数学运算和初等函数

Julia在其所有数值基元类型中提供了基本算术和按位运算符的完整集合，并提供了标准数学函数的全面集合的可移植、高效的实现。

算术运算符

以下内容https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic#Arithmetic_operations所有基本数值类型都支持[算术运算符]:

表达方式姓名资料描述

表达方式	姓名	资料描述
`+x`	一元加	身份操作
`-x`	一元减	将值映射到它们的加性反转
`x+y`	二进制加	执行加法
`x-y`	二进制减	执行减法
`x*y`	时代	执行乘法
`x/y`	分,分	执行分部
`x＜y`	整数除法	x/y，截断为整数
`x\y`	逆除法	相当于 `y/x`
`x^y`	权力	加薪 `x` 致 `y`th功率
`x%y`	余数	相当于 `快速眼动(x,y)`

+x

一元加

身份操作

-x

一元减

将值映射到它们的加性反转

x+y

二进制加

执行加法

x-y

二进制减

执行减法

x*y

时代

执行乘法

x/y

分,分

执行分部

x＜y

整数除法

x/y，截断为整数

x\y

逆除法

相当于 y/x

x^y

权力

加薪 x 致 yth功率

x%y

余数

相当于 快速眼动(x,y)

直接放在标识符或括号前的数字文字，例如 2x 或 2(x+y)，被视为乘法，除了优先级高于其他二进制运算。见数字文字系数的详细信息。

Julia的提升系统使参数类型的混合物的算术运算"只是工作"自然和自动。见转换及推广有关推广制度的详情。

÷符号可以通过书写方便地键入 \div<tab> 到REPL或Julia IDE。查看关于Unicode输入的手册部分以获取更多信息。

以下是一些使用算术运算符的简单示例:

julia> 1 + 2 + 3
6

julia> 1 - 2
-1

julia> 3&ast;2/12
0.5

（按照惯例，如果他们在附近的其他运营商之前申请，我们倾向于更紧密地对待太空运营商。例如，我们通常会写 -x+2 首先反映这一点 x 被否定，然后 2 被添加到该结果中。)

在乘法中使用时, 错误 充当_strong zero_:

julia> NaN &ast; false
0.0

julia> false &ast; Inf
0.0

这对于防止 南 已知为零的数量中的值。见https://arxiv.org/abs/math/9205211[Knuth(1992)]为动机。

布尔运算符

以下内容https://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_algebra#Operations[布尔运算符]支持 布尔类型:

表达方式姓名

表达方式	姓名
`!x`	否定,否定
`x&&y`	短路和
`x \|\/y`	短路或

!x

否定,否定

x&&y

短路和

x |\/y

短路或

否定变化 真的 到 错误 反之亦然。链接页面上解释了短路操作。

请注意 布尔 是一个整数类型，所有通常的提升规则和数字运算符也定义在它上面。

按位运算符

以下内容https://en.wikipedia.org/wiki/Bitwise_operation#Bitwise_operators所有原始整数类型都支持[按位运算符]:

表达方式姓名

表达方式	姓名
`~x`	按位不
`x&y`	按位和
`x \| y`	按位或
`x＜y`	按位异或（独占或）
`x＜y`	按位nand（不是和）
`x＜y`	按位nor（not or）
`x>>>y`	逻辑移位右
`x>>y`	算术移位右
`x<<y`	逻辑/算术左移

~x

按位不

x&y

按位和

x | y

按位或

x＜y

按位异或（独占或）

x＜y

按位nand（不是和）

x＜y

按位nor（not or）

x>>>y

逻辑移位右

x>>y

算术移位右

x<<y

逻辑/算术左移

以下是一些按位运算符的示例:

julia> ~123
-124

julia> 123 & 234
106

julia> 123 | 234
251

julia> 123 ⊻ 234
145

julia> xor(123, 234)
145

julia> nand(123, 123)
-124

julia> 123 ⊼ 123
-124

julia> nor(123, 124)
-128

julia> 123 ⊽ 124
-128

julia> ~UInt32(123)
0xffffff84

julia> ~UInt8(123)
0x84

更新运算符

每个二进制算术和按位运算符也有一个更新版本，将运算结果分配回其左操作数。二进制运算符的更新版本是通过放置一个 = 紧接着操作员。例如，写作 x+=3 相当于写作 x=x+3:

julia> x = 1
1

julia> x += 3
4

julia> x
4

所有二进制算术和按位运算符的更新版本是:

