Документация Engee
Notebook

Некоторые объекты дифференциальной геометрии

Введение

Изучение свойств непрерывных отображений и форм составляет фундамент дифференциальной геометрии, позволяя перейти от частных аналитических решений к качественному описанию геометрических структур. В данном примере проводится вычислительная визуализация трёх канонических поверхностей, наделённых уникальными топологическими инвариантами. Интерактивное варьирование параметров моделей раскрывает внутреннюю связь между локальной метрикой объектов и их глобальным поведением в трёхмерном евклидовом пространстве.

Гиперболоид

Гиперболоид — это незамкнутая поверхность второго порядка. Она образуется вращением гиперболы вокруг оси, при этом однополостный гиперболоид является линейчатой поверхностью.

Уравнение гиперболоида:

В данном скрипте используем уравнения в параметрическом виде:

где , .

In [ ]: 
u = range(0, 2π, length=50)
v = range(-1, 1, length=50)
U = repeat(u', length(v), 1)
V = repeat(v, 1, length(u))
a, b = 1.0, 1.5
X = a .* cosh.(V) .* cos.(U)
Y = a .* cosh.(V) .* sin.(U)
Z = b .* sinh.(V)

surface(X, Y, Z;
    color = Z,
    colormap = :plasma,
    alpha = 0.9,
    colorbar = false,
    ratio = :equal,
    title = "Гиперболоид")
Out[0]:

Волновая поверхность

Затухающая волновая поверхность — это двумерное скалярное поле, представляющее собой произведение осциллирующей функции и убывающего радиального множителя. Поверхность демонстрирует локализованный волновой пакет с максимумом амплитуды в начале координат и её асимптотическим стремлением к нулю на периферии, что характерно для систем с пространственной диссипацией.

Уравнение поверхности:

Коэффициент — это параметр затухания, определяющий характерный пространственный масштаб локализации волн. При уменьшении значения возрастает радиус области, в пределах которой амплитуда остаётся значимой; при увеличении — волны эффективно подавляются уже вблизи центра.

Квадрат радиальной координаты в знаменателе задаёт изотропный закон спадания амплитуды, пропорциональный обратному расстоянию от начала координат при больших значениях аргумента.

In [ ]: 
u = range(-8, 8, length = 300)
v = range(-8, 8, length = 300)
k = 0.1
U, V = [u_i for u_i in u, _ in v], [v_j for _ in u, v_j in v]
X = @. U
Y = @. V
Z = @. sin(U) * cos(V) / (1 + k * (U^2 + V^2))

surface(X, Y, Z,
    fill_z = Z,                    
    linewidth = 0,               
    legend = false,
    aspect_ratio = :equal,
    colorbar = false,
    seriescolor = :hot,         
    alpha = 0.97,              
    title = "Затухающая волновая поверхность",
    xlabel = "x",
    ylabel = "y",
    zlabel = "z",
    camera = (45, 35),
    size = (800, 650))
Out[0]:

Катеноид

Катеноид — это минимальная поверхность вращения, образованная вращением цепной линии (катены) вокруг директрисы. Это единственная минимальная поверхность среди всех поверхностей вращения, имеющая нулевую среднюю кривизну в каждой точке, что делает её физической моделью мыльной плёнки, натянутой между двумя коаксиальными кольцами.

Уравнение катеноида в явной форме:

Уравнения катеноида в параметрической форме:

In [ ]: 
u = range(0, 2π, length=250)
v = range(-2, 2, length=150)
U, V = [u_i for u_i in u, _ in v], [v_j for _ in u, v_j in v]
X = @. cosh(V) * cos(U)
Y = @. cosh(V) * sin(U)
Z = @. V

surface(X, Y, Z,
    fill_z = Z,                  
    linewidth = 0,
    linealpha = 0,
    legend = false,
    aspect_ratio = :equal,
    colorbar = false,
    seriescolor = :cool,
    alpha = 0.85,
    title = "Катеноид",
    camera = (50, 30),
    size = (800, 650),
    fillalpha = 0.85,
    fillcolor = :cool)
Out[0]:

Заключение

Данный пример наглядно демонстрирует, что даже простейшие параметризации второго порядка порождают структурно сложные и содержательные геометрические образы. В инженерной практике данные поверхности находят прямое воплощение: гиперболоиды вращения служат основой для расчёта градирен на тепловых электростанциях благодаря исключительной жёсткости формы, тогда как катеноиды описывают геометрию тентовых и вантовых конструкций, минимизирующих расход материала. В академической среде подобные модели являются необходимым инструментом для изучения минимальных поверхностей в вариационном исчислении и теории особенностей дифференцируемых отображений в многомерных пространствах.