线性代数
在本例中,我们将展示如何解决简单的线性代数问题,如求行列式、矩阵乘法和 SVG 因式分解。
首先,请运行预备代码单元格。
In [ ]:
Pkg.add(["LinearAlgebra", "Rotations"])
In [ ]:
using LinearAlgebra;
using Rotations;
using Plots;
plotlyjs();
求矩阵行列式
求矩阵的行列式
In [ ]:
A = [1 2 3; 4 1 6; 7 8 1]
det(A)
Out[0]:
矩阵乘法
将点(1,2,0)绕 Z 轴旋转一个角度后,求点(1,2,0)的坐标 。
In [ ]:
X = [1, 2, 0]
scatter([X[1]], [X[2]], [X[3]], framestyle = :zerolines, legend=false, aspect_ratio = 1)
Out[0]:
In [ ]:
R_euler = RotXYZ(0,0,90*pi/180);
Y = R_euler * X
scatter!([Y[1]], [Y[2]], [Y[3]], framestyle = :zerolines, legend=false, aspect_ratio = 1)
Out[0]:
In [ ]:
print(Y)
通过因式分解降低矩阵维数
下面给出一个包含三个对象的特征矩阵:
列中包含对象的特征,但其中包含冗余信息。使用 SVD 和其他操作将维度降低到两个变量。算法的具体步骤:
1.使用函数svd()
将矩阵分解为多个分量U, s, VT
。
2.2. 创建一个与矩阵A
大小相同的空矩阵Sigma
,并用向量S
的元素填充其主对角线。
3. 分离矩阵Sigma
的 2 列和矩阵V
的 2 行,使用命令T = U * Sigma
找出矩阵在缩小维度空间中的投影。
In [ ]:
A = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10;
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20;
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ];
U, s, VT = svd(A);
In [ ]:
# Создадим матрицу Sigma
Sigma = zeros(size(A,1), size(A,2));
Sigma[1:size(A,1), 1:size(A,1)] = diagm(s);
# Выберем только 2 признака для описания
n_elements = 2;
Sigma = Sigma[:, 1:n_elements];
VT = VT[1:n_elements, :];
# Находим проекцию матрицы в пространство уменьшенной размерности
T = U * Sigma
Out[0]:
In [ ]:
# Приблизительное восстановление матрицы по сжатой информации
B = U * (Sigma * VT)
Out[0]: