Теорема сложения сферических гармоник
Этот пример численно подтверждает, что
на самом деле является многочленом степени в , где — это многочлен Лежандра степени , и . Для проверки возьмем образец функции в равноугольной сетке , определенной следующим образом:
преобразуем образцы функций в коэффициенты Фурье с помощью plan_sph_analysis; и, наконец, преобразуем коэффициенты Фурье в коэффициенты сферической гармоники с помощью plan_sph2fourier.
В предмете сферических гармоник хорошо видна теорема сложения в действии, поскольку должен состоять только из гармоник точной степени .
Схему хранения массивов см. в этой документации.
function threshold!(A::AbstractArray, ϵ)
for i in eachindex(A)
if abs(A[i]) < ϵ A[i] = 0 end
end
A
end
using FastTransforms, LinearAlgebra, Plots
const GENFIGS = joinpath(pkgdir(FastTransforms), "docs/src/generated")
!isdir(GENFIGS) && mkdir(GENFIGS)
plotlyjs()juliaPlots.PlotlyJSBackend()output
Меридиональная сетка (по модулю ):
N = 15
θ = (0.5:N-0.5)/Njulia0.03333333333333333:0.06666666666666667:0.9666666666666667output
Продольная сетка (по модулю ):
M = 2*N-1
φ = (0:M-1)*2/Mjulia0.0:0.06896551724137931:1.9310344827586206output
Произвольно поместим на северный полюс:
x = [0,0,1]julia3-element Vector{Int64}: 0 0 1output
Другой вектор совершенно свободен:
y = normalize([.123,.456,.789])julia3-element Vector{Float64}: 0.13375998748853216 0.4958906853233388 0.8580213831581455output
Таким образом, — это вектор переменных, параметризованный в сферических координатах:
z = (θ,φ) -> [sinpi(θ)*cospi(φ), sinpi(θ)*sinpi(φ), cospi(θ)]julia
#1 (generic function with 1 method)output
На сетке тензорного произведения многочлен Лежандра имеет следующий вид:
A = [(2k+1)/(k+1) for k in 0:N-1]
B = zeros(N)
C = [k/(k+1) for k in 0:N]
c = zeros(N); c[N] = 1
pts = vec([z(θ, φ)⋅y for θ in θ, φ in φ])
phi0 = ones(N*M)
F = reshape(FastTransforms.clenshaw!(c, A, B, C, pts, phi0, zeros(N*M)), N, M)julia15×29 Matrix{Float64}: 0.264259 0.299171 0.304985 0.288068 0.261038 0.237692 0.228241 0.236528 0.259192 0.286391 0.304437 0.300462 0.26755 0.207601 0.130208 0.0483744 -0.0262845 -0.0865116 -0.129804 -0.156955 -0.169985 -0.170403 -0.158265 -0.132139 -0.0899937 -0.0308858 0.0429655 0.124641 0.202756 0.212068 0.303332 0.129215 -0.186607 -0.387155 -0.383993 -0.338172 -0.379747 -0.392602 -0.206438 0.109443 0.299961 0.225231 -0.0101802 -0.207053 -0.258628 -0.187516 -0.070652 0.0323131 0.0988479 0.12977 0.130741 0.102005 0.0380582 -0.0627707 -0.180155 -0.256899 -0.215501 -0.0267606 -0.115553 0.236712 0.221776 -0.251073 -0.32857 0.421619 0.986223 0.482429 -0.299585 -0.280602 0.198511 0.253762 -0.0930651 -0.258938 -0.0793421 0.160653 0.233501 0.154045 0.0336174 -0.0560314 -0.0990238 -0.100375 -0.0604041 0.0261339 0.145985 0.231751 0.1719 -0.0610864 -0.255787 -0.18454 -0.186901 0.216999 0.207436 -0.278408 -0.36511 -0.189358 -0.35156 -0.304334 0.180746 0.238643 -0.165767 -0.202157 0.128252 0.217098 -0.00943667 -0.200512 -0.194373 -0.0821865 0.0208264 0.0732008 0.0748654 0.0260895 -0.074028 -0.188494 -0.206184 -0.027257 0.20837 0.147067 0.233218 -0.0443128 -0.25662 0.0443223 0.302577 0.209245 0.107407 0.198264 0.305263 0.0716125 -0.25045 -0.0709297 0.228915 0.0560634 -0.209167 -0.109098 0.135993 0.209367 0.121014 0.0107106 -0.049922 -0.0518826 0.00472316 0.112882 0.206906 0.148044 -0.0921222 -0.214775 0.0327421 -0.14959 0.176398 0.159536 -0.157586 -0.253853 -0.135785 -0.0630475 -0.127292 -0.249419 -0.174706 0.141057 0.191837 -0.130845 -0.171771 0.128955 0.181407 -0.058914 -0.206946 -0.154207 -0.0410986 0.0276329 0.029906 -0.034464 -0.146673 -0.208687 -0.0754426 0.17029 0.145612 -0.156134 0.03232 -0.216991 -0.0542418 0.201432 0.206916 0.0892457 0.0316764 0.0822717 0.200041 0.210302 -0.0334057 -0.219505 0.00906962 0.211107 -0.0222883 -0.209099 -0.0231776 0.189332 0.183999 0.0724419 -0.00503206 -0.00766855 0.065182 0.177672 0.19593 -0.0044746 -0.206821 -0.0443208 0.20777 0.0772106 0.200813 -0.0345837 -0.214416 -0.166372 -0.0543381 -0.0063074 -0.0483886 -0.158601 -0.217382 -0.0533452 0.193042 0.0976693 -0.187906 -0.085199 0.193101 0.105896 -0.154519 -0.211246 -0.107108 -0.019323 -0.0162213 -0.09921 -0.206977 -0.166608 0.0879047 0.201099 -0.0639311 -0.196895 -0.161616 -0.14919 0.105731 0.2116 0.130202 0.0251362 -0.0160611 0.0199531 0.122174 0.210305 0.12046 -0.134582 -0.17451 0.114917 0.174042 -0.130385 -0.182374 0.0957622 0.234753 0.148573 0.0475436 0.0437788 0.140028 0.233975 0.113813 -0.1691 -0.148371 0.159712 0.133414 0.208908 0.0728989 -0.161008 -0.198486 -0.0961065 0.00135321 0.037119 0.00590617 -0.0881639 -0.194067 -0.170766 0.0549875 0.211431 -0.00338118 -0.21986 0.016122 0.234375 0.00021735 -0.247537 -0.203094 -0.0836434 -0.0787903 -0.19406 -0.253043 -0.023216 0.231655 0.0407554 -0.218225 -0.0261102 -0.203495 0.0220031 0.200371 0.176174 0.0619327 -0.0270702 -0.058089 -0.0310551 0.0543296 0.169516 0.204695 0.0395021 -0.194934 -0.128043 0.183785 0.141369 -0.211961 -0.150004 0.2205 0.283345 0.137864 0.130789 0.275142 0.23809 -0.126501 -0.226893 0.11958 0.198142 -0.109095 0.12233 -0.127714 -0.219526 -0.142772 -0.0253159 0.0536809 0.080125 0.0571016 -0.0183211 -0.134724 -0.218347 -0.140698 0.10537 0.230635 -0.0169741 -0.260275 0.00868827 0.306062 -0.0323035 -0.400665 -0.252906 -0.23893 -0.40434 -0.0688019 0.303902 0.0393269 -0.259455 -0.0416906 0.225524 0.0533261 0.221676 0.20588 0.0928744 -0.0169863 -0.083121 -0.10464 -0.0859165 -0.0229991 0.0845139 0.199903 0.226054 0.0700661 -0.185075 -0.235303 0.0671548 0.306034 0.0030983 -0.399433 -0.020757 0.815719 0.855083 0.0350084 -0.404293 -0.0323252 0.304047 0.0929697 -0.224541 -0.198835 -0.251975 -0.233798 -0.13019 -0.0152352 0.0703864 0.11835 0.133806 0.120358 0.0748091 -0.00825682 -0.122061 -0.22853 -0.255028 -0.136944 0.097903 0.288106 0.247787 -0.0273998 -0.313828 -0.4047 -0.353264 -0.349855 -0.403561 -0.327222 -0.0497156 0.234981 0.294129 0.11465 -0.123547 0.0890404 0.00957584 -0.0584588 -0.110278 -0.145276 -0.165114 -0.171728 -0.165964 -0.14708 -0.113177 -0.062519 0.00451035 0.0834519 0.16497 0.23634 0.285407 0.305513 0.298672 0.274919 0.248139 0.230823 0.230209 0.246547 0.273036 0.297446 0.305825 0.287718 0.240496 0.170292output
Наложим график поверхности поверх сетки:
X = [sinpi(θ)*cospi(φ) for θ in θ, φ in φ]
Y = [sinpi(θ)*sinpi(φ) for θ in θ, φ in φ]
Z = [cospi(θ) for θ in θ, φ in φ]
scatter3d(vec(X), vec(Y), vec(Z); markersize=1.25, markercolor=:violetred)
surface!(X, Y, Z; surfacecolor=F, legend=false, xlabel="x", ylabel="y", zlabel="f")
savefig(joinpath(GENFIGS, "sphere1.html"))julia
Покажем разрез на поверхности, чтобы проиллюстрировать определение сетки. В частности, мы не выбираем полюса.
