Линейная алгебра
В этом примере мы покажем, как решать простые задачи из области линейной алгебры – нахождение детерминанта, перемножение матриц и SVG факторизацию.
Для начала, пожалуйста, запустите подготовительную ячейку с кодом.
In [ ]:
Pkg.add(["LinearAlgebra", "Rotations"])
In [ ]:
using LinearAlgebra;
using Rotations;
using Plots;
plotlyjs();
Нахождение детерминанта матрицы
Найдите детерминант матрицы
In [ ]:
A = [1 2 3; 4 1 6; 7 8 1]
det(A)
Out[0]:
Перемножение матриц
Найдите координаты точки (1,2,0) при повороте вокруг оси Z на угол .
In [ ]:
X = [1, 2, 0]
scatter([X[1]], [X[2]], [X[3]], framestyle = :zerolines, legend=false, aspect_ratio = 1)
Out[0]:
In [ ]:
R_euler = RotXYZ(0,0,90*pi/180);
Y = R_euler * X
scatter!([Y[1]], [Y[2]], [Y[3]], framestyle = :zerolines, legend=false, aspect_ratio = 1)
Out[0]:
In [ ]:
print(Y)
Снижение размерности матрицы через факторизацию
Дана матрица признаков трёх объектов:
Столбцы содержат признаки объектов, но в них содержится избыточная информация. Выполните снижение размерности до двух переменных при помощи SVD и дополнительных операций. Конкретные шаги алгоритма:
- Разложите матрицу на компоненты
U, s, VT
при помощи функцииsvd()
. - Создайте нулевую матрицу
Sigma
того же размера, что и матрицаA
, и заполните ее главную диагональ элементами вектораS
. - Отделите 2 столбца матрицы
Sigma
и 2 строки матрицыV
, чтобы найти проекцию матрицы в пространство сниженной размерности при помощи командT = U * Sigma
.
In [ ]:
A = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10;
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20;
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ];
U, s, VT = svd(A);
In [ ]:
# Создадим матрицу Sigma
Sigma = zeros(size(A,1), size(A,2));
Sigma[1:size(A,1), 1:size(A,1)] = diagm(s);
# Выберем только 2 признака для описания
n_elements = 2;
Sigma = Sigma[:, 1:n_elements];
VT = VT[1:n_elements, :];
# Находим проекцию матрицы в пространство уменьшенной размерности
T = U * Sigma
Out[0]:
In [ ]:
# Приблизительное восстановление матрицы по сжатой информации
B = U * (Sigma * VT)
Out[0]: