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评估增益因子对稳定性裕度的影响

这个例子说明了如何研究增益因子对闭环控制系统的稳定性裕度和响应特性的影响。

封闭系统的稳定性

稳定性通常意味着所有内部信号保持有限。 这是控制系统的标准要求，以避免失去控制和损坏设备。 对于线性反馈系统，可以通过查看闭环传递函数的极点来估计稳定性。 让我们考虑一个具有以下结构方案的系统:

image.png

假设增益因子为 . 让我们使用库定义闭环传递函数的描述 ControlSystems.jl.

In [ ]: 
Pkg.add(["ControlSystems"])
In [ ]: 
using ControlSystems
In [ ]: 
G = tf([.5, 1.3],[1, 1.2, 1.6, 0]);
T = feedback(G,1)
Out[0]:
TransferFunction{Continuous, ControlSystemsBase.SisoRational{Float64}}
         0.5s + 1.3
----------------------------
1.0s^3 + 1.2s^2 + 2.1s + 1.3

Continuous-time transfer function model

我们得到了系统的两极。

In [ ]: 
pole(T)
Out[0]:
3-element Vector{ComplexF64}:
 -0.2305351757522727 + 1.306198675535976im
 -0.2305351757522727 - 1.306198675535976im
 -0.7389296484954546 + 0.0im

一个封闭的系统在 它是稳定的，因为所有的极点都有负的实值。

系统有多稳定？

检查闭环的极点给了我们一个稳定性的概念。 在实践中，了解系统的稳定性或不稳定性更有用。 可靠性的指标之一是在失去稳定性之前，电路的增益可以改变多少。 为此，您可以使用根hodograph图来估计值的范围。 ，为此系统稳定:

In [ ]: 
plot(rlocus(G))
Out[0]:

以蓝色标记的渐近线与值的点处的实轴（Y轴）相交 . 您可以将鼠标悬停在图表上并验证这一点。 由此我们可以得出结论，如果增益因子在范围内 然后系统将是稳定的。

幅度和相位裕度

电路中增益因子的变化只是稳定性的一个方面。 一般来说，控制对象的建模不完善意味着增益和相位都不是精确已知的。 由于建模误差在截止频率（开环增益为0dB的频率）附近最危险，因此在该频率下相位变化的可接受程度也很重要。

相位裕量显示在失去稳定性之前相位可以改变多少。 同样，幅度裕度指示在截止频率下为了失去稳定性而需要哪个增益改变。 这两个指标一起为闭环稳定性提供了"稳定性裕度"的估计。 稳定性极限越小，稳定性越脆弱。

我们将建立一个稳定储备的住房和公共服务综合体。 您可以使用该函数确定稳定性的储备 marginplot().

In [ ]: 
marginplot(G)
Out[0]:

这种情况下的幅度裕度约为9dB。 您可以将光标悬停在风线和屋顶的交叉点上，并确保这一点。 在图表上方可以看到系统稳定性的极限。 但是，必须记住，振幅稳定性的极限是 它们表示为增益的极限值，而不是以dB为单位。

相位裕度(Pm)约为45度。

考虑系统对阶跃信号的响应。

In [ ]: 
S1 = stepinfo(step(T,25));
plot(S1)
Out[0]:

这种情况下的超调是21％，会有一些波动。

我们将增加2倍的增益因子。 让我们通过函数来介绍稳定性储备的值 margin() 我们将构建一个过渡特征。

In [ ]: 
M = margin(2*G)
GmdB = 20*log(10,M.gm[1][1])
Pm = M.pm[1][1]
display(GmdB) 
display(Pm)

2.758136634183228
8.596209050239025

为了推导瞬态过程的特性，我们使用函数 stepinfo(). 诸如稳态时间、过冲等参数将使用 plot().

In [ ]: 
S2 = stepinfo(step(feedback(2*G,1),60));
plot(S2, title = "Реакция замкнутого контура при k=2")
Out[0]:

我们在LFCH上看到相位裕量(Pm)减小，过冲和稳态时间(设定时间)增加。 这表明我们正在接近不稳定的局势。

具有多重振幅弹性储备的系统

一些系统具有几个振幅稳定储备或通过180度的几个相变。 例如，考虑下面的框图。

image.png

在这种情况下，封闭系统的瞬态过程达到稳定值-系统是稳定的。

In [ ]: 
G1 = tf([20],[1, 7]) * tf([1, 3.2, 7.2],[1, -1.2, 0.8]) * tf([1, -8, 400],[1, 33, 700]);
T1 = feedback(G1,1);
plot(step(T1,7), title = "Реакция замкнутого конура при K=1")
Out[0]:

评估这个系统的稳定性 ，我们将建立LCH和LFCH系统。

In [ ]: 
marginplot(G1)
Out[0]:

请注意，有两个180度相变，相应的增益值为-9.35dB和+10.6dB。 增益因子的负值表示增益减小时稳定性的丧失。 而正增益值表示随着增益的增加而失去稳定性。 通过绘制闭环的逐步响应以改变增益来证实这一点 $\pm$6分贝在k=1:

In [ ]: 
k2 = 2;     
T2 = feedback(G1*k2,1);
k3 = 1/2;  
T3 = feedback(G1*k3,1);
step([T1 T2 T3],12)
plot(step([T1 T2 T3],12), label = ["K = 1" "K = 2" "K = 0.5"])
Out[0]:

该图显示了具有较低和较高增益值的波动的增加。

结论

因此，我们考虑了增益因子对闭环稳定性的影响，特别是幅度稳定性的裕度。