+=  -=  &ast;=  /=  \=  ÷=  %=  ^=  &=  |=  ⊻=  >>>=  >>=  <<=

注意更新运算符在左侧重新绑定变量。因此，变量的类型可能会发生变化。

朱莉娅>x=0x01;typeof（x）
UInt8

julia>x&ast;=2#同x=x&ast;2
2

朱莉娅>类型(x)
Int64

矢量化"点"运算符

对于_every_二进制操作像 ^，有相应的"点"操作 .^ 即_automatically_定义为执行 ^ 数组上的逐个元素。例如, [1, 2, 3] ^ 3 没有定义，因为没有标准的数学意义来"立方体化"一个（非正方形）数组，但是 [1, 2, 3] .^ 3 被定义为计算元素化（或"矢量化"）结果 [1^3, 2^3, 3^3]. 同样，对于一元运算符，如 ! 或 √，有相应的 .√ 这适用于运算符elementwise。

julia> [1, 2, 3] .^ 3
3-element Vector{Int64}:
  1
  8
 27

更具体地说, a．^b 被解析为 "点"呼叫 (^).(a,b)，其执行一广播操作：它可以组合数组和标量，相同大小的数组（执行操作elementwise），甚至不同形状的数组（例如组合行和列向量以产生矩阵）。而且，像所有矢量化的"点调用"一样，这些"点运算符"是_fusing_。例如，如果计算 2 .&ast;A.^2。+罪。(A) （或等同地 @. 2a^2+罪(A)，使用 @.宏）为数组 A，它执行_single_循环 A、计算 2a^2+sin(a) 对于每个元素 a 的 A. 特别是，嵌套的点调用，如 f.(g.(x)) 是融合的，和"相邻"二元运算符，如 x．+ 3 .&ast;x.^2 等效于嵌套的点调用 (+).(x，(&ast;)。(3, (^).(x,2))).

此外，"点状"更新运营商喜欢 a.+=b （或 @. a+=b)被解析为 a.=a．+b，在哪里 .= 是一个融合_in-place_赋值操作（见 dot语法文档）。

注意点语法也适用于用户定义的运算符。例如，如果定义 ⊗(A,B)=kron(A,B) 给出一个方便的中缀语法 A＞B 对于Kronecker产品（克伦)，则 [A，B]。⊗[C,D] 将计算 [A∈C,B∈D] 没有额外的编码。

将点运算符与数字文字组合可能是不明确的。例如，目前尚不清楚是否 1.+x 手段 1. +x 或 1 .+x. 因此，这种语法是不允许的，在这种情况下，必须在运算符周围使用空格。

数字比较

标准比较操作是为所有基本数值类型定义的:

操作员姓名

操作员	姓名
`==`	平等
`!=`, `≠`	不平等
`<`	小于
`<=`, `≤`	小于或等于
`>`	大于
`>=`, `≥`	大于或等于

平等

不平等

小于

小于或等于

大于

大于或等于

以下是一些简单的例子:

julia> 1 == 1
true

julia> 1 == 2
false

julia> 1 != 2
true

julia> 1 == 1.0
true

julia> 1 < 2
true

julia> 1.0 > 3
false

julia> 1 >= 1.0
true

julia> -1 <= 1
true

朱莉娅>-1<=-1
真的

朱莉娅>-1<=-2
错误

朱莉娅>3<-0.5
错误

整数以标准方式进行比较-通过位的比较。浮点数根据比较https://en.wikipedia.org/wiki/IEEE_754-2008[IEEE754标准]:

*有限数字以通常的方式排序。 *正零等于但不大于负零。 * 资讯 等于自己，大于其他一切，除了 南. * -Inf 等于自己，比其他一切都少，除了 南. * 南 不等于，不小于，也不大于任何东西，包括它本身。

