Расчёт температурного поля плоского радиационного теплообменника

Открыть пример в Engee

Определение параметров теплообменника, расчётной схемы, начальных и граничных условий

В данном примере будет продемонстрировано решение уравнения теплопроводности методом Эйлера.

Задача: рассчитать поле температур для плоского радиационного теплообменника.

Дано:

плоский радиационный теплообменник длиной 20 см, толщиной 1,25 см.

Начальные условия:

вакуум,

интегральная поглощательная способность тела $\xi=0,9$,

спектральная поглощательная способность тела $a=0,14$,

температура в каждой точке теплообменника в начальный момент времени ${T_{0,j}} = 293K$.

Граничные условия:

температура теплоносителя ${T_ж} = 293K$.

Допущения:

теплоперенос вдоль течения жидкости не учитывается, в связи с чем ширина теплообменника принята за 1 см,

учитывается излучение только одной стороны теплообменника, так как вторая сторона поглощает переотражённое от охлаждаемого космического аппарата тепло.

Общий вид теплообменника представлен на рисунке:

Класическое уравнение теплопроводности было модифицировано с учётом лучистого теплообмена с окружающей средой, который описывается законом Стефана-Больцмана.

Применив метод Эйлера к данному уравнению, получили:

$${T_{i+1,j}}={T_{i,j}}+h\frac{1}{cm}(\lambda F \frac{{T_{i,j-1}}-{T_{i,j}}}{d}+\frac{{T_{i,j+1}}-{T_{i,j}}}{d}-\xi \sigma{F_{izl}}{T^4_{i,j}}+{a_s}{q_s}{F_m})$$

где:

$c=903.7$ (Дж/кг*К) - теплоёмкость алюминия,

$m=0.003375$ кг - масса рассчитываемого участка теплообменника,

$\lambda=235.9$ Вт/(м*К) - коэффициент теплопроводности,

$F=0.00025$ м2 - площадь рассчитываемого участка,

$d=0.01$ м - длина рассчитываемого участка теплообменника,

$\xi=0.90$ - интегральная поглощательная способность тела,

$\sigma=0.000000056704$ Вт/(м2*К4);

${F_m}=Fsin(67\pi/180)$ - площадь миделя рассчитываемого участка (проекция площади участка на перпендикуляр к направлению солнечного излучения)

${a_s}=0.14$ - спектральная поглощательная способность тела,

${q_s}=1400$ Вт/м2 - интенсивность солнечного излучения,

$h=0.001$ с - шаг расчёта.

Расположение расчётных отрезков представлено на рисунке:

Определение начальных условий, параметров теплообменника и окружающей среды

Определение параметров теплообменника и окружающей среды:

# @markdown #### Выбор материала теплообменника с определённой теплоёмкостью (по порядку: алюминий, железо, золото)
c = "903.7" # @param ["903.7", "450.0", "130.0"]
c = parse(Float64, c)
m = 0.003375
A = 235.9
F = 0.00025
d = 0.01
E = 0.90
S = 0.000000056704
Fm = F*sin(67*pi/180)
L = 0.14
# @markdown #### Определение теплового потока от солнца (солнечная сторона/тень)
q = "1400.0" # @param ["1400.0", "0.0"]
q = parse(Float64, q)
# @markdown #### Определение шага расчёта по времени
h = 0.1 # @param {type:"number"}

0.1

Расчёт и визуализация данных

Построение графика решения по времени для отрезков с 1 по 10 (с левого края до середины теплообменника):

using Plots
# Определение начальных условий
T0 = 293.15
T = fill(293.0, (1080,20)); #определение массива для температуры
Q3 = fill(0.094, (1080,20)); #определение массива для теплового потока, излучаемого теплообменником
Q4 = fill(0.0451047, (1080,20)); #определение массива для теплового потока, излучаемого Солнцем

# Расчёт температур и тепловых потоков в каждый момент времени 
# для всех отрезков теплообменника:
for i in 1:1079 #цикл для расчёта по времени  
    # @markdown #### Температура теплоносителя слева:
    T[i,1] = 290.06 # @param {type:"slider", min:250, max:350, step:0.01}
    # @markdown #### Температура теплоносителя справа:
    T[i,20] = 293.13  # @param {type:"slider", min:250, max:350, step:0.01}
        for j in 2:19 #цикл для расчёта по координате
            T[1,j] = T0 #определение начального условия
            T[i+1,j] = T[i,j] + h*(
                (1/(c*m))*
                (A*F*(T[i,j-1]-T[i,j])/d #тепловой поток, передаваемый от левого отрезка к текущему с помощью теплопроводности
                 + A*F*(T[i,j+1]-T[i,j])/d #тепловой поток, передаваемый от правого отрезка к текущему с помощью теплопроводности
                 - E*S*T[i,j]*T[i,j]*T[i,j]*T[i,j]*F #тепловой поток, излучаемый текущим отрезком теплообменника
                 + L*q*Fm) #тепловой поток от Солнца, поглощаемый текущим отрезком теплообменника
                 )
            Q3[i,j] = E*S*T[i,j]*T[i,j]*T[i,j]*T[i,j]*F #заполнение массива для излучаемого теплового потока
            Q4[i,j] = L*q*Fm #заполнение массива для поглощаемого теплового потока
        end
end
T[end,1] = T[end-1,1]
Legend = ["1 отрезок" "2 отрезок" "3 отрезок" "4 отрезок" "5 отрезок" "6 отрезок" "7 отрезок" "8 отрезок" "9 отрезок" "10 отрезок"]
# построение графиков для отрезков с 11 по 20 не имеет смысла, так как они геометрически симметричны с отрезками с 1 по 10
Plots.plot(T[:,1:10], xlabel="Время", ylabel="Температура", label=Legend) # , ylims=(lim_low,lim_high)

Выводы:

В данном примере был продемонстрирован расчёт температурного поля плоского теплообменника. Из расчёта отношения излучаемого и поглощаемого тепловых потоков можно увидеть, что теплообменник действительно поглощает тепло, приносимое теплоносителем, и излучает его в окружающую среду. В свою очередь, в зависимости от координаты, были получены значения температуры в каждый момент времени. Таким образом, была решена задача по расчёту поля температур в плоском теплообменнике.