Начало работы с дифференциальными уравнениями в Julia

В этом примере мы будем решать уравнение

на временном интервале ], где . Здесь  — это переменная текущего состояния,  — переменная параметра (выражающая, например, скорость реакции или постоянную силы тяжести), а  — текущее время.

(Известно, что аналитическое решение данного уравнения имеет вид u(t)=u₀\exp(αt), но мы используем DifferentialEquations.jl для решения данной задачи численным методом, которым решаются задачи, аналитическое решение которых неизвестно.)

В общем виде процесс состоит из определения задачи, ее решения и анализа результата. Полный код для решения этой задачи выглядит так:

Его отдельные части рассматриваются ниже.

В этом примере мы будем решать уравнения Лоренца:

Определение функции для решения ОДУ, обновляемой на месте, может быть выгодным с точки зрения производительности. Под этим имеется в виду, что вместо написания функции, возвращающей решение, вы создаете функцию, которая обновляет вектор, содержащий решение. Благодаря этому пакеты решателей DifferentialEquations.jl могут сократить объем памяти, выделяемой для массивов, и обеспечить более высокую производительность.

Для этого мы просто записываем результат в качестве первого элемента входных данных функции. Например, задача решения уравнений Лоренца определяется в виде такой функции:

Затем эту функцию можно использовать для решения задачи:

С помощью инструментов для работы с шаблонами графиков, представленных на странице о построении графиков, можно выбрать трехмерный график Далитца для представления различных переменных:

Обратите внимание, что график по умолчанию для многомерных систем представляет собой наложение каждого временного ряда. Мы можем отрисовать временной ряд только второго компонента, еще раз воспользовавшись интерфейсом выбора переменных:

Обратите внимание, что здесь «переменная 0» соответствует независимой переменной («время»).

Зачастую необходимо явно связать параметры с дифференциальными уравнениями. Это может потребоваться, например, в подпрограммах оценки параметров. В таком случае используются значения p посредством следующего синтаксиса:

а затем параметры добавляются в ODEProblem:

Есть несколько приемов, позволяющих сделать функции красивее. Например:

Обратите внимание, что параметры p могут быть любого типа: массивы, статические массивы, именованные кортежи и т. д. — любой тип, подходящий для вашей задачи.

Так как параметры существуют внутри функции, определенные таким образом функции также можно использовать для анализа чувствительности, подпрограмм оценки параметров и построения графиков бифуркации. Это делает DifferentialEquations.jl исчерпывающим решением для анализа дифференциальных уравнений, которое также обеспечивает высокую производительность.

Параметризованные функции также можно использовать для построения неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений (которые также называются ОДУ с ненулевой правой частью). Они часто применяются для моделирования динамических систем с внешними входами (как правило, зависящими от времени). В качестве примера рассмотрим модель маятника, состоящего из тонкого стержня длиной l и массой m:

Здесь θ и ω — это соответственно угловое отклонение маятника от вертикального (отвесного) положения и угловая скорость, M — момент внешних сил (возникающий, например, из-за действия ветра или двигателя), а g — ускорение свободного падения.

Обратите внимание на то, как момент внешних сил M, зависящий от времени, вводится в функцию pendulum! в качестве параметра. Ведь согласно общему правилу параметры могут быть любого типа. Здесь мы указываем, что параметр M зависит от времени, представляя его в виде функции. Это выражается путем добавления зависимости от времени (t) к имени параметра.

Кроме того, обратите внимание, что, в отличие от зависящего от времени параметра, вектор переменных состояния u, который в общем случае также зависит от времени, используется без явного указания на зависимость от времени (t).

DifferentialEquations.jl поддерживает множество различных типов зависимых переменных (в общем случае должен подойти любой тип с линейным индексом). Поэтому вместо решения векторного уравнения давайте пусть u будет матрицей! Для этого достаточно, чтобы переменная u0 была матрицей, и нужно определить функцию f так, чтобы она принимала матрицу и выдавала матрицу. Матрицу линейных ОДУ можно определить следующим образом:

Здесь ОДУ представляет собой матрицу 4x2. Это линейная система, определяемая путем умножения на A. Для решения ОДУ мы выполняем те же действия, что и ранее.

Вместо этого можно применить обновление на месте, используя имеющуюся в Julia функцию перемножения матриц на месте mul!:

Кроме того, можно использовать и нетрадиционные типы массивов. Например, StaticArrays.jl предоставляет неизменяемые массивы, размещаемые в стеке. Это означает, что для их использования не требуется выделять память в куче (что происходит медленнее), как в случае с обычными массивами. Таким образом, их можно использовать для описанной выше задачи с тем лишь отличием, что для начального условия и констант применяется другой тип:

Обратите внимание, что применение инструментов анализа распространяется и на системы уравнений.

Этот код по-прежнему возвращает решение на четвертом временном шаге. Он также позволяет обращаться к массиву по индексам. Последнее значение — это временной шаг, а первые значения предназначены для компонентов. То есть

является значением 5-го компонента (в соответствии с линейным индексированием) в 3-й точке времени, а

является временным рядом для компонента — 2-я строка, 1 столбец.

В руководствах невозможно охватить все тонкости. Вместо этого в данном руководстве даются указания в отношении того, куда двигаться дальше.

Одной из особенностей пакета DifferentialEquations.jl является то, что такая схема решения сохраняется для различных видов дифференциальных уравнений. У каждого уравнения есть тип задачи, тип решения и определенная конфигурация обработки решения (и построения графика). Поэтому команды для работы с решателями и построения графиков, приведенные в разделе Основы, относятся к уравнениям любых видов, таким как стохастические и уравнения с запаздывающим аргументом. Различные виды задач представлены в разделе Виды задач документации. Соответствующие алгоритмы решателей описываются в разделе Алгоритмы решателей с сортировкой по видам задач. Аналогичные действия затем можно использовать для анализа решения ОДУ.

Зачастую рабочий процесс начинается с решения дифференциального уравнения. Для многих распространенных конфигураций в DifferentialEquations.jl есть встроенные решения. Например, ознакомьтесь со следующими возможностями:

Множество других описываются в соответствующих разделах документации. Ознакомьтесь с остальной частью документации, включая руководства по началу работы с другими типами уравнений. Чтобы получить помощь, сообщите о проблеме в главном репозитории или примите участие в свободном обсуждении в чате Gitter.