Предварительно вычислим план сферической гармоники Фурье:
P = plan_sph2fourier(F)julia
FastTransforms Spherical harmonic--Fourier plan for 15×29-element array of Float64output
И план анализа Фурье FFTW в :
PA = plan_sph_analysis(F)julia
FastTransforms plan for FFTW Fourier analysis on the sphere for 15×29-element array of Float64output
Его коэффициенты сферической гармоники показывают, что он имеет точную степень :
V = PA*F
U = threshold!(P\V, 400*eps())julia15×29 Matrix{Float64}: 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.66397e-5 2.73274e-5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -0.000271538 -7.91038e-5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 3.29805e-5 -0.00164832 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00703526 -0.00174747 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0122275 0.0220184 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -0.0503776 0.0488881 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -0.134224 -0.0799001 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0729185 -0.259962 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.337609 0.00337719 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0610941 0.235853 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0289877 -0.0164793 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.190197 0.192109 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -0.0788841 0.135585 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.188313 0.0507949 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.142187 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0output
Норма функции:
nrm1 = norm(U)julia
0.658272834494235output
Аналогично, на сетке тензорного произведения образцы функции имеют следующий вид:
Pnxy = FastTransforms.clenshaw!(c, A, B, C, [x⋅y], [1.0], [0.0])[1]
F = [(F[n, m] - Pnxy)/(z(θ[n], φ[m])⋅y - x⋅y) for n in 1:N, m in 1:M]julia15×29 Matrix{Float64}: 5.19948 4.13834 2.99067 1.90658 1.02691 0.455272 0.249877 0.429314 0.977414 1.83893 2.91328 4.06148 5.13287 6.0026 6.60156 6.92544 7.02254 6.96965 6.84793 6.72603 6.65164 6.64905 6.71906 6.83899 6.96269 7.02276 6.93845 6.63197 6.05227 5.95491 2.78879 -1.44975 -4.81316 -5.93907 -5.32122 -4.74802 -5.26014 -5.93537 -4.96628 -1.72861 2.51536 5.80241 7.01649 6.35996 4.76275 3.10172 1.83264 1.03553 0.610092 0.43191 0.426508 0.591355 0.996377 1.76414 3.00054 4.64424 6.26964 7.0226 6.89687 5.65236 0.11585 -5.28724 -4.64181 1.51819 5.42995 1.95544 -4.33608 -5.4796 -0.331651 5.39124 6.95616 4.78949 1.90996 0.265776 -0.0679633 0.206459 0.546026 0.760489 0.851318 0.854026 0.770114 0.565133 0.231314 -0.0604333 0.208258 1.74968 4.58324 3.06027 6.5357 5.89997 -0.165743 -5.46592 -5.06636 -3.28816 -4.90175 -5.62054 -0.644121 5.6253 6.677 3.31846 0.440384 -0.00401181 0.652985 1.01303 0.876591 0.580633 0.35795 0.254199 0.250991 0.347269 0.561893 0.857659 1.01648 0.69514 0.0273999 0.337402 -0.070137 1.60923 5.43093 6.93528 3.91137 -0.131309 -1.75656 -0.336142 3.61343 6.85843 5.66343 1.83509 -0.053904 0.487406 1.01741 0.644213 0.136921 0.0101545 0.134135 0.275013 0.346961 0.349218 0.282296 0.144972 0.0138328 0.115298 0.603776 1.01615 0.548272 0.945078 0.135483 0.27158 2.71505 5.55048 6.82449 7.00499 6.85725 5.69314 2.92844 0.369819 0.0844295 0.912316 0.807551 0.149683 0.0509116 0.357273 0.499174 0.407141 0.269902 0.193177 0.1907 0.262329 0.397299 0.498435 0.37596 0.0666419 0.119637 0.764012 0.3347 0.96741 0.756526 0.0516758 0.0403323 0.667862 1.0399 0.710559 0.0718486 0.0205398 0.70939 0.987443 0.382027 0.0075432 0.314675 0.493074 0.249535 0.0255986 0.0288774 0.124344 0.187529 0.189637 0.130366 0.0344678 0.0191719 