Документация Engee
Notebook

Линейная алгебра

Открыть пример в Engee

В этом примере мы покажем, как решать простые задачи из области линейной алгебры – нахождение детерминанта, перемножение матриц и SVG факторизацию.

Для начала, пожалуйста, запустите подготовительную ячейку с кодом.

In [ ]: 
Pkg.add(["LinearAlgebra", "Rotations"])
In [ ]: 
using LinearAlgebra;
using Rotations;
using Plots;
plotlyjs();

Нахождение детерминанта матрицы

Найдите детерминант матрицы $\left [ \begin{array}{cc}1 & 2 & 3 \\4 & 1 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \end{array} \right ]$

In [ ]: 
A = [1 2 3; 4 1 6; 7 8 1]
det(A)
Out[0]:
104.0

Перемножение матриц

Найдите координаты точки (1,2,0) при повороте вокруг оси Z на угол $90^{\circ}$.

In [ ]: 
X = [1, 2, 0]
scatter([X[1]], [X[2]], [X[3]], framestyle = :zerolines, legend=false, aspect_ratio = 1)
Out[0]:
In [ ]: 
R_euler = RotXYZ(0,0,90*pi/180);
Y = R_euler * X
scatter!([Y[1]], [Y[2]], [Y[3]], framestyle = :zerolines, legend=false, aspect_ratio = 1)
Out[0]:
In [ ]: 
print(Y)

[-2.0, 1.0000000000000002, 0.0]

Снижение размерности матрицы через факторизацию

Дана матрица признаков трёх объектов:

$A = \left [ \begin{array}{cc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\ 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20\\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 & 29 & 30 \end{array} \right ]$

Столбцы содержат признаки объектов, но в них содержится избыточная информация. Выполните снижение размерности до двух переменных при помощи SVD и дополнительных операций. Конкретные шаги алгоритма:

  1. Разложите матрицу на компоненты U, s, VT при помощи функции svd().
  2. Создайте нулевую матрицу Sigma того же размера, что и матрица A, и заполните ее главную диагональ элементами вектора S.
  3. Отделите 2 столбца матрицы Sigma и 2 строки матрицы V, чтобы найти проекцию матрицы в пространство сниженной размерности при помощи команд T = U * Sigma.
In [ ]: 
A = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10;
      11 12 13 14 15 16 17 18 19 20;
      21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ];

U, s, VT = svd(A);
In [ ]: 
# Создадим матрицу Sigma
Sigma = zeros(size(A,1), size(A,2));
Sigma[1:size(A,1), 1:size(A,1)] = diagm(s);

# Выберем только 2 признака для описания
n_elements = 2;
Sigma = Sigma[:, 1:n_elements];
VT = VT[1:n_elements, :];

# Находим проекцию матрицы в пространство уменьшенной размерности
T = U * Sigma
Out[0]:
3×2 Matrix{Float64}:
 -18.5216   6.47697
 -49.8131   1.91182
 -81.1046  -2.65333
In [ ]: 
# Приблизительное восстановление матрицы по сжатой информации
B = U * (Sigma * VT)
Out[0]:
3×3 Matrix{Float64}:
  2.80454   7.16027  12.4563
 11.5326   25.8784   22.6968
 20.2608   44.5964   32.9373

Ссылки: