Градиенты изображения

Как правило, значением kernelfun может быть любая функция, соответствующая следующему интерфейсу:

где kern_d — это ядро для получения производной по -му измерению -мерного массива. Параметр extended[i] имеет значение true, если изображение имеет размер больше 1 по измерению . В параметре kern_d можно передать плотное или разложенное ядро, причем если ядро является разделяемым, рекомендуется разложенное представление.

Ниже описываются некоторые допустимые варианты kernelfun.

С помощью аргумента border указывается способ дополнения для экстраполяции изображения за пределами его исходных границ. Для иллюстрации результаты дополнения с использованием каждого варианта показаны на примере изображения, состоящего из строки из шести пикселей, которые следуют по алфавиту: . Результат дополнения демонстрируется только на левой и правой границах, но для верхней и нижней границ результат будет аналогичным.

Градиент непрерывного аналогового изображения в точке определяется как вектор

где  — единичный вектор в направлении . Градиент направлен в сторону максимальной скорости изменения в точке с координатами . С помощью градиента можно вычислить производную функции в произвольном направлении. В частности, производная в направлении единичного вектора находится по формуле , где означает точечное произведение.

На практике мы получаем цифровое изображение , где яркость известна только в дискретном множестве мест. Это означает, что необходимые частные производные не определены и должны быть аппроксимированы по разностно-дискретным формулам [1].

Простым способом аппроксимации частных производных является использование центрально-разностных формул

и

Однако центрально-разностные формулы очень чувствительны к шуму. При работе с зашумленными данными изображения получить более точную аппроксимацию частных производных можно с помощью подходящего взвешенного сочетания соседних уровней интенсивности на изображении. Взвешенное сочетание можно представить как операцию дискретной свертки между изображением и ядром, которое описывает требуемые веса. В частности, если ( представляет ядро , то

Ядро также часто называют маской или сверточной матрицей.

От выбора весов зависит величина погрешности аппроксимации и изотропность конечно-разностной схемы. Конечно-разностная схема является изотропной, если погрешность аппроксимации не зависит от ориентации системы координат, или анизотропной, если погрешность аппроксимации отклоняется в каком-либо направлении [2]. В случае с непрерывным аналоговым изображением величина градиента будет инвариантной при повороте системы координат, но на практике при конечном множестве дискретных точек получить идеальную изотропность невозможно. Поэтому конечно-разностная схема обычно считается изотропной, если начальный член погрешности в аппроксимации не имеет предпочтительных направлений.

Большинство конечно-разностных схем, используемых при обработке изображений, основаны на ядрах , и, как указано в работе [7], многие из них также могут быть параметризованы одним параметром :

где

Ядро называется разделяемым, если оно может быть выражено как свертка двух одномерных фильтров. При матричном представлении ядра разделяемость означает, что матрицу ядра можно записать как внешнее произведение двух векторов. Разделяемые ядра дают вычислительные преимущества, так как вместо двухмерной свертки можно выполнить последовательность одномерных.