Стохастические дифференциальные уравнения

В этом примере мы будем решать уравнение

где и . Благодаря стохастическому исчислению мы знаем, что решение этого уравнения имеет следующий вид:

Для численного решения мы определяем тип задачи, задавая ей уравнение и начальное условие:

Интерфейс solve такой же, как и в случае с ODE. Здесь мы воспользуемся классическим алгоритмом Эйлера-Маруямы EM и построим решение:

В общем случае SDE

обобщается до системы уравнений так же, как и ODE. Здесь g теперь является матрицей значений. Одним из распространенных случаев, который используется по умолчанию в DifferentialEquations.jl, является диагональный шум, где g — это диагональная матрица. Это означает, что каждая функция в системе получает свое случайное число. Вместо того чтобы работать с матрицами в этом случае, мы просто определяем f и g как функции на месте. Таким образом, f(du,u,p,t) дает вектор du, который является детерминированным изменением, а g(du2,u,p,t) дает вектор du2, для которого du2.*W является стохастической частью уравнения.

Например, уравнение Лоренца с аддитивным шумом имеет ту же детерминированную часть, что и уравнения Лоренца, но к каждому шагу уравнения добавляется аддитивный шум, который просто равен 3*N(0,dt), где N — нормальное распределение, а dt — временной шаг. Это выполняется следующим образом.

Отметим, что для функции шума допустимо смешение членов уравнения. Например

является допустимой функцией шума, которая снова выдаст диагональный шум с помощью du2.*W.

В этом примере мы будем решать систему уравнений SDE со скалярным шумом. Это означает, что ко всем уравнениям SDE применяется один и тот же процесс шума. Нам необходимо определить процесс скалярного шума, используя интерфейс процесса шума. Поскольку нам необходим процесс WienerProcess, который начинается в точке 0.0 в момент времени 0.0, мы используем команду W = WienerProcess(0.0,0.0,0.0) для определения нужного броуновского движения, а затем передаем его в параметр noise в задаче SDEProblem. Для полного примера решим линейное уравнение SDE со скалярным шумом с помощью алгоритма высокого порядка:

В предыдущих примерах у нас был диагональный шум, то есть вектор случайных чисел dW, размер которого совпадает с выводом g, где шум применяется поэлементно, и скалярный шум, когда ко всем зависимым переменным применяется одна случайная величина. Однако более общий вид шума позволяет линейно смешивать члены уравнения с помощью g, являющегося матрицей.

Обратите внимание, что нелинейные смешивания не являются уравнениями SDE, а относятся к более общему классу случайных обыкновенных дифференциальных уравнений (RODE), которые имеют отдельный набор решателей.

Определим задачу с четырьмя процессами Винера и двумя зависимыми случайными переменными. В данном случае мы хотим, чтобы выводом g была матрица 2x4 так, чтобы решением было g(u,p,t)*dW, матричное умножение. Например, можно сделать следующее.

В нашем g мы определяем функции для вычисления значений матрицы. Теперь можно представить решаемое уравнение SDE как систему уравнений

означающую, что, например, du[1,1] и du[2,1] соответствуют стохастическим изменениям с одним и тем же случайным числом в первом и втором уравнениях SDE.

Сама матрица определяется именованным аргументом noise_rate_prototype в конструкторе SDEProblem. Это прототип для типа, когда du будет находиться в g. Это может быть любой тип AbstractMatrix. Итак, задача определяется следующим образом.

и теперь g(u,p,t) выполняет запись в разреженную матрицу, а g(u,p,t)*dW является умножением разреженных матриц.

Окрашенный шум может быть определен с помощью интерфейса процесса шума. В этой части документации показано, как определить собственный процесс шума my_noise, который может быть передан в SDEProblem.

Учтите, что общие задачи с окрашенным шумом совместимы только с методами EM и EulerHeun. Этот вопрос рассматривается на странице решателей SDE.