сигналов (ЦОС), телекоммуникациях, РЛС и аудиосистемах.

Дробная задержка — это сдвиг сигнала на дробное число отсчётов (например, на 0.5, 0.73 или 1.25 от периода дискретизации).

Целая задержка (1, 2, 3…) легко реализуется буфером FIFO.
Дробная задержка требует интерполяции между отсчётами, и здесь помогает фильтр Фарроу.

Пример описывает две реализации блочных моделей фильтра Фарроу - первого и третьего порядка. В общем случае структура основывается на КИХ-фильтрах и схеме интерполяционного полинома:

Реализация фильтров Фарроу в модели¶

Модель fractional_delay.engee содержит две подсистемы фильтров Фарроу. Подсистема Первый_порядок реализует простую схему линейной интерполяции:

В то время как подсистема Третий_порядокбольше напоминает общую структуру Фарроу, и содержит в себе три КИХ-фильтра:

Причём второй и третий КИХ-фильтры реализованы в виде блоков Дискретный КИХ-фильтр библиотеки обработки сигналов, а первый - в виде подсистемы, где из примитивных арифметических элементов собрана прямая структура обратно-симметричного КИХ-фильтра:

Общая модель рассматривает прохождение синусоидального сигнала частотой 50 Гц через две подсистемы на частоте дискретизации в 1000 Гц с коэффициентом дробной задержки в 0.3 периода:

На графиках во временной области можно заметить, что линейный фильтр (1-г порядка) успешно вносит дробную задержку в 0.3 периода. Это отчётливо видно на области прохождения синусоид через ноль. Фильтр 3-го порядка имеет более сложную структуру и вносит дополнительную групповую задержку в 1 период - результирующая задержка в итоге составляет 1.3 периода:

Анализ АЧХ фильтров Фарроу¶

Если оба фильтра справляются с задачей внесения дробной задержки, то на что же влияет сложность структуры и порядок фильтра?

Для этого нам необходимо проанализировать их частотные характеристики. Одним из способов анализа является подача на вход линейной стационарной системы (фильтра) единичного импульса. Выход фильтра в таком случае будет отражать его импульсную характеристику, от которой несложно перейти к амплитудно-частотной характеристике (АЧХ). Вспомогательная модель fractional_delay_impulse.engeeв качестве источника сигнала имеет блок источника дискретного импульса, а также содержит два блока В рабочую область для автоматизации анализа фильтров функциями библиотеки DSP.jl:

Воспользуемся функцией автоматического запуска модели:

function start_model_engee()
    try
        engee.close("fractional_delay_impulse", force=true) # закрытие модели 
        catch err # в случае, если нет модели, которую нужно закрыть и engee.close() не выполняется, то будет выполнена её загрузка после catch
            m = engee.load("$(@__DIR__)/fractional_delay_impulse.engee") # загрузка модели
        end;

    try
        engee.run(m, verbose=true) # запуск модели
        catch err # в случае, если модель не загружена и engee.run() не выполняется, то будут выполнены две нижние строки после catch
            m = engee.load("$(@__DIR__)/fractional_delay_impulse.engee") # загрузка модели
            engee.run(m, verbose=true) # запуск модели
        end
end

start_model_engee (generic function with 1 method)

start_model_engee();

Building...
Progress 0%
Progress 100%
Progress 100%

Соберём выходные данные (импульсные характеристики фильтров) и построим их АЧХ:

using DSP
fs = 1000;
dataframe1 = collect(data1);
dataframe3 = collect(data3);
b1 = dataframe1.value;
b3 = dataframe3.value;
farrow_1 = PolynomialRatio(b1, 1);
farrow_3 = PolynomialRatio(b3, 1);
H1, w1 = freqresp(farrow_1);
H3, w3 = freqresp(farrow_3);
freq_vec = fs*w1/(2*pi);
plot(freq_vec, pow2db.(abs.(H1))*2, 
                    linewidth=3, 
                    title = "АЧХ фильтров Фарроу", 
                    xguide = "Частота, Гц",
                    label = "Линейный фильтр")
plot!(freq_vec, pow2db.(abs.(H3))*2, 
                    linewidth=3, 
                    yguide = "Амплитуда, дБ",
                    label = "3-й порядок")

Как можно заметить, с ростом порядка фильтра увеличивается его линейность и расширяется полоса пропускания. Фильтры малых порядков успешно справляются лишь с сигналами на низких частотах, в то время как фильтры более высоких порядков могут работать в широком диапазоне частот входящих сигналов.

Заключение¶

Преимущества фильтра Фарроу для дробной задержки:¶

✅ Гибкость — можно задавать любую дробную задержку (0.1, 0.75 и т. д.).
✅ Умеренная вычислительная сложность — требует меньше ресурсов, чем sinc-интерполяция.
✅ Хорошее качество — кубическая интерполяция даёт лучшую точность, чем линейная.

Применение дробной задержки:¶

Синхронизация в цифровой связи (подстройка тактового сигнала).
Аудиоэффекты (плавный pitch-shifting, фазовые корректоры).
Радарные и гидролокационные системы (точное временное выравнивание сигналов).
Адаптивные фильтры (подстройка задержки в системах noise cancellation).

Фильтр Фарроу — это эффективный способ реализации дробной задержки с балансом между точностью и вычислительными затратами. Он особенно полезен в задачах, где требуется плавное изменение задержки без потери качества сигнала.