Создание моделей непрерывных систем¶
В данном примере рассмотрим, как создать модель непрерывной во времени системы с помощью функций tf zpk ss.
Библиотека ControlSystems.jl позволяет задавать линейные модели непрерывных систем тремя разными способами:
- Передаточные функции (
tf) - Задание полюсов и нулей (
zpk) - Пространство состояний (
ss)
#Подключение библиотеки для работы с САУ
using ControlSystems
Передаточные функции¶
Для SISO систем передаточная функция представляет собой отношение многочленов $A(s)$ и $B(s)$, которые являются изображениями по Лапласу выходной и входной величин.
$$ W(s)={\frac{A(s)}{B(s)}}={\frac{a_1s^n+a_2s^{n-1}+...+a_ns^{n+1}}{b_1s^m+b_2s^{m-1}+...+a_ms^{m+1}}} $$
В Engee многочлен задается в виде вектора коэффициентов. Например, для многочлена: $s^2 + 2s + 10$, вектор коэффициентов: $[1, 2, 10]$.
Получим передаточную функцию вида:
num = [1, 0]; #Задаем числитель
den = [1, 2, 10]; #Задаем знаменатель
W1 = tf(num, den)
В качестве другого варианта, можно перейти в область Лапласа и вместо вектора с коэффициентами передать многочлен с переменной s.
s = tf('s'); #Создаем переменную Лапласа
W2 = s/(s^2 + 2*s + 10)
Задание полюсов и нулей¶
Заданное с помощью функции zpk() описание модели выглядит как передаточная функция.
$$
H(s) = {k\frac{(s-z_1)...(s-z_n)}{(s-p_1)...(s-p_m)}}
$$
Корни числителя называются нулями, а знаменателя полюсами. Скалярный коэффициент $k$ - коэффициент усиления.
Чтобы задать модель через функцию zpk(), нужно передать вектор полюсов, нулей и коэффициент усиления.
z = [0]; # Нули
p = [2,1+1im,1-1im]; # Полюса
k = -2; # коэффициент усиления
H = zpk(z,p,k)
Также как для моделей заданных передаточными функциями, можно перейти в область Лапласа и передавать многочлен с переменной s вместо вектора с коэффициентами.
s = zpk("s");
H = -2*s/(s - 2)/(s^2 - 2*s + 2)
Модель в пространстве состояний¶
Модель пространства состояний это представление дифференциальных уравнений в матричной форме. Полная модель объекта в пространстве состояний содержит два уравнения:
$$\frac{dx}{dt}=Ax(t)+Bu(t)$$ $$y(t) = Cx(t)+Du(t)$$
где $x(t)$ - вектор состояния системы, $u(t)$ - вектор входа(сигнал управления), $y(t)$ - вектор выхода; $A,B,C,D$ - матрицы.
Для задания модели в пространстве состояний существует функция ss(). Для этого на вход функции нужно задать описанные матрицы.
A = [0 1 ; -5 -2];
B = [0 ; 3];
C = [1 0];
D = 0;
H = ss(A,B,C,D)
Описание модели системы позволяет начать анализировать ее поведение. Например, строить графики временных и частотных характеристик. С функциями для анализа моделей САУ можно ознакомиться в разделе Анализ.