Многоскоростной фильтр¶

Введение¶

Многоскоростными называются дискретные системы, содержащие сигналы с разной частотой дискретизации (ЧД). В большинстве случаев рассматриваются системы, изменяющие частоту дискретизации входного сигнала. Её можно повышать и понижать в целое число раз, а также изменять в дробное число раз (m/n, где m и n - целые). На примере данной модели мы рассмотрим классическую задачу изменения ЧД в дробное число раз, а также узнаем, зачем нам нужен фильтр.

Модель состоит из блоков источника дискретного синусоидального сигнала DSP Sine Wave, блока повышения ЧД в целое число раз Upsample, блока понижения ЧД в целое число раз Downsample, и блока фильтра Discrete FIR Filter, который изначально неактивен (сигнал проходит через блок без изменений). Исходная дискретная синусоида - это сигнал с основной частотой 5 Гц и частотой дискретизации 100 Гц. Блок Upsample повышает ЧД в 5 раз очень простым образом - за счёт добавления четырёх дополнительных нулей между отсчётами входящей синусоиды. Блок Downsample прореживает отсчёты входящего на него сигнала, убирая (в нашем случае) каждый второй. Таким образом мы хотим увеличить ЧД синусоиды в 2.5 раза. На вкладке Отладка в модели мы подсвечиваем ЧД блоков и сигналов различными цветами.

Запуск модели и форма выходного сигнала¶

При запуске модели на симуляцию, мы можем наблюдать в окне Графики сигналы во временной области. Обратим внимание, что исходный сигнал выглядит как дискретная (ступенчатая) синусоида, в то время как выход модели (сигнал с ЧД 250 Гц) представляет собой выбросы с нулями между ними.

Блоки Upsample и Downsample - реализуют простые цифровые алгоритмы, изменяющие ЧД. Но они не выполняют интерполяцию и децимацию в привычном смысле.

Чтобы понять, как при подобных операциях помогает блок Discrete FIR Filter, давайте сперва посмотрим, что происходит со спектром сигнала при повышении и понижении ЧД.

Спектральные копии и алиасинг при изменении частоты дискретизации¶

Для этого воспользуемся встроенным интерактивным инструментов для визуализации спектра сигнала в окне Графики, выбрав в Меню сигналов: Сигналы в частотной области. Последовательно будем отображать сигналы (важно понять, что для корректного отображения на одних осях сигналы должны иметь одинаковую частоту дискретизации).

Сперва отобразим спектр исходной дискретной синусоиды. Убедимся, что пик спектра находится на частоте 5 Гц, и ось Х графика лежит в пределах от 0 до 50 Гц (т.е. до половины частоты дискретизации):

Теперь рассмотрим спектр сигнала после повышения ЧД в 5 раз:

Спектр дискретного сигнала по своей сути периодический, и при расширении зоны наблюдения частот (зоны Найквиста) до нового значения половины ЧД мы начинаем наблюдать спектральные копии нашего сигнала. В нашем случае синусоиды видны на частотах 5 Гц, 95 Гц, 105 Гц, 195 Гц, 205 Гц.

А при дальнейшем сужении зоны наблюдения спектра после операции Downsample эти копии "заворачиваются" в новую зону Найквиста, которая теперь ограничена значением 125 Гц. Это эффект алиасинга:

Именно наличие спектральных копий в выходном сигнале и определяет его форму - выбросы с нулями. По сути это сложный периодический сигнал, сформированный суммой базовых сигналов - синусоид. Мы не можем исключить их полностью, но мы можем подавить их при помощи правильного фильтра нижних частот. Этот фильтр называется анти-имаджинговым или анти-алиасинговым. Он всегда помещается после операции Upsample и перед операцией Downsample.

Разработка фильтра нижних частот¶

Наша задача - разработать подходящий прототип (спецификацию) фильтра и поместить его коэффициенты в блок Discrete FIR Filter.

Учитывая, что исходный сигнал может лежать в пределах от 0 до 50 Гц, мы выбираем частоту среза фильтра в 50 Гц, оконную функцию Кайзера, нормированную ширину переходной полосы, а также требуемое подавление в полосе заграждения. Также обратите внимание, что спецификацию мы подбираем для частоты дискретизации 500 Гц, так как именно такой сигнал заходит на вход фильтра:

using DSP;
fs = 500;
mywindow = FIRWindow(; transitionwidth=0.15, attenuation=60, scale=true);
myFIR = digitalfilter(Lowpass(2*50/fs), mywindow);

Теперь мы вычислим и отобразим амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) фильтра, чтобы убедиться в его способности подавлять спектральные копии выше 50 Гц:

myTransferFunction = PolynomialRatio(myFIR,1);
H, w = freqresp(myTransferFunction);
freq_vec = fs*w/(2*pi);
plot(freq_vec, pow2db.(abs.(H))*2, linewidth=3,
     xlabel = "Частота, Гц",
     ylabel = "Амплитуда, дБ",
     title = "АЧХ фильтра нижних частот",
     ylim = (-120, 10))

По выбранной спецификации синтезировался фильтр 50-го порядка. Форма его АЧХ хоть и не идеально пропускает все интересующие нас частоты, но для текущей задачи - подавления мешающих - подходит. Коэффициенты фильтра уже заложены в блоке модели, поэтому переносить их лишний раз не придётся.

Применение фильтра нижних частот¶

В модели мы кликаем правой кнопкой мыши по блоку фильтра и выбираем Включить блок. После этого снова запускаем модель на симуляцию, и посмотрим на спектр двух сигналов - на входе и выходе фильтра:

Как мы видим, спектральные копии подавлены относительно синусоиды 5 Гц на уровень более 70 дБ. Также можно заметить, что синусоида на частоте 5 Гц в выходном сигнале имеет более высокую мощность. Мы специально умножаем коэффициенты фильтра на 5, потому что добавление нулей операцией Upsample снижает энергетику сигнала ровно в 5 раз.

Теперь посмотрим на форму выходного сигнала во временной области:

Он соответствует по амплитуде входному сигналу, также имеет основную частоту в 5 Гц, его частота дискретизации равна 250 Гц, и форма его теперь представляет собой синусоидальное колебание.

Но также мы видим, что он задержан относительно входного сигнала на четверть периода. Это эффект применения КИХ-фильтра длинной в 50 отсчётов - подобные фильтры обязательно будут вносить задержку.

Заключение¶

В этом примере мы рассмотрели базовые принципы изменения частоты дискретизации в цифровых устройствах, эффекты имаджинга и алиасинга, необходимость применения фильтров нижних частот.