最后一点可能令人惊讶，因此值得注意:

julia> NaN == NaN
false

julia> NaN != NaN
true

julia> NaN < NaN
false

julia> NaN > NaN
false

并且在工作时会引起头痛数组:

julia> [1 NaN] == [1 NaN]
false

Julia提供了额外的函数来测试特殊值的数字，这在哈希键比较等情况下很有用:

功能测试如果

功能	测试如果
`等距(x,y)`	`x` 和 `y` 是相同的
`异辉石(x)`	`x` 是一个有限的数字
`isinf(x)`	`x` 是无限的
`伊斯南(x)`	`x` 不是数字

x 和 y 是相同的

x 是一个有限的数字

x 是无限的

x 不是数字

等效;等效考虑 南s彼此相等:

julia> isequal(NaN, NaN)
true

julia> isequal([1 NaN], [1 NaN])
true

julia> isequal(NaN, NaN32)
true

等效;等效 也可用于区分带符号的零:

julia> -0.0 == 0.0
true

julia> isequal(-0.0, 0.0)
false

有符号整数、无符号整数和浮点数之间的混合类型比较可能很棘手。为了确保茱莉亚正确地做到这一点,我们采取了很多措施.

对于其他类型, 等效;等效 默认调用 ==，所以如果你想为自己的类型定义相等，那么你只需要添加一个 ==方法。如果你定义了自己的相等函数，你可能应该定义一个对应的 哈希方法，以确保 等距(x,y) 暗示 哈希(x)==哈希(y).

链接比较

与大多数语言不同，https://en.wikipedia.org/wiki/Python_syntax_and_semantics#Comparison_operators[Python的显着例外]，比较可以任意链接:

julia> 1 < 2 <= 2 < 3 == 3 > 2 >= 1 == 1 < 3 != 5
true

在数字代码中，链接比较通常非常方便。链接比较使用 && 标量比较运算符，以及 &elementwise比较的运算符，它允许它们处理数组。例如, 0 .<A．< 1 给出一个布尔数组，其条目为true，其中对应的元素为 A 都在0到1之间。

注意链式比较的评估行为:

julia> v(x) = (println(x); x)
v (generic function with 1 method)

julia> v(1) < v(2) <= v(3)
2
1
3
true

julia> v(1) > v(2) <= v(3)
2
1
false

中间表达式只计算一次，而不是两次，如果表达式被写成 v(1)<v(2)&&v(2)<=v(3). 但是，链式比较中的评估顺序未定义。强烈建议不要在链式比较中使用具有副作用（如打印）的表达式。如果需要副作用，短路 && 应显式使用运算符（请参阅短路评价)。

基本函数

Julia提供了一个全面的数学函数和运算符集合。这些数学运算被定义为广泛的一类数值，只要允许合理的定义，包括整数，浮点数，理数和复数，只要这些定义有意义。

此外，这些函数（如任何Julia函数）可以以"矢量化"的方式应用于具有点语法 f.(A)，例如 罪。(一) 将计算数组中每个元素的正弦 A.

运算符优先级和关联性

Julia应用以下操作的顺序和关联性，从最高优先级到最低优先级:

类别：营办商联合性,联合性

类别：	营办商	联合性,联合性
语法	`.` 其次是 `::`	左图
指数化	`^`	对
一元	`+ - ! ~ ¬ √ ∛ ∜ ⋆ ± ∓ <: >:`	右脚注：1[一元运算符 `+` 和 `-` 要求在其参数周围使用显式圆括号，以便从运算符中消除歧义 `通过：c[++]` 等。一元运算符的其他组合用右键结合来解析，例如。, `√√-a` 作为 `√(√(-a))`.]
比特转移	`<< >> >>>`	左图
分数;分数	`//`	左图
乘法运算	`* / % & \ ÷`	左脚注：2[运算符 `+`, 通过：c[]` 和 `+*+` 都是非联想的。 `a+b+c` 被解析为 `+（a，b，c）` 不是 `+(+(a,b),c)`. 但是，以下的回退方法 `（a，b，c，d。..)+ 和 `&ast;（a，b，c，d。..)` 两者都默认为左关联求值。]
此外	`+ - \| ⊻`	左脚注:2[]
语法	`: ..`	左图
语法	`\|>`	左图
语法	`<\|`	对
比较	`> < >= <= == === != !== <:`	非关联性
控制流程	`&&` 其次是 `\|\|` 其次是 `?`	对
对	`=>`	对
分配作业	`= += -= &ast;= /= //= \= ^= ÷= %= \|= &= ⊻= <<= >>= >>>=`	对

