Документация Engee
Notebook

Частотная характеристика MIMO систем

Открыть пример в Engee

В этом примере показано, как можно исследовать частотную характеристику многоканальной системы с несколькими входами и выходами (MIMO) двумя способами: путём вычисления частотной характеристики и путём вычисления сингулярных значений.

Перед началом работы подключите пакет ControlSystems.jl.

In [ ]: 
import Pkg
Pkg.add("ControlSystems")
In [ ]: 
using ControlSystems
s = tf('s');

Рассчитайте частотную характеристику модели MIMO и проанализируйте размер выходного сигнала.

In [ ]: 
H = ssrand(2,2,3)
mag, phase, w = bode(H)
Out[0]:
([64.35193014748488 110.66105266914876; 4.517702482503937 8.1126829075723;;; 64.35173123989897 110.66071091235746; 4.517688677427745 8.112658012169764;;; 64.35151642715427 110.66034182782086; 4.5176737684629416 8.112631126067845;;; … ;;; 1.3743210863836728 0.48978319836300016; 0.11048789451967378 0.03695369884433167;;; 1.3743208282278998 0.48978365958105596; 0.11048738601888716 0.03694903132103605;;; 1.3743205891888663 0.48978408664557166; 0.11048691517136995 0.03694470890983952], [179.49447401920028 179.48084163877962; 179.43620199457524 179.44556259487726;;; 179.4746496420569 179.4604826340331; 179.41409233664749 179.42382003546894;;; 179.45404793472662 179.43932533235494; 179.39111572573253 179.401224919673;;; … ;;; -179.96421069383405 -0.06983037265621919; -180.50685638303776 -183.24164437539673;;; -179.9655613080031 -0.06719499468835029; -180.48773063550016 -183.11958354405905;;; -179.96686095174016 -0.06465908605398658; -180.4693264552339 -183.00209954377647], [0.0001, 0.00010392174819219933, 0.00010799729747322885, 0.00011223267953450933, 0.00011663416261521083, 0.00012120826077905968, 0.00012596174355495872, 0.00013090164595568805, 0.0001360352788895144, 0.00014137023998011728  …  707.3624548848775, 735.1034291716219, 763.9323346159553, 793.8918371383827, 825.0262759093753, 857.3817289700206, 891.0060814261498, 925.949096316866, 962.2624882623586, 1000.0])
In [ ]: 
size_mag = size(mag)
Out[0]:
(2, 2, 420)

Первое и второе измерения массива данных mag — это количество выходов и входов $H$. Третье измерение — это количество точек в векторе частот w (Команда bode определяет это количество автоматически, если вы не указываете вектор частот). Таким образом, mag(i,j,:) — это частотная характеристика от j-го входа $H$ к i-му выходу. Массив фазовых данных phase имеет ту же форму, что и mag.

Постройте частотную характеристику каждой пары вход/выход в $H$.

In [ ]: 
bodeplot(H, title = ["Input 1" "Input 2" "" "" "" "" "" ""], leg = false)
Out[0]:

bodeplot отражает амплитуду и фазу частотной характеристики каждой пары «вход-выход» в H (Поскольку ssrand генерирует случайную модель пространства состояний, вы можете увидеть другие характеристики, отличные от представленных на рисунке). В первом столбце графики частотных характеристик цепей идущих от первого входного сигнала к первому и второму выходу. Во втором столбце аналогично, но от второго входного сигнала к двум выходам системы.

Постройте график сингулярных значений $H$ в зависимости от частоты.

In [ ]: 
sigmaplot(H)
Out[0]:

Диаграмма sigmaplot показывает зависимость сингулярных значений MIMO системы $H$ от частоты. Максимальное сингулярное значение на определенной частоте - это максимальное усиление системы по всем линейным комбинациям входных сигналов на этой частоте. Сингулярные значения могут дать лучшее представление об общем отклике, стабильности и настройке системы MIMO, чем поканальный график Боде.

Вычислите сингулярные значения $H$ в диапазоне от 0.1 до 10 рад/с.

In [ ]: 
ω = collect(1:0.001:10);
sv,w = sigma(H,ω)

display([sv,w])

2-element Vector{Array{Float64}}:
 [5.457212482429304 5.461629817019327 … 1.4747258493327937 1.4747227858945642; 0.5374496365843938 0.5377831833004091 … 0.24287151511445718 0.24284864620972058]
 [1.0, 1.001, 1.002, 1.003, 1.004, 1.005, 1.006, 1.007, 1.008, 1.009  …  9.991, 9.992, 9.993, 9.994, 9.995, 9.996, 9.997, 9.998, 9.999, 10.0]

Когда вы вызываете sigma, команда возвращает сингулярные значения в массиве данных sv. Входные данные массива $\omega$ указывают sigma на необходимость вычисления сингулярных значений в диапазоне частот от 0.1 до 10 рад/с. Функция sigma возвращает эти частоты в векторе w. Каждая строка sv содержит сингулярные значения $H$ на частотах w.

Вывод

С помощью рассмотренного примера мы научились исследовать частотную характеристику MIMO системы.