0.228563 0.486554 0.340488 0.0125441 0.19163 0.0244645 0.474228 0.953439 0.971777 0.756739 0.645454 0.743468 0.95977 0.969839 0.515354 0.0373859 0.165042 0.488731 0.32132 0.0219213 0.0963195 0.301654 0.329627 0.240493 0.171995 0.169627 0.234193 0.325354 0.310183 0.111448 0.0141702 0.296273 0.495085 0.41699 0.454012 0.154439 0.00689009 0.147415 0.349199 0.434542 0.359728 0.162073 0.00898106 0.134876 0.43942 0.434649 0.100528 0.0376636 0.284172 0.302882 0.085971 -0.0128005 0.0446154 0.109712 0.112106 0.0501911 -0.0122374 0.0727995 0.291434 0.297253 0.0501979 0.0815347 0.00653828 0.144506 0.416175 0.496049 0.398793 0.286378 0.242449 0.28086 0.390091 0.493228 0.429442 0.163601 0.00423886 0.186207 0.340647 0.145106 -0.0125214 0.139641 0.288402 0.253913 0.179097 0.176118 0.248108 0.291182 0.154331 -0.0106262 0.126633 0.337571 0.204303 0.334489 0.165749 0.014265 0.0385386 0.156172 0.253936 0.289478 0.258454 0.164306 0.0451436 0.010362 0.151498 0.32921 0.257363 0.0225829 0.0493168 0.268651 0.220231 -0.0026208 -0.0383697 0.0440181 0.047986 -0.0336588 -0.0128432 0.205569 0.277144 0.0634765 0.012466 0.242082 0.0666146 0.257095 0.341563 0.293211 0.203674 0.139862 0.117949 0.137043 0.198126 0.287354 0.341672 0.267702 0.0789497 -0.00992474 0.150427 0.293905 0.12293 -0.051658 0.138809 0.33873 0.255252 0.247571 0.340446 0.15898 -0.0503184 0.104503 0.292551 0.165851 -0.00643622 0.106032 -0.00382806 0.00704658 0.088086 0.17021 0.221457 0.238521 0.223661 0.174806 0.0942214 0.0112304 -0.00679647 0.0953468 0.252997 0.275056 0.0878466 -0.0516354 0.119191 0.338121 0.128404 -0.323093 -0.344224 0.0980961 0.340427 0.138821 -0.0504052 0.0724608 0.267888 0.261055 0.286625 0.280994 0.220196 0.149338 0.0951419 0.0642734 0.0542416 0.0629728 0.0923113 0.144964 0.215269 0.278062 0.288893 0.21207 0.0695276 -0.0416382 -0.0180382 0.136094 0.292814 0.340282 0.310784 0.308881 0.339519 0.300016 0.148439 -0.0107592 -0.0450601 0.0595874 0.203734 0.0747987 0.122395 0.163672 0.195512 0.217272 0.229726 0.233902 0.230262 0.2184 0.197306 0.166153 0.125451 0.0781262 0.0298766 -0.0118277 -0.0400996 -0.0514099 -0.0472393 -0.0335309 -0.0182388 -0.00839924 -0.0080514 -0.0173325 -0.0324517 -0.0465243 -0.0515701 -0.0414172 -0.0142377 0.0267486output
Наложим график поверхности поверх сетки:
scatter3d(vec(X), vec(Y), vec(Z); markersize=1.25, markercolor=:violetred)
surface!(X, Y, Z; surfacecolor=F, legend=false, xlabel="x", ylabel="y", zlabel="f")
savefig(joinpath(GENFIGS, "sphere2.html"))julia
Его коэффициенты сферической гармоники показывают, что он имеет степень :
V = PA*F
U = threshold!(P\V, 400*eps())julia15×29 Matrix{Float64}: 2.07907 0.87453 0.235893 0.069594 -0.119618 0.0581001 0.0586842 0.0859934 -0.0488866 -0.015775 -0.060899 -0.0291623 -0.000291717 -0.00253358 0.00903247 0.000694039 0.000413142 -0.00117608 0.0011413 0.000780662 0.00140576 0.000942806 -0.000234181 8.63587e-6 -0.00043161 -0.000121732 -3.54626e-5 0.0 0.0 1.51317 0.44642 0.120416 -0.169934 0.292081 0.328839 0.332145 0.288911 -0.164244 -0.0423205 -0.163378 -0.0586349 -0.000586539 -0.00145765 0.00519666 -0.00998075 -0.00594126 -0.00862106 0.00836616 0.00369554 0.00665466 0.00342882 -0.000851678 2.16057e-5 -0.00107982 0.0 0.0 0.0 0.0 0.36606 -0.627659 -0.169303 -0.592046 1.0176 0.703541 0.710614 0.503834 -0.286426 -0.056082 -0.216504 -0.0224552 -0.000224625 0.0140577 -0.0501173 -0.0493515 -0.0293776 -0.0276576 0.0268398 0.00914327 0.0164645 0.00585456 -0.0014542 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -0.225238 -1.3923 -0.375555 -0.884141 1.51965 0.893241 0.902221 0.498016 -0.283118 -0.0162747 -0.0628284 0.165928 0.00165982 0.0536982 -0.191439 -0.123087 -0.0732701 -0.0534663 0.0518855 0.0122482 0.0220556 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0279478 -1.24976 -0.337105 -0.80053 1.37594 0.669715 0.676448 0.113165 -0.0643333 0.096013 0.370657 0.512707 0.00512874 0.109365 -0.389897 -0.195697 -0.116493 -0.0592355 0.0574841 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.642706 -0.460978 -0.124343 -0.408306 0.701792 0.115506 0.116667 -0.53107 0.30191 0.2422 0.935011 0.866631 0.00866913 0.145962 -0.520371 -0.183527 -0.109249 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.924445 0.171516 0.0462641 -0.0394459 0.0677993 -0.395183 -0.399156 -1.05835 0.601662 0.335991 1.29709 0.970497 0.00970813 0.116526 -0.415426 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.619857 0.0934262 0.0252005 0.0128822 -0.0221418 -0.505099 -0.510177 -1.1197 0.636541 0.30573 1.18027 0.65018 0.00650392 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0816312 -0.512221 -0.138165 -0.239451 0.411566 -0.194804 -0.196763 -0.706203 0.401471 0.16128 0.622619 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -0.15003 -0.975789 -0.263206 -0.507765 0.872741 0.197111 0.199092 -0.186337 0.105931 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.105958 -0.834521 -0.225101 -0.515565 0.886148 0.287159 0.290046 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.530802 -0.266039 -0.0717606 -0.261012 0.448626 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.668154 0.140073 0.0377829 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.390394 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0output
Наконец, многочлен Лежандра выравнивается по сетке:
pts = vec([z(θ, φ)⋅x for θ in θ, φ in φ])
F = reshape(FastTransforms.clenshaw!(c, A, B, C, pts, phi0, zeros(N*M)), N, M)julia15×29 Matrix{Float64}: 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 -0.209473 -0.209473 -0.209473 -0.209473 -0.209473 -0.209473 -0.209473 -0.209473 -0.209473 -0.209473 -0.209473 -0.209473 -0.209473 -0.209473 -0.209473 -0.209473 -0.209473 -0.209473 -0.209473 -0.209473 -0.209473 -0.209473 -0.209473 -0.209473 -0.209473 -0.209473 -0.209473 -0.209473 -0.209473 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 0.210677 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 -0.214532 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 0.221901 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 -0.234835 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 0.258489 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 -0.30968 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808 0.501808output
Наложим график поверхности поверх сетки:
scatter3d(vec(X), vec(Y), vec(Z); markersize=1.25, markercolor=:violetred)
surface!(X, Y, Z; surfacecolor=F, legend=false, xlabel="x", ylabel="y", zlabel="f")
savefig(joinpath(GENFIGS, "sphere3.html"))julia
У него есть только один незначительный коэффициент сферической гармоники. Вы можете его заметить?
V = PA*F
U = threshold!(P\V, 400*eps())julia15×29 Matrix{Float64}: 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.658273 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0output
Этот коэффициент должен быть следующим:
ret = eval("√(2π/($(N-1)+1/2))")julia"√(2π/(14+1/2))"output
что составляет приблизительно
eval(Meta.parse(ret))julia
0.6582728344942353output
поскольку в этой библиотеке принято ортонормировать.
nrm2 = norm(U)julia
0.6582728344942352output
Обратите внимание, что интегралы обеих функций and and their одинаковы в силу вращательной инвариантности. Интеграл любой из них, возможно, не интересен, так как математически равен нулю, но нормы любой из них должны быть примерно одинаковыми.
nrm1 ≈ nrm2julia
trueoutput