语法

. 其次是 ::

左图

指数化

^

对

一元

+ - ! ~ ¬ √ ∛ ∜ ⋆ ± ∓ <: >:

右脚注：1[一元运算符 + 和 - 要求在其参数周围使用显式圆括号，以便从运算符中消除歧义 通过：c[++] 等。一元运算符的其他组合用右键结合来解析，例如。, √√-a 作为 √(√(-a)).]

比特转移

<< >> >>>

左图

分数;分数

//

左图

乘法运算

* / % & \ ÷

左脚注：2[运算符 +, 通过：c[]` 和 `+*+` 都是非联想的。 `a+b+c` 被解析为 `+（a，b，c）` 不是 `+(+(a,b),c)`. 但是，以下的回退方法 `（a，b，c，d。..)+ 和 &ast;（a，b，c，d。..) 两者都默认为左关联求值。]

此外

+ - | ⊻

左脚注:2[]

语法

: ..

左图

语法

|>

左图

语法

<|

对

比较

> < >= <= == === != !== <:

非关联性

控制流程

&& 其次是 || 其次是 ?

对

=>

对

分配作业

= += -= &ast;= /= //= \= ^= ÷= %= |= &= ⊻= <<= >>= >>>=

对

有关_every_Julia运算符优先级的完整列表，请参阅此文件的顶部：https://github.com/JuliaLang/julia/blob/master/src/julia-parser.scm[脧锚脧赂`src/julia-解析器。供应链管理`]. 请注意，有些运算符没有在 基地 模块，但可以由标准库，包或用户代码给出定义。

您还可以通过内置函数找到任何给定运算符的数字优先级 基地。操作符_记录符，其中较高的数字优先:

julia> Base.operator_precedence(:+), Base.operator_precedence(:&ast;), Base.operator_precedence(:.)
(11, 12, 17)

julia> Base.operator_precedence(:sin), Base.operator_precedence(:+=), Base.operator_precedence(:(=))  # (Note the necessary parens on `:(=)`)
(0, 1, 1)

也可以通过调用内置函数找到表示运算符关联性的符号 基地。操作性_社会性:

julia> Base.operator_associativity(:-), Base.operator_associativity(:+), Base.operator_associativity(:^)
(:left, :none, :right)

julia> Base.operator_associativity(:⊗), Base.operator_associativity(:sin), Base.operator_associativity(:→)
(:left, :none, :right)

请注意，符号如 :罪 返回优先级 0. 此值表示无效运算符，而不是最低优先级的运算符。类似地，这样的运算符被分配了关联性 :无.

数字文字系数，例如 2x，被视为优先于任何其他二进制操作的乘法，但 ^ 它们仅作为指数具有更高的优先级。

julia> x = 3; 2x^2
18

julia> x = 3; 2^2x
64

并列解析就像一元运算符，它在指数周围具有相同的自然不对称性: -x^y 和 2x^y 解析为 -(x^y) 和 2(x^y) 鉴于 x^-y 和 x^2y 解析为 x^(-y) 和 x^(2y).

数值转换

Julia支持三种形式的数值转换，它们在处理不精确转换方面有所不同。

*符号 T(x) 或 转换(T,x) 皈依者 x 到类型的值 T. **如果 T 是浮点类型，结果是最近的可表示值，可以是正无穷大或负无穷大。 **如果 T 是整数类型， N.恐怖,恐怖 如果 x 不能由 T. * x%T 转换整数 x 到整数类型的值 T 全等到 x 模数,模数 2^n，在哪里 n 是位数在 T. 换句话说，二进制表示被截断以适合。 * 舍入函数取一个类型 T 作为可选参数。例如, 圆(Int,x) 是一个简写 Int(圆(x)).

下面的例子显示了不同的形式。

julia> Int8(127)
127

julia> Int8(128)
ERROR: InexactError: trunc(Int8, 128)
Stacktrace:
[...]

julia> Int8(127.0)
127

julia> Int8(3.14)
ERROR: InexactError: Int8(3.14)
Stacktrace:
[...]

julia> Int8(128.0)
ERROR: InexactError: Int8(128.0)
Stacktrace:
[...]

julia> 127 % Int8
127

julia> 128 % Int8
-128

julia> round(Int8,127.4)
127

朱莉娅>圆(Int8,127.6)
错误：InexactError：Int8（128.0）
[医]堆垛机:
[...]

见转换和促销如何定义自己的转换和促销。

舍入函数

功能资料描述返回类型

功能	资料描述	返回类型
`圆(x)`	圆形 `x` 到最接近的整数	`类型(x)`
`圆(T,x)`	圆形 `x` 到最接近的整数	`T`
`楼层(x)`	圆形 `x` 朝向 `-Inf`	`类型(x)`
`楼层(T,x)`	圆形 `x` 朝向 `-Inf`	`T`
`锡尔(x)`	圆形 `x` 朝向 `+Inf`	`类型(x)`
`ceil(T,x)`	圆形 `x` 朝向 `+Inf`	`T`
`中继(x)`	圆形 `x` 迈向零	`类型(x)`
`trunc（T，x）`	圆形 `x` 迈向零	`T`

圆(x)

圆形 x 到最接近的整数

类型(x)

圆(T,x)

圆形 x 到最接近的整数

T

楼层(x)

圆形 x 朝向 -Inf

类型(x)

楼层(T,x)

圆形 x 朝向 -Inf

T

锡尔(x)

圆形 x 朝向 +Inf

类型(x)

ceil(T,x)

圆形 x 朝向 +Inf

T

中继(x)

圆形 x 迈向零

类型(x)

trunc（T，x）

圆形 x 迈向零

T

部门职能

功能资料描述

功能	资料描述
`div(x,y)`, `x＜y`	截断除法；商四舍五入为零
`fld(x,y)`	floored division;商四舍五入 `-Inf`
`cld(x,y)`	天花板划分；商四舍五入 `+Inf`
`快速眼动(x,y)`, `x%y`	余数；满足 `x==div(x,y)*y+rem(x,y)`;标志匹配 `x`
`国防部(x,y)`	模量；满足 `x==fld(x,y)*y+mod(x,y)`;标志匹配 `y`
`mod1(x,y)`	`国防部` 带偏移量1;返回 `r∶(0,y]` 为 `y>0` 或 `r∈[y,0)` 为 `y<0`，在哪里 `mod(r,y)==mod(x,y)`
`mod2pi(x)`	相对于2pi的模量; `0<=mod2pi(x)<2pi`
`divrem(x,y)`	申报表 `(div(x,y),rem(x,y))`
`fldmod(x,y)`	申报表 `(fld(x,y),mod(x,y))`
`gcd（x，y。..)`	的最大公约数 `x`, `y`,…
`lcm(x，y．..)`	的最小正公倍数 `x`, `y`,…

div(x,y), x＜y

截断除法；商四舍五入为零

fld(x,y)

floored division;商四舍五入 -Inf

cld(x,y)

天花板划分；商四舍五入 +Inf

快速眼动(x,y), x%y

余数；满足 x==div(x,y)*y+rem(x,y);标志匹配 x

国防部(x,y)

模量；满足 x==fld(x,y)*y+mod(x,y);标志匹配 y

mod1(x,y)

国防部 带偏移量1;返回 r∶(0,y] 为 y>0 或 r∈[y,0) 为 y<0，在哪里 mod(r,y)==mod(x,y)

mod2pi(x)

相对于2pi的模量; 0<=mod2pi(x)<2pi

divrem(x,y)

申报表 (div(x,y),rem(x,y))

fldmod(x,y)

申报表 (fld(x,y),mod(x,y))

gcd（x，y。..)

的最大公约数 x, y,…

lcm(x，y．..)

的最小正公倍数 x, y,…

符号和绝对值函数

功能资料描述

功能	资料描述
`abs(x)`	一个正值，其大小为 `x`
`abs2(x)`	的平方幅度 `x`
`符号(x)`	表示的标志 `x`，返回-1、0或+1
`符号(x)`	指示符号位是on(true)还是off(false)
`副标题(x,y)`	大小为 `x` 和的标志 `y`
`flipsign(x,y)`	大小为 `x` 和的标志 `x*y`

一个正值，其大小为 x

的平方幅度 x

表示的标志 x，返回-1、0或+1

指示符号位是on(true)还是off(false)

副标题(x,y)

大小为 x 和的标志 y

flipsign(x,y)

大小为 x 和的标志 x*y

权力，日志和根

功能资料描述

功能	资料描述
`sqrt(x)`, `√x`	的平方根 `x`
`银监会(x)`, `∛x`	多维数据集根 `x`
`第四根(x)`, `∜x`	第四根 `x`
`hypot(x,y)`	与其他边长的直角三角形的斜边 `x` 和 `y`
`exp(x)`	自然指数函数在 `x`
`expm1(x)`	准确无误 `exp(x)-1` 为 `x` 接近零
`ldexp(x,n)`	`x&ast;2^n` 有效计算的整数值 `n`
`日志(x)`	的自然对数 `x`
`日志(b,x)`	基地 `b` 对数的 `x`
`log2(x)`	以2为底的对数 `x`
`log10(x)`	以10为底的对数 `x`
`log1p(x)`	准确无误 `日志(1+x)` 为 `x` 接近零
`指数(x)`	的二进制指数 `x`
`意义(x)`	浮点数的二进制有效值(a.k.a.尾数) `x`

sqrt(x), √x

的平方根 x

银监会(x), ∛x

多维数据集根 x

第四根(x), ∜x

第四根 x

hypot(x,y)

与其他边长的直角三角形的斜边 x 和 y

exp(x)

自然指数函数在 x

expm1(x)

准确无误 exp(x)-1 为 x 接近零

ldexp(x,n)

x&ast;2^n 有效计算的整数值 n

的自然对数 x

基地 b 对数的 x

以2为底的对数 x

以10为底的对数 x

准确无误 日志(1+x) 为 x 接近零

指数(x)

的二进制指数 x

意义(x)

浮点数的二进制有效值(a.k.a.尾数) x

有关为什么像这样的功能的概述 [医hypot], expm1，和 log1p是必要和有用的，请参阅John D.Cook关于这个主题的优秀博客文章：https://www.johndcook.com/blog/2010/06/07/math-library-functions-that-seem-unnecessary/[expm1，log1p，erfc]，和https://www.johndcook.com/blog/2010/06/02/whats-so-hard-about-finding-a-hypotenuse/[hypot]。

三角函数和双曲函数

还定义了所有标准的三角函数和双曲函数:

sin    cos    tan    cot    sec    csc
sinh   cosh   tanh   coth   sech   csch
asin   acos   atan   acot   asec   acsc
asinh  acosh  atanh  acoth  asech  acsch
sinc   cosc

这些都是单参数函数，具有 阿坦也接受与传统相对应的两个参数https://en.wikipedia.org/wiki/Atan2[脧锚脧赂`阿坦2`]功能。

此外, 辛皮(x)和 cospi(x)提供了更准确的计算 罪(pi*x)和 cos(pi*x)分别。

为了用度而不是弧度来计算三角函数，用 d. 例如, 信德(x)计算的正弦 x 哪里 x 以度为单位指定。度变体的三角函数的完整列表是:

sind   cosd   tand   cotd   secd   cscd
asind  acosd  atand  acotd  asecd  acscd

特殊功能

该软件包提供了许多其他特殊的数学函数https://github.com/JuliaMath/SpecialFunctions.jl[SpecialFunctions.jl]。